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2018.4北京市西城区高三数学一模理科试题 及答案


西城区高三统一测试

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
符合题目要求的一项. 1.若集合 A (A) { (C) {
? { x ? R | 3x ? 2 ? 0}

2018.4

共 40 分)

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出

,B

?{ x?R |x

2

? 2x ? 3 ? 0}

,则 A

B ?
2 3

x ? R | x ? ? 1}
2 3

(B) { (D) {

x ? R | ?1 ? x ? ?

}

x?R |?

? x ? 3}

x ? R | x ? 3}

2.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
2 2 3.已知圆的方程为 x ? y ? 2 y ? 0 .以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,该圆

的极坐标方程为 (A) ? (C) ?
? ? 2 s in ? ? ? 2 cos ?

(B) ? (D) ?

? 2 s in ? ? 2 cos ?

4.正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱的表面积是 (A) 3 (C) 6
? 3

(B)
3
?? ?

9 2

3

(D) 6
?? ?

? 2 3
?? ?

5.已知 O 是正方形 A B C D 的中心.若 D O
1 2

? ? AB ? ? AC

,其中 ? , ?

? R

,则

? ?

?

(A) ?

(B) ? 2

(C) ?

2

(D)

2

第 1 页 共 11 页

6.设函数

f (x) ? x ? bx ? c

2

.则“

f (x)

有两个不同的零点”是“ ? x 0 ? R ,使 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

f ( x0 ) ? 0

”的

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 7.函数
? 2 x ? 4 x ? 1, x ? 0 , ? f (x) ? ? x x ≤ 0. ? ?2 ?3 ,
2

则y

? f (x)

的图象上关于原点 O 对称的点共有

(A)0 对 (C)2 对

(B)1 对 (D)3 对

8.某计算机系统在同一时间只能执行一项任务,且该任务完成后才能执行下一项任务.现有 三项任务 U,V,W,计算机系统执行这三项任务的时间(单位:s)依次为 a , b , c , 其中 a
? b ? c

.一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务

的时间与计算机系统执行该任务的时间之比.下列四种执行顺序中,使三项任务“相对等 待时间”之和最小的是 (A)U ? V ? W (B)V ? W ? U (C)W ? U ? V (D)U ? W ? V

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题
9.若复数 ( a
? i)(3 ? 4 i)

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 的实部与虚部相等,则实数 a
?

____.

10.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 1

? 2

,S4

? 20

,则 a 3

?

____; S n

?

____.

2 11.已知抛物线 y ? ? 8 x 的焦点与双曲线

x a

2 2

? y

2

? 1 (a ? 0)

的一个焦点重合,则 a ? ____;

双曲线的渐近线方程是____.

2 12.设 ? ? 0 ,若函数 y ? c o s ? x 的最小正周期为

π 2

,则 ?

?

____.

13.安排甲、乙、丙、丁 4 人参加 3 个运动项目,每人只参加一个项目,每个项目都有人参 加.若甲、乙 2 人不能参加同一个项目,则不同的安排方案的种数为____. (用数字作答)

14.如图,在长方体 A B C D

? A1 B 1 C 1 D 1 中, A A1 ? A B ? 2

, BC

?1,

点 P 在侧面 A1 A B B 1 上.若点 P 到直线 A A1 和 C D 的距离相等, 则 A1 P 的最小值是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在△ A B C 中,已知 (Ⅰ)求 ? (Ⅱ)若 a
A
3 a ? s in C ? c ? s in 2 A



的大小;
7

?

,b

? 2 3

,求△ A B C 的面积.

