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2.3 平面向量的基本定理及坐标表示


2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
第 1 课时
教学目标 一、知识与技能 1.通过探究活动,理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量 解决实际问题的重要思想方法. 能够在具体问题中适当地选取基底, 使其他向量都能够用基 底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量的正 交分解用于坐标表示,会用坐标表示向量. 二、过程与方法 1.首先通过“思考”,让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运 算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如 λ1e1+λ2e2 的向量表示. 2. 通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引 导学生理解“化归”思想对解题的帮助, 也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部 分的题. 3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以 学生练习为主,教师给予引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程, 这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题 的方法就越恰当而简捷. 三、情感、态度与价值观 1.在探究过程中,让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,培养学生 对 “化归”、“数形结合”等数学思想的应用. 2. 在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中,培养学生坚忍不拔的意志,实 事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. 教学重点、难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 教学关键:平面向量基本定理的理解. 教学突破方法: 通过问题设置, 让学生充分练习, 发现规律方法, 体现学生的主体地位. 教法与学法导航 教学方法:启发诱导. 学习方法:在老师问题的引导下,学生要充分作图,与小组成员合作探究,发现规律. 教学准备. 教师准备:多媒体、尺规. 学生准备:练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境,导入新课 在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分

解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解 拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢? 二、主题探究,合作交流 提出问题

①给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1、e2,请你作出向量 3e1+2e2、e1-2e2.平面 内的任一向量是否都可以用形如 λ1e1+λ2e2 的向量表示呢? ②如上左图,设 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量, 我们通过作图研究 a 与 e1、e2 之间的关系. 师生互动:如上右图,在平面内任取一点 O,作 OA =e1, OB =e2, OC =a.过点 C 作 平行于直线 OB 的直线,与直线 OA 交于点 M;过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于点 N. 由向量的线性运算性质可知, 存在实数 λ1、 λ2, 使得 OM =λ1e1,ON =λ2e2. 由 于 OC ? OM ? ON ,所以 a=λ1e1+λ2e2.也就是说,任一向量 a 都可以表示成 λ1e1+λ2e2 的形 式. 由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量 e1、e2 表示出来.当 e1、e2 确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带 来极大的方便. 由此可得:平面向量基本定理: 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有且 只有一对实数 λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2. 定理说明: (1)我们把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1、e2 的条件下进行分解; (4)基底给定时,分解形式唯一. 提出问题: ①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在, 向量的夹角与直线的夹角一样吗? ②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 师生互动: 引导学生结合向量的定义和性质, 思考平面内的任意两个向量之间的关系是 什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生 进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量 存在夹角,关于向量的夹角,我们规定: 已知两个非零向量 a 和 b(如图) ,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做

向量 a 与 b 的夹角.显然,当 θ=0°时,a 与 b 同向;当 θ=180°时,a 与 b 反向.因此,两非 零向量的夹角在区间[0° ,180° ]内. 如果 a 与 b 的夹角是 90° ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量 a,均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1 和 λ2a2,使 a=λ1a1+λ2a2. 在不共线的两个向量中, 垂直是一种重要的情形. 把一个向量分解为两个互相垂直的向 量,叫做把向量正交分解.如上,重力 G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交 分解是向量分解中常见的一种情形. 在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便. 提出问题 ①我们知道, 在平面直角坐标系中, 每一个点都可用一对有序实数 (即它的坐标) 表示. 对 直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢? ②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的?

师生互动:如图,在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底.对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数 x、 y,使得 a=xi+yj ① 这样,平面内的任一向量 a 都可由 x、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量 a 的 坐标,记作 a=(x,y) ② 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, ②式叫做向量的坐标表示. 显 然,i=(1,0) ,j=(0,1) ,0=(0,0) .教师应引导学生特别注意以下几点: (1)向量 a 与有序实数对(x,y)一一对应. (2)向量 a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与 其相对位置有关系.如图所示, A1 B1 是表示 a 的有向线段,A1、B1 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2) ,则向量 a 的坐标为 x=x2-x1,y=y2-y1,即 a 的坐标为(x2-x1,y2-y1) . (3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量 a 的有向线段的起点,这时向量 a 的坐标就由表示向量 a 的有向线段的终点唯一确定了,即点 A 的坐标就是向量 a 的坐标, 流程表示如下:

三、拓展创新,应用提高 例 1 已知向量 e1、e2(如右图) ,求作向量 -2.5e1+3e2. 作法: (1) 如图, 任取一点 O, 作 OA =-2. 5e1, OB =3e2.

