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正态分布与参考值范围课件_图文

第一节 正态分布 正态分布 正态分布(normal distribution)也叫高斯分布( Gaussian distribution),是最常见、最重要的一种连 续型分布 一、正态分布的数学形式和正态曲线下面积的规律 二、正态分布的特征 三、标准正态分布 频数分布图 频数分布逐渐接近正态分布示意图 (一)、正态分布的概率密度函数 f (X) ? ? 1 2? exp???? ? ( X? 2? ? 2 )2 ????, ??? X ?? ?=3.14159,exp 是以2.72818为底的自然对数指数 X ~ N (?,? 2 ), ?为X的总体均数,?为总体标准差 f ( X )称为概率密度函数(probabilit y density function ) 以f ( X )为纵坐标,X为横坐标,绘制的曲线就是 正态曲线(normal curve ) 正态分布的概率分布函数 (二)、正态曲线( normal curve ) f(X) X ? 正态曲线的定义 ? 正态曲线是一条高峰位于中央,两侧逐 渐下降并完全对称,曲线两端永远不与 横轴相交的钟形曲线 正态分布的特征 ? 正态分布是单峰分布,曲线以均数为中 心,左右完全对称,正态曲线以X轴为渐 近线,曲线两端无线接近X轴,但不相交 ; ? 正态曲线在均数μ处取得该概率密度函数 的最大值,X越远离均数,f(X)值越小, 在x=μ±?处有拐点,表现为钟形曲线; ? X取值范围理论上没有边界,应为:-∞ ~+ ∞,X离μ越远,函数f(X)值越接近0, 但不会等于0。 正态分布的特征 ? 正态分布有两个参数,μ 决定曲线在横轴上的 位置,μ增大,曲线沿横轴向右移;反之, μ 减小,曲线沿横轴向左移; ? 决定曲线的形 状,当 μ恒定时,?越大,数据越分散,曲线 越“矮胖”;反之,?越小,数据越集中,曲 线越“瘦高”; ? 习惯上用N(μ ,?2);表示均数为μ 、标准 差为?的正态分布;正态分布的特殊形式: 标准正态分布N(0 ,1); 正态分布的特征 正态曲线下的面积分布有一定的规律: ? 1.曲线下的面积即为概率,可以通过式3-2求 得。 ? 2.曲线下的总面积为1或100%,以μ为中心左 右两侧面积各占50%,越靠近μ处,曲线下面 积越大,两边逐渐减少,超过一定范围以外 的面积(概率)可以忽略。 ? 3.所有正态曲线,在μ左右的任意个标准差范 围内面积相同。 正态分布曲线下面积规律图2 x ?1.96s ? x ? x ?1.96s或? ?1.96? ? x ? ? ?1.96? 68.27% μ-2.58σ μ-1.96σ μ-σ 95.00% 99.00% μ μ+σ μ+1.96σ μ+2.58σ 0.6 f (X ) 0.5 N(?1,0.82 ) 0.4 N (0,12 ) 0.3 N(1,1.22 ) 0.2 0.1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X 正态分布数列中的每个个体加上 一个不为零的常数K后,均数的 变化 ? xn ? ?( xi ? n K ) ? K ? x i ?K?x n ? 均数改变为原均数+K 标准差的变化 ? 标准差不变,等于原数列的标准差 Sn ? ??(xi ? k) ? (x ? k)?2 n ?1 ? ??xi ? x ?2 ? s n ?1 正态分布数列中的每个个体乘以 一个不为零或一的常数K后,均 数的变化 ? xn ? ?(xi ? n K ) ? K ? x i ?K?x n ? 均数改变为原均数× K 标准差的变化 ? 标准差改变,等于原数列标准差的K倍 Sn ? ??(xi ? k) ? (x ? k)?2 n ?1 ? k ??xi ? x?2 ? ks n ?1 三 标准正态分布 标准正态分布 (standard normal distribution) 的两个参数为:μ=0,σ=1 记为 N(0,12) 任意一个服从N(μ,σ2)分布的随机变量X经过 标准化变换,也叫z变换(u变换),均可转换为 μ=0,σ=1的标准正态分布。 z ? x ? ? 或z ? x ? x ? s 标准正态分布的概率密度函数 ?(z) ? 1 ?z2 e2 2? (?? ? z ? ??) 标准正态分布的分布函数 ? 经常会用到正态分布曲线下一定范围的面积占总 面积的百分数,用以估计落在该范围内的频数占 总频数的百分比。 ? 可通过对式(3-1)积分求得,表示从-?到x或z 的面积F(x)或Φ(z)(总面积为1)。见图3-5 。 ? F(X ) ? 1 ?(X ??)2 X e (2? 2 )dX ? 2? ?? ? ?(z) ? 1 z ?z2 e 2 dz 2? ?? (?? ? z ? ??) 曲线下面积 0.5 f(X) 0.4 -∞ u 0.3 0.2 附表1(P213) 0.1 就是根据标准正 0.0 态分布的分布函 数制定的 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X 标准正态曲线下的面积特点 ? 附表1 为标准正态分布曲线下的面积,表上 所查到的面积为从-?到z的面积; ? 假设横轴上曲线下的面积为1,即100% ? 曲线下,横轴上对称于0的面积相等 ? 实际工作中经常要用的面积分布规律有以 下三点,68.27%,95%,99%的面积公式见 表1和下图。 标准正态分布曲线下面积规律 68.27% -2.58 -1.96 95.00% 99.00% -1 0 1 1.96 2.58 正态曲线下的面积特点 ? μ ,?已知时,进行标准正态变换再 查表 ? μ ,?未知时,