第 3 页 共 11 页

16. (本小题满分 13 分) 某企业 2017 年招聘员工,其中 A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比 例(精确到 1%)如下:
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例

A B C D E 总计

269 40 177 44 3 533

167 12 57 26 2 264

62% 30% 32% 59% 67% 50%

40 202 184 38 3 467

24 62 59 22 2 169

60% 31% 32% 58% 67% 36%

(Ⅰ)从表中所有应聘人员中随机选择 1 人,试估计此人被录用的概率; (Ⅱ)从应聘 E 岗位的 6 人中随机选择 2 人.记 X 为这 2 人中被录用的人数,求 X 的分布列和 数学期望; (Ⅲ)表中 A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值不大于 5%) ,但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某四 种岗位,则男性、女性的总录用比例也接近,请写出这四种岗位. (只需写出结论)

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在△ A B C 中, D ,E 分别为 A B , A C 的中点,O 为 D E 的中点, A B ? A C ? 2 5 ,
BC ? 4

.将△ A D E 沿 D E 折起到△ A1 D E 的位置,使得平面 A1 D E
? BD

?

平面 B C E D ,如图 2.

(Ⅰ)求证: A1 O



(Ⅱ)求直线 A1 C 和平面 A1 B D 所成角的正弦值; (Ⅲ) 线段 A1 C 上是否存在点 F , 使得直线 D F 和 B C 所成角的余弦值为 的值;若不存在,说明理由.
5 3

?若存在, 求出

A1 F A1 C

图1

图2

第 4 页 共 11 页

18. (本小题满分 13 分)
x 已知函数 f ( x ) ? e ? ( a ?

1 x

? ln x )

,其中 a ? R .

(Ⅰ)若曲线 y

? f (x)

在x

?1

处的切线与直线 y

? ?

x e

垂直,求 a 的值;

(Ⅱ)当 a ? ( 0 , ln 2 ) 时,证明:

f (x)

存在极小值.

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 O
:x ? y
2 2

? 4

和椭圆 C

:x ? 2y

2

2

? 4

, F 是椭圆 C 的左焦点.

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率和点 F 的坐标; (Ⅱ)点 P 在椭圆 C 上,过 P 作 x 轴的垂线,交圆 O 于点 Q ( P , Q 不重合) , l 是过点 Q 的圆 O 的 切线.圆 F 的圆心为点 F ,半径长为 | P F | .试判断直线 l 与圆 F 的位置关系,并证明你 的结论.

20. (本小题满分 13 分) 数列 A n : a 1 ,
S0 ? 0

a2 ,

, an (n ≥ 2)

满足: a k
n | Sk ? S
j

? 1 ( k ? 1, 2 ,

, n ) .记 A n 的前 k
, k ? 1}

项和为 S k ,并规定

* .定义集合 E n ? { k ? N , k





j ? 0 ,1,



(Ⅰ)对数列 A 5 : ? 0 .3 , 0 .7 , ? (Ⅱ) 若集合 E n
? { k1 , k 2 ,

0 .1 , 0 .9

, 0 .1 ,求集合 E 5 ;
? km )

, km } (m ? 1

,k 1
? C

? k2 ?

, 证明:S k

i ?1

? S k ? 1 ( i ? 1, 2 ,
i

, m ? 1)



(Ⅲ)给定正整数 C .对所有满足 S n

的数列 A n ,求集合 E n 的元素个数的最小值.

第 5 页 共 11 页

西城区高三统一测试

数学(理科)参考答案及评分标准
2018.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.C 6.C 3.B 7.C 4.D 8.A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ? 7 12. 2 10. 6 , n 2 13. 3 0
? n

11. 3 , x 14. 3

?

3y ? 0

注:第 10,11 题第一空 3 分,第二空 2 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 所以
3 a ? s in C ? c ? s in 2 A
3 a c

, .
s in A s in C ? s in C ? 2 s in A c o s A

? s in C ? 2 s in A c o s A

[ 1 分] . [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分] [ 6 分]

在△ A B C 中,由正弦定理得 所以 因为
3 2

3

cos A ?
0? A? π





所以 A ?

π 6


a
2

(Ⅱ)在△ A B C 中,由余弦定理得 所以
( 7)
2

? b

2

? c
3 2

2

? 2bc cos A

, [ 8 分] [ 9 分] [11 分]

? (2

3) ? c

2

2

? 2(2

3) ?c ?