(2)作

OACB.

故 OC 就是求作的向量. 例 2 如下图,分别用基底i、j 表示向量 a、b、c、d,并求出它们的坐标. 活动:本例要求用基底 i、j 表示 a、b、c、d,其关 把 a、b、c、d 表示为基底 i、j 的线性组合.一种方法是 正交分解,看 a 在 x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量 i、j 表示出来,进而得到向量 a 的坐标.另一种方法是把 a 移到坐标原点,则向量 a 终点的坐标就是向量 a 的坐 标.同样的方法,可以得到向量 b、c、d 的坐标.另外, 还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与 b 关于 y 称,a 与 c 关于坐标原点中心对称,a 与 d 关于 x 轴对称 等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标. 解:由图可知,a= AA1 + AA 2 =2i+3j, ∴a=(2,3) . 同理,b=-2i+3j=(-2,3) ; c=-2i-3j=(-2,-3) ; d=2i-3j=(2,-3) . 点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标. 四、小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定 义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法、定义法、归纳与类比、 数形结合. 五、课堂作业 1.如图所示,已知 AP = 于( ) 键是 把 a a 用 向量 本例 轴对

4 1 AB , AQ = AB ,用 OA 、 OB 表示 OP ,则 OP 等 3 3 1 4 OA + OB 3 3 1 4 D. OA - OB 3 3
B. ?

1 4 A. OA + OB 3 3 1 4 C. ? OA - OB 3 3

2.已知 e1,e2 是两非零向量,且|e1|=m,|e2|=n,若 c=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R) ,则|c|的最 大值为( ) A.λ1m+λ2n B.λ1n+λ2m C.|λ1|m+|λ2|n D.|λ1|n+|λ2|m 3.已知 G1、G2 分别为△A1B1C1 与△A2B2C2 的重心,且 A1 A2 =e1, B1 B2 =e2, C1 C2 =e3, 则 G1 G2 等于( A. )

1 (e1+e2+e3) 2 2 C. (e1+e2+e3) 3

1 (e1+e2+e3) 3 1 D. ? (e1+e2+e3) 3
B.

4.O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足

OP = OA +λ (
A.外心

AB AC ? ) ,λ∈[0,+∞) ,则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( | AB | | AC |
B.内心 C.重心 D.垂心



5. 已知向量 a、 b 且 AB =a+2b,BC =-5a+6b, 则一定共线的三点是 ( CD =7a-2b, A.A、B、D B.A、B、C C.C、B、D D.A、C、D



6.如右图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120° , ,且| OA |=| OB |=1,| OC |=2 3 ,若 OA 与 OC 的夹角为 30° ,则 λ+μ 的值为________. OC =λ OA +μ OB (λ,μ∈R) 参考答案: 1.B 2.C 3.B 4.B 5.A 6.6

第 2 课时
教学目标 一、知识与技能 1.理解平面向量的坐标的概念; 2.掌握平面向量的坐标运算; 3.会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 二、过程与方法 教师在引导学生探究时, 始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有 数与形紧密结合的特点. 让学生在了解向量知识网络结构基础上, 进一步熟悉向量的坐标表 示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学 应用意识,提高分析问题、解决问题的能力. 三、情感、态度与价值观 在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯,以加深理解知识要点, 增强应用意识. 教学重点、难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解. 教学关键:平面向量坐标运算的探究. 教学突破方法: 结合向量坐标表示的定义及运算律, 引导学生探究发现, 最终得到结论. 教法与学法导航 教学方法:问题式教学,启发诱导 学习方法:在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上,在老师的引导下, 通过与同学合作探究,得到结论. 教学准备 教师准备:多媒体、尺规.

学生准备:练习本、尺规. 教学过程 一、创设情境,导入新课 前一节课我们学习了向量的坐标表示, 引入向量的坐标表示后, 可使向量运算完全代数 化, 将数与形紧密结合起来, 这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算. 引 进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直, 是否也能通过坐标来研究呢? 二、主题探究,合作交流 提出问题: ①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,你能得出 a+b, a-b,λa 的坐标表示吗? ②如图,已知 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,怎样表示 AB 的坐标?你能在图中标出坐标为 (x2-x1,y2-y1)的 P 点吗?标出点 P 后,你能总结出什么结论?

