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微积分公式大全


微积分公式
Dx sin x=cos x cos x = -sin x tan x = sec2 x cot x = -csc2 x sec x = sec x tan x csc x = -csc x cot x x ?1 Dx sin-1 ( )= a a2 ? x2
x cos-1 ( )= a x ?a tan-1 ( )= 2 a a ? x2 x cot-1 ( )= a x ?a sec ( )= a x x2 ? a2
-1

? sin x dx = -cos x + C ? cos x dx = sin x + C ? tan x dx = ln |sec x | + C ? cot x dx = ln |sin x | + C ? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C ? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C ? sin-1 x dx = x sin-1 x+ 1 ? x 2 +C ? cos-1 x dx = x cos-1 x- 1 ? x 2 +C ? tan x dx = x tan x-?ln (1+x )+C ? cot-1 x dx = x cot-1 x+?ln (1+x2)+C ? sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+ x 2 ? 1 |+C
-1 -1
2

sin-1(-x) = -sin-1 x cos-1(-x) = ? - cos-1 x tan-1(-x) = -tan-1 x cot-1(-x) = ? - cot-1 x sec-1(-x) = ? - sec-1 x csc-1(-x) = - csc-1 x
x sinh-1 ( )= ln (x+ a 2 ? x 2 ) x ? R a x cosh-1 ( )=ln (x+ x 2 ? a 2 ) x≧1 a x 1 a?x tanh-1 ( )= ln ( ) |x| <1 a 2a a?x

-1

-1

2

x 1 x?a coth-1 ( )= ln ( ) |x| >1 a 2a x?a ? csc x dx = x csc x+ ln |x+ x ? 1 |+C x ?1 1 ? x2 sech ( )=ln( + )0≦x≦1 a x x2
-1

csc-1 (x/a)= Dx sinh x = cosh x cosh x = sinh x tanh x = sech2 x coth x = -csch2 x sech x = -sech x tanh x csch x = -csch x coth x
x Dx sinh ( )= a
-1

? sinh x dx = cosh x + C ? cosh x dx = sinh x + C ? tanh x dx = ln | cosh x |+ C ? coth x dx = ln | sinh x | + C ? sech x dx = -2tan-1 (e-x) + C ? csch x dx = 2 ln |
-1

x 1 1 ? x2 csch ( )=ln( + ) |x| >0 a x x2 duv = udv + vdu
-1

1 ? e? x 1 ? e ?2 x
-1

|+C
2

? duv = uv = ? udv + ? vdu →? udv = uv - ? vdu cos2?-sin2?=cos2? cos2?+ sin2?=1 cosh2?-sinh2?=1 cosh2?+sinh2?=cosh2? sin 3?=3sin?-4sin3? cos3?=4cos3?-3cos? →sin3?= ? (3sin?-sin3?) →cos3?=?(3cos?+cos3?)

1 a2 ? x2 1 x ?a
2 2

? sinh x dx = x sinh x- 1 ? x + C ? cosh-1 x dx = x cosh-1 x- x 2 ? 1 + C

x cosh-1( )= a

x ?a tanh-1( )= 2 a a ? x2 x coth-1( )= a x ?a sech-1( )= a x a2 ? x2

? tanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ? ln | 1-x2|+ C e jx ? e ? jx e jx ? e ? jx sin x = cos x = 2 2j ? coth-1 x dx = x coth-1 x- ? ln | 1-x2|+ C ? sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + C ? csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + C R
β

a c

γ α

b

e x ? e?x e x ? e?x cosh x = 2 2 a b c 正弦定理: = = =2R sin ? sin ? sin ?

sinh x =

csch-1(x/a)=

?a x a2 ? x2

餘弦定理: a2=b2+c2-2bc cosΩ b2=a2+c2-2ac cos? c2=a2+b2-2ab cos?

sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β cos (α±β)=cos α cos β ? sin α sin β 2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)
x2 x3 xn e =1+x+ + +…+ +… 2! 3! n!
x

sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β) sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β) cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β) cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β) tan (α±β)=
tan? ? tan ? ? cot? cot ? , cot (α±β)= ? tan? tan ? cot? ? cot ?

?1 = n
i ?1 n

n

sin x = xcos x = 1-

x x x ( ?1) x + - +…+ +… 3! 5! 7! (2n ? 1)!
3 5 7

n

2 n ?1

?i =
i ?1 n

?n (n+1)
1 n (n+1)(2n+1) 6

x2 x4 x6 ( ?1) n x 2 n + +…+ +… 2! 4! 6! (2n)! x x x ( ?1) x + - +…+ +… 2 3 4 (n ? 1)!
2 3 4

?i
i ?1 n

2

=

n

n ?1

ln (1+x) = xtan-1 x = x-

?i
i ?1

3

= [?n (n+1)]2

x x x ( ?1) x + - +…+ +… 3 5 7 (2n ? 1)
3 5 7

n

2 n ?1

Γ(x) =

?t
0

?

x-1 -t

e dt = 2 ? t 2x-1 e ? t dt =
2

?

0

?

?

0

1 (ln ) x-1 dt t

(1+x)r =1+rx+

? 1 r ( r ? 1) 2 r ( r ? 1)( r ? 2) 3 x+ x +… -1<x<1 ?(m, n) = ? x m-1(1-x)n-1 dx=2 2 sin 2m-1x cos2n-1x dx ?0 0 2! 3!

