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北京市第四中学2013届高三上学期期中测试数学(文)试题


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北京市四中 2013 届高三上学期期中测试数学(文)试题 试卷满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考生务必将答案写在答题纸上, 在试卷上作答无效。 第一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题:(每小题 5 分,共 40 分, 在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.) 1. 已知集合 A. 2. “ B. ”是“ C. ”的( , D. ) ,则 ( )

A. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 3. A. 15 4. 设 ①若 是等差数列 B. 18

B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 的前 项和,若 C. 9 D. 12 为两条直线,且 . 那么( ) ,有如下两个命题: ,则 ( )

为两个平面, ;②若

A.①是真命题,②是假命题 C.①、②都是真命题 5. 若 是 一定是() A. 等边三角形 6. 将函数

B.①是假命题,②是真命题 D.①、②都是假命题

所在平面内的一点,且满足( BO+OC )?( OC-OA )=0,则 B. 等腰直角三角形 的图象按向量 ) C. 直角三角形 平移后 D. 斜三角形

得到图象对应的函数解析式是( A. C. B. D.

7. 已知函数

的部分图象如图所示,

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则函数 A. 的解析式为( )

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B.

C.

D.

8. 已知函数 ①若 ② ③ ,则 的最小正周期是 在区间

,给出下列四个说法: ; ;

上是增函数;



的图象关于直线 )

对称.

其中正确说法的个数为( A.1 B.2

C.3

D.4

第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 函数 10. 向量 , 满足 的余弦值等于______. 的递增区间是______. ,且 , ,则 , 夹角

11.已知函数

的最小正周期是

,则正数

______.

12.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为
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12 cm,深 2 cm 的空穴,则该球的半径是______cm,表面积是______cm?. 13.某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是______.

14. 如上页图, 一条螺旋线是用以下方法画成: 曲线 分别以 为圆心, 为

是边长为 1 的正三角形,

为半径画的弧,曲线

称为螺旋线旋

转一圈.然后又以 圆心

为半径画弧?,这样画到第 圈,则所得整条螺旋线的长度 ______.(用 表示即可)

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,演算步骤 或证明过程.) 15.(本小题满分 13 分) 在 中, ; ,求 的面积. . , .

(Ⅰ)求角 (Ⅱ)设

16. 本小题 13 分) 已知函数 ( (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 (Ⅲ)当 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间; 时,求函数 的最大值,最小值.

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17.(本小题满分 13 分) 如图,正三棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)求三棱锥 18.(本小题满分 13 分) 已知各项都不相等的等差数列 项. (Ⅰ)求数列 (Ⅱ) 若数列 19.(本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若当 (Ⅲ) 对任意的 证明,如果不成立, 请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 设数列 (Ⅰ)若 (Ⅱ)若 (Ⅲ)若 成立. ,证明: 的首项 的通项公式 ;

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中,D 是 BC 的中点,

; 的体积.

的前六项和为 60,且

的等比中

; 的前 项和

处取得极值.

恒成立,求 的取值范围; 是否恒成立?如果成立, 给出

R),且 ; ;



,求所有的正整数 ,使得对于任意

,均有

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【参

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考答案】

第 1. 2. B 3. D 4. D 5. C

一部分(选择题,共 40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) B

提示:由题意可知,BC?AC = 0,即 BC⊥AC. 6. D 提示:沿向量 7. B 8. B 提示:先化简 f(x)可得,f (x)= ,再利用它的图象和性质解决问题. 平移,即先向右平移 个单位,再向上平移 1 个单位.

第二部分(非选择题,共 110 分) 二、填空题:(每小题 5 分,共 30 分) 9. 提示:注意定义域. 10. 120 11. 2 提示:利用图象的对称变换,可知该函数的周期为 12. 10,400π 提示:设球的半径为 r,画出球与水面的位置关系图,如图: 由勾股定理可知, 13. 14. n (3n+1)π 提示:设第 n 段弧的弧长为 ,由弧长公式,可得 ,解得 r =10. .

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?

数列

是以

为首项、

为公差的等差数列.画到第 n 圈,有 3n 段弧,

故所得整条螺旋线的长度

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 , , 得 ,

所以

? 3分

6分







? 7分

(Ⅱ)解:据正弦定理得

,?10 分

所以

的面积为

??13 分

16. (本小题 13 分) 解: (I) . ?3 分



.



函数图象的对称轴方程是

??5 分

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(II)

故 ?8 分

的单调增区间为

(III)

,

?? 10 分

.

??

11 分



时,函数

,最小值为

. 13 分 17.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)证明:∵ABC—A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∴BD 是 B1D 在平面 ABC 上的射影 在正△ABC 中,∵D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BD, 根据三垂线定理得,AD⊥B1D (Ⅱ)解:连接 A1B,设 A1B∩AB1 = E,连接 DE. ∵AA1=AB ∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又 D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ?????????? 7 分 ∵DE 平面 AB1D,A1C 平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. ????????9 分 (Ⅲ) ??13 分

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18.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列

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的公差为

,则 ????1 分

又 解得 .

????2 分 ????4 分 ????5 分 ????6 分

(Ⅱ)由

????9 分

????13 分 19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵f(x)=x3-

x2+bx+c,
??2 分

∴f′(x)=3x2-x+b. ∵f(x)在 x=1 处取得极值, ∴f′(1)=3-1+b=0.
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∴b=-2. 经检验,符合题意. (Ⅱ)f(x)=x3-

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??3 分 ??4 分

x2-2x+c.
?5 分

∵f′(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),

x f′
(x) + 0 -

1

(1,2)

2

0

+

f(x)

??7 分 ∴当 x=- 时,f(x)有极大值 +c.

又 ∴x∈[-1,2]时,f(x)最大值为 f(2)=2+c. ??8 分 2 ∴c >2+c. ∴c<-1 或 c>2. ????10 分 (Ⅲ)对任意的 恒成立.

由(Ⅱ)可知,当 x=1 时,f(x)有极小值

.



?12 分

∴x∈[-1,2]时,f(x)最小值为

.

,故结论成立. ??14 分 20.(本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:因为
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所以 a2=-a1+4=-a+4,且 a2∈(3,4) 所以 a3=a2-3=-a+1,且 a3∈(0,1) 所以 a4=-a3+4=a+3,且 a4∈(3,4) 所以 a5=a4-3=a ??4 分 (Ⅱ)证明:当 所以, ②当 所以, 综上, (Ⅲ)解:①若 因此,当 k=4m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ②若 成立 ?10 分 ??8 分 ??6 分

因此,当 k=2m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, ③若 因此 k=m(m∈N*)时,对所有的 n∈N*, 综上,若 0<a<1,则 k=4m; 若 a=2,则 k=m. m∈N* ,则 k=2m; ??14 分 , 成立

成立

?12 分

??13 分

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