师生互动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让 学生到黑板去板书步骤.可得: a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j, 即 a+b=(x1+x2,y1+y2) . 同理 a-b=(x1-x2,y1-y2) . 又 λa=λ(x1i+y1j)=λx1i+λy1j. ∴ λa=(λx1,λy1) . 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) ;实数与向量的积的 坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 教师再引导学生找出点与向量的关系: 将向量

AB 平移,使得点 A 与坐标原点 O 重合,则平移后的 B 点位置就是 P 点.向量 AB 的坐标
与以原点为始点,点 P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标 之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量 AB 的模与向量 OP 的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:
2 2 | AB |=| OP |= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) .

教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开 思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获. 讨论结果:①能. ② AB = OB - OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1) .

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题 ①如何用坐标表示两个共线向量? ②若 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,那么

y1 y ? 2 是向量 a、b 共线的什么条件? x1 x2

师生互动: 教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系. 此处教师要对 探究困难的学生给以必要的点拨:设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,其中 b≠0.我们知道,a、 b 共线,当且仅当存在实数 λ,使 a=λb.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=λ(x2,y2) , 即?

? ? x1 ? ?x 2 , 消去 λ 后得 x1y2-x2y1=0. ? y ? ? y . 2 ? 1

这就是说,当且仅当 x1y2-x2y1=0 时向量 a、b(b≠0)共线. 我们知道 x1y2-x2y1=0 与 x1y2=x2y1 是等价的, 但这与

y1 y 因为当 x1=x2=0 ? 2 是不等价的. x1 x2

时,x1y2-x2y1=0 成立,但

y1 y y y ? 2 均无意义.因此 1 ? 2 是向量 a、b 共线的充分不必 x1 x2 x1 x2

要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点. 讨论结果: ①x1y2-x2y1=0 时,向量 a、b(b≠0)共线. ②充分不必要条件. 提出问题:a 与非零向量 b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 λ 使得 a=λb,那 么这个充要条件如何用坐标来表示呢? 师生互动:教师引导推证:设 a=(x1,y1) ,b=(x2,y2) ,其中 b≠a, 由 a=λb, (x1,y1)=λ(x2,y2) ? ?

? ? x1 ? ?x 2 , 消去 λ,得 x1y2-x2y1=0. ? y ? ? y . 2 ? 1

讨论结果:a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0. 教师应向学生特别提醒感悟: 1. 消去 λ 时不能两式相除,∵y1、y2 有可能为 0,而 b≠0,∴x2、y2 中至少有一个不为 0. 2. 充要条件不能写成

y1 y . ? 2 (∵x1、x2 有可能为 0) x1 x2

3. 从而向量共线的充要条件有两种形式:a∥b(b≠0) ?

?ax ?yλb? x y .
1 2 2 1

三、拓展创新,应用提高 例 1 已知 a=(2,1) ,b=(-3,4) ,求 a+b,a-b,3a+4b 的坐标. 活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差 及数乘的坐标运算, 再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论. 若已知表示向量 的有向线段的始点和终点坐标, 那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标, 从而使

得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成. 解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5) ; a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3) ; 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19) . 点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 例 2 如图.已知 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1) 、 (-1,3) 、 (3, 4) ,试求顶点 D 的坐标.

活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法 一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向 量加法的平行四边形法则求得向量 OD 的坐标,进而得到点 D 的坐标.解题过程中,关键 是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系) ,数形结合地思考,将顶点 D 的坐 标表示为已知点的坐标. 解:方法一:如上图,设顶点 D 的坐标为(x,y) . ∵ AB =(-1-(-2) ,3-1)=(1,2) , DC =(3-x,4-y) .由 AB = DC , 得(1,2)=(3-x,4-y) . ∴?

?1 ? 3 ? x, ? x ? 2, ? ?2 ? 4 ? x. , ? y ? 2.

