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山东省滕州市滕州一中新校2015届高三3月份模拟考试数学(文)试题 Word版含解析


2015 年山东省枣庄市滕州一中新校 高考数学模拟试卷(文科) (3 月份)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. (5 分)已知 z= ,则 z 的共轭复数为( )

A. 2﹣i B. 2+i C. ﹣2﹣i D. ﹣2+i 【考点】 : 复数代数形式的乘除运算. 【专题】 : 数系的扩充和复数. 【分析】 : 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解析】 : 解:z= = = =﹣2+i,则 z 的共轭复数=﹣2

﹣i. 故选:C. 【点评】 : 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 2. (5 分)集合 A={x|﹣1≤x≤2},B={x|x<1},则 A∩ (?RB)=( A. {x|x>1} B. {x|x≥1} C. {x|1<x≤2} D. {x|1≤x≤2} 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【分析】 : 根据补集和交集的意义直接求解. 【解析】 : 解:CRB={X|x≥1},A∩ CRB={x|1≤x≤2}, 故选 D. 【点评】 : 本题考查集合的基本运算,较简单. 3. (5 分) (2014?河南模拟)某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆) ,则该几 何体的表面积为( ) )

A. 92+14π B. 82+14π C. 92+24π D. 82+24π 【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 空间位置关系与距离.

-1-

【分析】 : 由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,下面是棱长为 5,4,4 的长方 体;上面是一个半圆柱,其轴截面与长方体的上面重合.据此即可得出该几何体的表面积. 【解析】 : 解:由三视图可知:该几何体是由上下两部分组成的,下面是棱长为 5,4,4 的 长方体;上面是一个半圆柱,其轴截面与长方体的上面重合. 2 ∴该几何体的表面积=5×4×3+4×4×2+π×2 +2π×5=92+14π. 故选 A. 【点评】 : 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 4. (5 分)命题“?x∈R,使得 x +x+1<0”的否定是( ) 2 2 A. ?x∈R,均有 x +x+1<0 B. ?x∈R,均有 x +x+1≥0 2 2 C. ?x∈R,使得 x +x+1<0 D. ?x∈R,均有 x +x+1<0 【考点】 : 命题的否定. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 2 【解析】 : 解: 因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“?x∈R, 使得 x +x+1<0”的否定是: 2 ?x∈R,均有 x +x+1≥0. 故选:B. 【点评】 : 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 5. (5 分)曲线 y=x ﹣2x 在点(1,﹣1)处的切线方程是( ) A. x﹣y﹣2=0 B. x﹣y+2=0 C. x+y+2=0 D. x+y﹣2=0 【考点】 : 利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】 : 导数的概念及应用. 【分析】 : 先求导公式求出导数,再把 x=1 代入求出切线的斜率,代入点斜式方程再化为一 般式. 【解析】 : 解:由题意得,y′ =3x ﹣2, ∴在点(1,﹣1)处的切线斜率是 1, ∴在点(1,﹣1)处的切线方程是:y+1=x﹣1,即 x﹣y﹣2=0, 故选 A. 【点评】 : 本题考查了导数的几何意义,即在某点处的切线斜率是该点处的导数值,以及直 线方程的点斜式和一般式. 6. (5 分)抛物线 y=8x 的焦点坐标是(
2 2 3 2

) ) D. (0, )

A. (2,0) B. (﹣2,0) C. (0,

【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 计算题. 2 【分析】 : 把抛物线 y=8x 的方程化为标准形式,确定开口方向和 p 值,即可得到焦点坐标. 【解析】 : 解:抛物线 y=8x 的标准方程为 x = y,p= 上,
2 2

,开口向上,焦点在 y 轴的正半轴

-2-

故焦点坐标为(0,

) ,

故选 C. 2 【点评】 : 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用;把抛物线 y=8x 的方程化为标 准形式,是解题的关键.

7. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< 到 y=sin2x 的图象,只需将 f(x)的图象( )

)的部分图象如图所示,为了得

A. 向右平移 C. 向左平移

个单位 B. 向右平移 个单位 D. 向左平移

个单位 个单位

【考点】 : 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】 : 计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】 : 由函数的最值求出 A, 由周期求出 ω, 由五点法作图求出 φ 的值, 可得函数的 f (x) 的解析式.再根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换规律,可得结论. 【解析】 : 解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , A=1,T= =2 =π,∴ω=2. +φ=0,∴φ= . )=sin2(x+ ) . 的图象可得

再由五点法作图可得 2×

故函数的 f(x)的解析式为 f(x)=sin(2x+ 故把 f(x)=sin2(x+ )的图象向右平移

个单位长度,可得 g(x)=sin2x 的图象,

故选:B. 【点评】 : 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,函数 y=Asin(ωx+φ) 的图象的变换规律,属于中档题.

8. (5 分)设 z=x+y,其中实数 x,y 满足

,若 z 的最大值为 12,则 z 的最小值为



) A. ﹣3 B. ﹣6 C. 3 D. 6

-3-

【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 先画出可行域,得到角点坐标.再利用 z 的最大值为 12,通过平移直线 z=x+y 得 到最大值点 A,求出 k 值,即可得到答案. 【解析】 : 解:可行域如图: 由 得:A(k,k) ,

目标函数 z=x+y 在 x=k,y=k 时取最大值,即直线 z=x+y 在 y 轴上的截距 z 最大, 此时,12=k+k, 故 k=6. ∴得 B(﹣12,6) , 目标函数 z=x+y 在 x=﹣12,y=6 时取最小值,此时,z 的最小值为 z=﹣12+6=﹣6, 故选 B.

【点评】 : 本题主要考查简单线性规划.解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可 行域,将目标函数赋予几何意义. 9. (5 分)现有四个函数:① y=x?sinx② y=x?cosx③ y=x?|cosx|④ y=x?2 的图象(部分)如下,则按 照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
x

A. ① ④ ③ ② B. ④ ① ② ③ C. ① ④ ② ③ D. ③ ④ ② ① 【考点】 : 函数的图象与图象变化. 【专题】 : 综合题. 【分析】 : 从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 Y 轴对称,是一个偶函数,第 二个图象不关于原点对称,也不关于 Y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于 原点对称,是奇函数,但第四个图象在 Y 轴左侧,函数值不大于 0,分析四个函数的解析后, 即可得到函数的性质,进而得到答案. 【解析】 : 解:分析函数的解析式,可得:

-4-

① y=x?sinx 为偶函数;② y=x?cosx 为奇函数;③ y=x?|cosx|为奇函数,④ y=x?2 为非奇非偶函数 且当 x<0 时,③ y=x?|cosx|≤0 恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:① ④ ② ③ 故选:C. 【点评】 : 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中函数的图象或解析式,分析出 函数的性质,然后进行比照,是解答本题的关键. 10. (5 分)若 Ai(i=1,2,3,…,n)是△AOB 所在的平面内的点,且 出下列说法: ① | ② | |=| |=…=| |=| |; |;

x

?

=

?

.给

|的最小值一定是|

③ 点 A、Ai 在一条直线上. 其中正确的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 平面向量及应用;简易逻辑. 【分析】 : 由 | |=| |=…=| ? = |=| ? ? |,| = ? ,可得 =0,即可判断出点 A、Ai 在一条直线上.而 |,不一定正确.

|的最小值一定是| ,

【解析】 : 解:∵ ∴ ∴ =0,

=0,

因此点 A、Ai 在一条直线上.而|

|=|

|=…=|

|=|

|,|

|的最小值一定是|

|,不

一定正确. 故只有③ 正确而① ② 不正确. 故选:B. 【点评】 : 本题考查了向量的数量积与垂直的关系、向量共线定理,考查了推理能力,属于 中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. (5 分)已知 x>4,则 的最小值 6 .

【考点】 : 基本不等式. 【专题】 : 不等式的解法及应用.

-5-

【分析】 : 化简

=

,利用基本不等式即可求解.

【解析】 : 解:∵x>4, x﹣4>0 ∴ ,

=6. 当且仅当 x﹣4= ,即 x=5 时,等号成立.

