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3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示


3.1.4 空间向量的正交分解 及坐标表示

1

? ? 提问:平面内的任一向量 p 都可以用两个不共线的
? ? 向量 a 、b 表示(平面向量基本定理)。

? ? ? 空间向量基本定理 :如果三个向量 a 、b 、c
? ? ? ? ? p ? xa ? yb ? zc

对于空间任意向量,有没有类似的结论呢 ?

?? 那么对空间任一向量 p 存在唯一有序实数组 不共面,

{x,y,z},使得

即,空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量 表示出来。

2

解读:
1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一组基底

2、由于零向量与任意向量都共线,与任意两个向量都共 面,所以三个向量不共面,隐含它们都不是零向量。 3、用空间三个不共面的已知向量组可以 线性表示出空间任意向量,且表示的结果唯一。

3

阅读教材P93-94页:

特别地: 若选择单位正交基底且建立空间直角右手坐标系, 由空间向量基本定理知存在有序实数组{x, y, z} ? ? ?? ?? ? ?? 使得:p ? xe1 ? ye2 ? ze3 ?? 此时,在空间直角坐标系Oxyz中的坐标为(x,y,z) P ?? 记作: ? ( x, y, z ),且P ( x, y, z )。 P

4

教材P94 例4

教材P94 练习

如果知道有向线段的起点和终点的坐标,

那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 空间向量坐标运算法则,关键是注意空间几何 关系与向量坐标关系的转化,为此在利用向量的坐 标运算判断空间几何关系时,首先要选定单位正交 基,进而确定各向量的坐标。
7

课堂小结:
1、空间向量基本定理; 2、空间向量的坐标表示;

3、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键:
首先要选定单位正交基,进而确定各向量 的坐标,再利用向量的坐标运算确定几何关系。
8

3.1.5 空间向量运算 的坐标表示

复习:z

?? ? ? 以 i , j , k 为单位正交基底

?

?

z
? ? k

x

? O? i

x

? ? ? 建立空间直角坐标系O-xyz ? ?, ?j, k 为基底 P ( x, y, z ) ?i ? p ?? ? ? ? ( x , y , z ) ? ? p ? xi ? y j ? zk ? ? 记 p ? ( x, y, z ) y ??? ? ? y OP ? ( x , y , z ) j ? P ( x, y, z )

若A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2), 则

AB = OB - OA=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示,而且 也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行 有关判断. ? ?
设a ? (a1,a2,a3 ),b ? (b1,b2,b3 ),则 ? ? (a ?b , a ? b , a ? b ) a ?b ? 1 1 2 2 3 3 ; ? ? (a ?b , a ? b , a ? b ) a ?b ? 1 1 2 2 3 3 ;

? ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R);
? ? a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? ? ? ? a // b且a、b均各坐标值 非0 ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

? ? 规定: ? a ? 0 0

1.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 则线段 AB 的中点坐标为 ( , , ) 2 2 2

? ? 设空间两个非零向量a ? ( x1,y1,z1 ),b ? ( x2,y2,z2 ), ? ? 则a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2
3.长度的计算 ? ? 已知 a ? ( x , y , z ) ,则 a ? x 2 ? y 2 ? z 2
4.空间两点间的距离公式 B 已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、 ( x2 , y2 , z2 )

2.空间向量数量积的坐标表示:

,则

???? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

5.角度的计算 ? ? 已知空间两非零向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 a?b 则 cos a , b ? ? ? ? a?b x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

? ? ? ? a 注意:(1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; ? ? ? (2)当cos ? a , b ?? ?1 时, 与 a

? b 反向; ? ? ? ? (3)当 cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0
? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及

6.空间两非零向量垂直的条件

? ? ?1 ? cos ? a , b ??时, 0

夹角在什么范围内?

1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来, 不仅可以解决夹角和距离的计算问题, 而且可以使一些问题的解决变得简单 2、几何问题---向量问题---向量坐标问题 3、几何推理---向量坐标计算

练习一:
1.求下列两点间的距离: (1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C (?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .
? ? (1) a ? (2 , ? 3 , 3),b ? (1, 0 , 0) ; ? ? (2) a ? (?1, ? 1,1),b ? (?1, 0 ,1) ;

2.求下列两个向量的夹角的余弦:

3.已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0, 2) , (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________;

4. Rt △ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x, 0,1) ,则 x ? ____; 2
?

例题:

A
M

例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ,求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则 O

B

???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB) ? ?(3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ?? ? ? 2 , , 3 ? , ? 2 2? ? 2 ?

? 3 ? ∴点M 的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ? ???? AB ? (1 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .

例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ,求: (2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3)2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 即到A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满 足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2:已知两点( , 3),(2,2),( ,2),点Q在 A 1 2, B 1, P 11, ??? ??? ? ? OP上运动,求当QA? 取得最小值时,点Q的坐标。 QB

???? ??? ? 解: 设OQ ? ? OP ? (? , ? , 2? ), ??? ??? ? ? ? QA? ? 6? 2 ? 16? ? 10 QB
? ? 4 ??? ??? 2 ?当? ? 时, ? 取得最小值 ? 。 QA QB 3 3 4 4 8 此时Q ,,) ( 3 3 3

A1 B1 B1 E1 ? D1 F1 ? ? 4 ,求 BE1

(教材P96 例5)如图, 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

z

与 DF1 所成的角的余弦值.

D1 A1

F1 E1 B1

C1

D

O
B

C

y

A

x

例 4.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F (教材P96 例6) 分别是 BB1 , D1 B1 中点,求证: EF ? DA1

证明:如图,不妨设正方体的棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz , 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) , F ( , , 1) 2 2 2 ???? 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) , 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) , D(0 , 0 , 0) , ???? ? 所以 DA1 ? (1 , 0 , 1) ???? ???? ? 1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 , 2 2 2 ???? ???? ? 因此 EF ? DA1 ,即 EF ? DA1

教材P97 练习

例5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1,,
??? ???? ???? ? ? 以 ?? 证明:设正方体棱长为1, DA??,DC ??,??DD1为单位正交

CD中点,求证:D1F ? 平面ADE

??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 ???? ? 1 因为D1 F ? (0, , ?1) ???? ??? 2 ? ? 所以D1 F ? DA ? 0??, ?? ???? ???? ? ????????D1 F ? DE ? 0 ???? ??? ???? ???? ? ? ? 即D1 F ? DA??,D1 F ? DE ??

基底,建立如图所示坐标系D-xyz,则可得:
z
D1

C1 B1 E

A1

D

F B

C y

A
x

即 D1F ? DA,D1F ? DE,又DE ? DA ? D 所以 D1 F ? 平面ADE

例:如图,在直三棱柱ABC -A1 B1C1中,?ACB=90 ,
0

?BAC =300,BC =1,A1 A= 6,M 是棱CC1的中点。 求证:A1 B ? AM。
z

z
B1 C1
A1 A
1

C1

B1

M

y
B

y
M A C

x
x
A

C

B

练习:
z
C1 A1 M B1

N C

建立空间直角坐 标系来解题。

A

B

x

y

学习小结:
1.基本知识:
(1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法: 用向量计算或证明几何问题时,可以先建立 直角坐标系,然后把向量、点坐标化,借助 向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。


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