= 希臘字母 (Greek Alphabets) 大寫 Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ 小寫 讀音 alpha beta gamma delta epsilon zeta eta theta 大寫 Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π 小寫 讀音 iota kappa lambda mu nu xi omicron pi 大寫 Ρ ? Σ Τ Υ Φ Χ Ψ

?

?

0

x m?1 dx (1 ? x ) m?n

小寫

讀音

Ω ? ? ? ? ? ? ?

α β γ δ ε ζ η θ

rho ι κ, ? sigma tau λ upsilon μ phi ν khi ξ psi ο omega π

倒數關係: sin?csc?=1; tan?cot?=1; cos?sec?=1 商數關係: tan?=
sin ? cos ? ; cot?= cos ? sin ?

平方關係: cos2?+ sin2?=1; tan2?+ 1= sec2?; 1+ cot2?= csc2?
順位高 ; ? 順位高 d 順位低 ; 順位低

0*? =

1 ? 1 0 *? = = 0* = 0 0 ? ?

順位一: 對數; 反三角(反雙曲) 順位二: 多項函數; 冪函數

0 0 = e 0 ( ?? ) ; ? 0 = e 0?? ; 1? = e 0??

順位三: 指數; 三角(雙曲)

算術平均數(Arithmetic mean) 中位數(Median) 眾數(Mode) 幾何平均數(Geometric mean) 調和平均數(Harmonic mean)

X 1 ? X 2 ? ... ? X n n 取排序後中間的那位數字 X ?
次數出現最多的數值

G ? n X 1 ? X 2 ? ...? X n
H? 1 1 1 1 1 ( ? ? ... ? ) n x1 x2 xn
i

平均差(Average Deviatoin)

?| X
1 n

n

?X |

n

變異數(Variance)

? (X i ? X )2
1

n

or

?(X
1

n

i

? X )2

n ?1

標準差(Standard Deviation)

? ( X i ? X )2
1

n

n
分配 Discrete Uniform Continuous Uniform Bernoulli Binomial Negative Binomial Multinomial 機率函數 f(x)
1 n 1 b?a

or

?(X
1

n

i

? X )2

n ?1
變異數 V(x)
1 2 (n +1) 12 1 (b-a)2 12

期望值 E(x)
1 (n+1) 2 1 (a+b) 2

動差母函數 m(t)
1 e t (1 ? e nt ) n 1 ? et

e bt ? e at (b ? a)t

pxq1-x(x=0, 1)
? n ? x n-x ? ? x? ?p q ? ? ? k ? x ? 1? k x ? ?p q ? x ? ? ?
f(x1, x2, …, xm-1)= n! x x x p1 1 p 2 2 ...p m m x1! x2 !...xm !

p np
kq p

pq npq
kq p2

q+pet (q+ pet)n
pk (1 ? qet ) k
三項 (p1et1+ p2et2+ p3)n

npi
1 p

npi(1-pi)
q p2

Geometric

pqx-1

pet 1 ? qet

Hypergeometric

? k ?? N ? k ? ? ? ? x? ?? ? ? ? ?? n ? x ? ?N? ? ?n? ? ? ?
e ?? ?x x!

?k? n? ? ?N?

? N ?n? ? k ? ? ?n? ? ? N ?1 ? ? N ?

Poisson Normal Beta Gamma

γ
δ

γ
κ2

e ? ? ( e ?1)
t

1 2??

e

?

1 x?? 2 ( ) 2 ?

e
? ???
? ?
1

? t? ? 2 t2

1 2

1 x? ?1 (1 ? x) ? ?1 B(? , ? )

??
(? ? ? ? 1)(? ? ? ) 2

? (?x)? ?1 e ??x ?(? )

? ?2
1 ?2

? ? ? ? ? ?? ?t ?

??

Exponent Chi-Squaredξ
2

? e ? ?x
=f(ξ )
2

?

? ? ?t

E(ξ2)=n
n 2

V(ξ2)=2n

=

1 ?n? ?? ? 2 ? 2?

(? 2 )

n ?1 2

e

?? 2 2

(1 ? 2t )

?

n 2

Weibull

1

?

e

?

x??

?

2 ? ? ? ?? ? 1? ? ?2 ? ?? 2? 1 ? ? ? ? ? ??? ? 1? ? ? ? ? 1?? ? ?

1

?

?1

?

? ?

?

?

??

1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 1015 peta P 1 000 000 000 000 1012 tera T 兆 1 000 000 000 109 giga G 十億 1 000 000 106 mega M 百萬 1 000 103 kilo K 千 100 102 hecto H 百 10 101 deca D 十 0.1 10-1 deci d 分,十分之一 0.01 10-2 centi c 厘(或寫作「厘」 ) ,百分之一 -3 0.001 10 milli m 毫,千分之一 0.000 001 10-6 micro ? 微,百萬分之一 0.000 000 001 10-9 nano n 奈,十億分之一 0.000 000 000 001 10-12 pico p 皮,兆分之一 0.000 000 000 000 001 10-15 femto f 飛(或作「費」 ) ,千兆分之一 -18 0.000 000 000 000 000 001 10 atto a 阿

0.000 000 000 000 000 000 001 10-21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 10-24 yocto y


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