故答案为:6. 【点评】 : 本题主要考查基本不等式的应用,属于基础题. 12. (5 分)圆 C:x +y ﹣2x﹣4y+4=0 的圆心到直线 3x+4y+4=0 的距离 d= 3 . 【考点】 : 点到直线的距离公式. 【分析】 : 先求圆心坐标,然后求圆心到直线的距离即可. 【解析】 : 解:圆心(1,2)到直线 3x+4y+4=0 距离为 故答案为:3 【点评】 : 考查点到直线距离公式,圆的一般方程求圆心坐标,是基础题. .
2 2

13. (5 分)已知

,则

=



【考点】 : 运用诱导公式化简求值. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 利用 【解析】 : 解: 故答案为: . 【点评】 : 本题考查了诱导公式的应用,属于基础题. 14. (5 分) (2014?青岛一模)如图是某算法的程序框图,若任意输入[1,19]中的实数 x,则 输出的 x 大于 49 的概率为 . 即可得出. = = .

-6-

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 概率与统计;算法和程序框图. 【分析】 : 根据框图的流程,依次计算运行的结果,直到不满足条件 n≤3,求出输出 x 的值, 再根据输出的 x 大于 49,求出输入 x 的范围,根据几何概型的概率公式计算. 【解析】 : 解:由程序框图知:第一次运行 x=2x﹣1,n=2; 第二次运行 x=2×(2x﹣1)﹣1.n=2+1=3; 第三次运行 x=2×[2×(2x﹣1)﹣1]﹣1,n=3+1=4, 不满足条件 n≤3,程序运行终止,输出 x=8x﹣(4+2+1)=8x﹣7, 由输出的 x 大于 49,得 x>7,∴输入 x∈(7,19],数集的长度为 12, 又数集[1,19]的长度为 18, ∴输出的 x 大于 49 的概率为 . 故答案为: . 【点评】 : 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问 题的关键. 15. (5 分)如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1) 2 x +x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数① y=x ;② y=e +1; ③ y=2x﹣sinx;④ .以上函数是“H 函数”的所有序号为 ② ③ .

【考点】 : 函数单调性的性质. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 【解析】 : 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立,

-7-

即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ① 函数 y=x 在定义域上不单调.不满足条件. x ② y=e +1 为增函数,满足条件. ③ y=2x﹣sinx,y′ =2﹣cosx>0,函数单调递增,满足条件. ④ f(x)= .当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不满
2

足条件. 综上满足“H 函数”的函数为② ③ , 故答案为:② ③ . 【点评】 : 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题 的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 16. (12 分)已知向量 ,设函数

,若函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数 g(x)在区间 上的最大值,并求出此时 x 的取值; ,

(Ⅱ) 在△ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 若 b+c=7,bc=8,求边 a 的长.

【考点】 : 三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【专题】 : 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 : (Ⅰ)由向量的数量积运算求得 f(x)的解析式,化简后取 x=﹣x,y=﹣y 求得 g (x)的解析式,则函数 g(x)在区间 求; (Ⅱ)由 求得角 A 的正弦值,利用同角三角函数的基本 上的最大值及取得最大值时的 x 的值可

关系求得角 A 的余弦值,在利用余弦定理求边 a 的长. 【解析】 : 解: (Ⅰ)由向量 , 得, ∴ ∵ , . , ,且

-8-

∴ ∴当 函数 g(x)在区间 (Ⅱ)∵ 由 , ∴ . ,即

, 时, 上的最大值为 ; , ,得 ,

又∵0<A<π,解得: 由题意知:bc=8,b+c=7,
2 2 2





∴a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣2bc(1+cosA)=33﹣16cosA, 2 2 则 a =25 或 a =41, 故所求边 a 的长为 5 或 . 【点评】 : 本题考查了平面向量数量积的运算,考查了三角函数的对称变换,训练了余弦定 理的应用,是中档题. 17. (12 分)在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和 “阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级.某考场考生的两科考试 成绩的数据统计如图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

2

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分,求该考场考生“数学 与逻辑”科目的平均分; (Ⅲ)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A.在至少一科成绩为 A 的 考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 【考点】 : 众数、中位数、平均数;古典概型及其概率计算公式. 【专题】 : 概率与统计.