∴顶点 D 的坐标为(2,2) . 方法二:如上图,由向量加法的平行四边形法则,可知

BD ? BA ? AD ? BA ? BC
=(-2-(-1) ,1-3)+(3-(-1) ,4-3)=(3,-1) , 而 OD = OB + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2) , ∴顶点 D 的坐标为(2,2) . 点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算. 例 3 已知 a=(4,2) ,b=(6,y) ,且 a∥b,求 y. 解:∵a∥b,∴4y-2× 6=0.∴y=3. 例 4 已知 A(-1,-1) ,B(1,3) ,C(2,5) ,试判断 A、B、C 三点之间的位置关系. 活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后 根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线. 教师 引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系. 让学生通过 观察图象领悟先猜后证的思维方式. 解:在平面直角坐标系中作出 A、B、C 三点,观 察图形,我们猜想 A、B、C 三点共线.下面给出证明.

∵ AB =(1-(-1) ,3-(-1) )=(2,4) , ,5-(-1) )=(3,6) , AC =(2-(-1) 又 2× 6-3× 4=0, ∴ AB ∥ AC ,且直线 AB、直线 AC 有公共点 A, ∴A、B、C 三点共线. 点评: 本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法, 其实质是从同一点出发的两个 向量共线, 则这两个向量的三个顶点共线. 这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来 的. 例 5 设点 P 是线段 P1P2 上的一点,P1、P2 的坐标分别是(x1,y1) 、 (x2,y2) . (1)当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2)当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. 活动:教师充分让学生思考,并提出这一结论可以推广吗?即当

P1 P =λ 时,点 P 的坐 PP2

标是什么?师生共同讨论,一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广,有学生可能 提出如下推理方法: 由 P1 P =λ PP2 ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y) ,

? x1 ? ?x 2 x ? , ? ? ? x ? x1 ? ? ( x 2 ? x) ? 1 ? ? 即? ?? ? ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y ) ? y ? y1 ? ?y 2 . ? 1? ? ?
这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定,鼓励学生的这种积极探索,这是学 习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索 λ 的取值符 号对 P 点位置的影响,也可鼓励学生课后探索. 解: (1)如图,由向量的线性运算可知

OP =

x ? x 2 y1 ? y 2 1 , .) ( OP 1+ OP 2)=( 1 . 2 2 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 , .) 2 2

所以点 P 的坐标是(

(2)如图(1) 、 (2) ,当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,有两种情况,即

P1 P 1 P1 P = 或 =2. PP2 2 PP2
如果

P1 P 1 = ,如图(1) ,那么 PP2 2
1 1 2 1 P1 P2 = OP ( OP OP OP 1 + 2 - OP 1 )= 1 + 2 3 3 3 3

P P = OP OP = OP 1 + 1 1 +
=(

2 x1 ? x2 2 y1 ? y 2 , ) . 3 3
即点 P 的坐标是(

2 x1 ? x2 2 y1 ? y 2 , ) . 3 3

同理,如果

P1 P x ? 2x2 y1 ? 2 y2 =2 图(2) ,那么点 P 的坐标是 ( 1 , ). 3 3 PP2

点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式. 四、小结 1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算, 两个向量共线的坐标表示. 2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强 调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓 的精神,为将来的发展打下良好基础. 五、课堂作业 1.已知 a=(3,-1) ,b=(-1,2) ,则-3a-2b 等于( ) A. (7,1) B. (-7,-1) C. (-7,1) D. (7,-1) 2.已知 A(1,1) ,B(-1,0) ,C(0,1) ,D(x,y) ,若 AB 和 CD 是相反向量,则 D 点的坐标是( A. (-2,0) ) B. (2,2) C. (2,0) D. (-2,-2) )

3.若点 A (-1,-1) , B(1,3) , C (x,5)共线, 则使 AB =λ BC 的实数 λ 的值为 ( A.1 B.-2 C .0 D.2

3 1 ,sinα) ,b=(cosα, ) ,且 a∥b,则 α 的值是( 2 3 π π A.α=2kπ+ (k∈Z) B.α=2kπ- (k∈Z) 4 4 π π C.α=kπ+ (k∈Z) D.α=kπ- (k∈Z) 4 4
4.设 a=(



5.向量 OA =(k,12) , OB =(4,5) , OC =(10,k) ,当 k 为何值时,A、B、C 三 点共线? 参考答案: 1.B 2.B 3.D 4.C 5.∵ OA =(k,12) , OB =(4,5) , OC =(10,k) , ∴ AB = OB - OA =(4-k,-7) , BC = OC - OB =(6,k-5) . ∵ AB ∥ BC ,∴(4-k) (k-5)+7× 6=0.∴k2-9k-22=0. 解得 k=11 或 k=-2.


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