-9-

【分析】 : (Ⅰ)根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生人数,结合样本容量=频数÷ 频率得出该考场考生人数, 再利用频率和为 1 求出等级为 A 的频率, 从而得到该考场考生中“阅 读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数. (Ⅱ)利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分. (Ⅲ)通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为 A 的 情况;利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A 的 概率. 【解析】 : 解: (Ⅰ)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40 人, 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为: 40×(1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025)=40×0.075=3 人; (Ⅱ)该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为: ×[1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25)+5×(40×0.075)]=2.9;

(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A, 所以还有 2 人只有一个科目得分为 A, 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为: Ω={{甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁}},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取两人进行访谈,这两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B, 所以事件 B 中包含的基 本事件有 1 个, 则 P(B)= . 【点评】 : 本小题主要考查统计与概率的相关知识,具体涉及到频率分布直方图、平均数及 古典概型等内容. 18. (12 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥面 ABCD, E、 F 分别为 BD、 PD 的中点, EA=EB. (Ⅰ)证明:PB∥面 AEF; (Ⅱ)证明:AD⊥PB.

【考点】 : 直线与平面平行的判定. 【专题】 : 空间位置关系与距离.

- 10 -

【分析】 :(Ⅰ) 由已知条件得知一角形中位线定理推导出 EF∥PB, 由此能证明 PB∥面 AEF. (Ⅱ)由 PA⊥面 ABCD,PA⊥AD,由 EA=EB,E 为 BD 的中点,推导出 AD⊥面 PAB,由 此能证明 AD⊥PB. 【解析】 : (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:因为 E、F 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EF∥PB…(2 分) 因为 EF?面 AEF,PB?面 AEF 所以 PB∥面 AEF…(5 分) (Ⅱ)证明:因为 PA⊥面 ABCD, 所以 PA⊥AD…(7 分) 因为 EA=EB,所以∠ABE=∠BAE, 又因为 E 为 BD 的中点, 所以∠ADE=∠DAE, 所以 2(∠BAE+∠DAE)=180°, 得∠BAE+∠DAE=90°,即 BA⊥AD,…(10 分) 因为 PA∩ AB=A,所以 AD⊥面 PAB, 所以 AD⊥PB.…(12 分)

【点评】 : 本题考查直线与平面平行的证明,考查异面直线垂直的证明,解题时要认真审题, 注意空间思维能力的培养. 19. (12 分)在数列{an}(n∈N )中,其前 n 项和为 Sn,满足 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
*



【考点】 : 数列的求和;数列递推式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)由 ,求出 ,再由 an=Sn

﹣Sn﹣1,能求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 【解析】 : 解: (Ⅰ)由题设得: ,由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn. ,

- 11 -

∴ ∴an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣n(n≥2)…(2 分) 当 n=1 时,a1=S1=0, ∴数列{an}是 a1=0 为首项、公差为﹣1 的等差数列, ∴an=1﹣n.…(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知:
0
﹣1


﹣2 ﹣3

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=1?2 +2?2 +3?2 +4?2 +…+n?2
n

1﹣

…(8 分)

两式相减得: = ∴ .…(12 分) .

【点评】 : 本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注 意错位相减法的合理运用. 20. (13 分)已知函数 f(x)=x ﹣2lnx,h(x)=x ﹣x+a. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设函数 k(x)=f(x)﹣h(x) ,若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围. 【考点】 : 利用导数研究函数的极值;函数的零点. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : (I)先在定义域内求出 f′ (x)=0 的值,再讨论满足 f′ (x)=0 的点附近的导数 的符号的变化情况,来确定极值; (II)先求出函数 k(x)的解析式,然后研究函数 k(x)在[1,3]上的单调性,根据函数 k(x)
2 2

在[1,3]上恰有两个不同零点,建立不等关系

,最后解之即可.

【解析】 : 解: (Ⅰ)∵

,令 f′ (x)=0,

∵x>0,∴x=1. ∴f(1)=1, 所以 f(x)的极小值为 1,无极大值. (7 分) (Ⅱ)∵ x (0,1) 1 (1,+∞) f′ (x) _ 0 + f(x) 减 1 增 ,

- 12 -

若 k′ (x)=0,则 x=2 当 x∈[1,2)时,f′ (x)<0; 当 x∈(2,3]时,f′ (x)>0. 故 k(x)在 x∈[1,2)上递减,在 x∈(2,3]上递增. (10 分)





所以实数 a 的取值范围是: (2﹣2ln2,3﹣2ln3](15 分) 【点评】 : 本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的零点等有关基础知识,考 查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.

21. (14 分)已知点 P 在椭圆 C: 椭圆的右焦点 F2,且 ,

上,以 P 为圆心的圆与 x 轴相切于 ,其中 O 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 M(﹣1,0) ,设 Q 是椭圆 C 上的一点,过 Q、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 N, 若 ,求直线 l 的方程; 交于不同的两点 S,T,其中 S 点的坐标为(﹣2,0) ,

(Ⅲ)作直线 l1 与椭圆 D:

若点 G(0,t)是线段 ST 垂直平分线上一点,且满足

,求实数 t 的值.

【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】 : 圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 : (Ⅰ)由已知条件推导出 PF2⊥OF2,设 r 为圆 P 的半径,c 为椭圆的半焦距,由 ,
2 2

,求出

,再由点 P

在椭圆,求

出 a =4,b =2,由此能求出椭圆 C 的方程. (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y=k(x+1) ,由 N(0,k) ,Q(x1,y1) , 方程. (Ⅲ)由题意知椭圆 D:
2 2 2 2

,能求出直线 l 的

,设直线 l1 的方程为 y=k(x+2) ,把它代入椭圆 D 的方程

得: (1+4k )x +16k x+(16k ﹣4)=0,利用韦达定理能求出满足条件的实数 t 的值. 【解析】 : (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意知,在△OPF2 中,PF2⊥OF2, 由 ,得: ,

设 r 为圆 P 的半径,c 为椭圆的半焦距,

- 13 -

∵ 又,

,∴ ,解得:

, ,

∴点 P 的坐标为 ∵点 P 在椭圆 C:

,…(2 分) 上,∴
2 2



又 a ﹣b =c =2,解得:a =4,b =2, ∴椭圆 C 的方程为 .…(4 分)

2

2

2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 C 的方程为



由题意知直线 l 的斜率存在,故设其斜率为 k, 则其方程为 y=k(x+1) ,N(0,k) , 设 Q(x1,y1) ,∵ ,

∴(x1,y1﹣k)=2(﹣1﹣x1,﹣y1) , ∴ ,…(7 分)

又∵Q 是椭圆 C 上的一点,∴ 解得 k=±4, ∴直线 l 的方程为 4x﹣y+4=0 或 4x+y+4=0.…(9 分) (Ⅲ)由题意知椭圆 D: ,



由 S(﹣2,0) ,设 T(x1,y1) , 根据题意可知直线 l1 的斜率存在, 设直线斜率为 k,则直线 l1 的方程为 y=k(x+2) , 把它代入椭圆 D 的方程,消去 y, 2 2 2 2 整理得: (1+4k )x +16k x+(16k ﹣4)=0, 由韦达定理得 ,



,y1=k(x1+2)=



所以线段 ST 的中点坐标为





(1)当 k=0 时,则有 T(2,0) ,线段 ST 垂直平分线为 y 轴,

- 14 -

∴ 由 ,解得:

, .…(11 分) =﹣ (x+ ) ,

(2)当 k≠0 时,则线段 ST 垂直平分线的方程为 y﹣ ∵点 G(0,t)是线段 ST 垂直平分线的一点, 令 x=0,得: ∴ , ,



,解得:



代入

,解得:



综上,满足条件的实数 t 的值为



.…(14 分)

【点评】 : 本题考查椭圆方程、直线方程的求法,考查满足条件的实数值的求法,解题时要 认真审题,注意等价转化思想的合理运用.

- 15 -


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