整理得 解得 当c 当c

c

2

? 6c ? 5 ? 0



c ? 1 ,或 c ? 5

,均适合题意.
? 1 2 b c s in A ? 3 2 5 3 2

? 1 时,△ A B C

的面积为 S

. .

[12 分] [13 分]

? 5

时,△ A B C 的面积为 S

?

1 2

b c s in A ?

第 6 页 共 11 页

16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 表中所有应聘人员总数为 被该企业录用的人数为
533 ? 467 ? 1000



264 ? 169 ? 433


433 1000

所以 从表中所有应聘人员中随机选择 1 人, 此人被录用的概率约为 P ? (Ⅱ)X 可能的取值为 0 ,1, 2 . 因为应聘 E 岗位的 6 人中,被录用的有 4 人,未被录用的有 2 人, 所以
P ( X ? 0) ? C2 C6
2 2

. [ 3 分] [ 4 分] [ 5 分]

?

1 15



P ( X ? 1) ?

C 2C 4 C6
2

1

1

?

8 15



P ( X ? 2) ?

C4 C6
2

2

?

2 5



[ 8 分]

所以 X 的分布列为: X P
E(X ) ? 0 ? 1 15 ? 1? 8 15

0
1 15

1
8 15

2
2 5

? 2?

2 5

?

4 3



[10 分] [13 分]

(Ⅲ)这四种岗位是:B、C、D、E.

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)因为 在△ A B C 中, D , E 分别为 A B , A C 的中点, 所以 所以 所以
D E // B C
A1 D ? A1 E A1 O ? D E

, AD

? AE



,又 O 为 D E 的中点, .
?

[ 1 分] 平面 B C E D ,且 A1 O
?

因为 平面 A1 D E 所以 所以
A1 O ?

平面 A1 D E , [ 3 分] [ 4 分]

平面 B C E D , .
OE ? OG

A1 O ? B D

(Ⅱ)取 B C 的中点 G ,连接 O G ,所以 由(Ⅰ)得
A1 O ? O E



, A1 O

? OG

. [ 5 分]

如图建立空间直角坐标系 O

- xyz



由题意得, A1 ( 0 , 0 , 2 ) , B ( 2 , ? 2 , 0 ) , C ( 2 , 2 , 0 ) , D ( 0 , ? 1, 0 ) . 所以
?? ?

A1 B ? ( 2 , ? 2 , ? 2 )

, A1 D

?? ?

? ( 0 , ? 1, ? 2 )

, A1 C

?? ?

? (2, 2, ?2)



第 7 页 共 11 页

设平面 A1 B D 的法向量为 n 则
?? ? ? ? n ? A1 B ? 0 , ? ?? ? ? n ? A D ? 0, ? 1

? ( x, y, z) ,



? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ? ? ? y ? 2 z ? 0.

令x

? 1 ,则 y ? 2

,z

? ?1

,所以

n ? (1, 2 , ? 1)

. [ 7 分]

设直线 A1 C 和平面 A1 B D 所成的角为 ? ,
?? ?



?? ?

s in ? ? | c o s ? n , A1 C ? | ?

| n ? A1 C |
?? ?

?

2 3

2


2 3 2

| n || A1 C |

所以 直线 A1 C 和平面 A1 B D 所成角的正弦值为 (Ⅲ)线段 A1 C 上存在点 F 适合题意. 设 设
?? ? ?? ?



[ 9 分]

A1 F ? ? A1 C

,其中 ?

? [ 0 , 1]

. ,

[10 分]

F ( x1 , y 1 , z 1 )

,则有 ( x1 ,

y1 , z1 ? 2 ) ? ( 2 ? , 2 ? , ? 2 ? )

所以 所以 所以

x1 ? 2 ? , y 1 ? 2 ? , z 1 ? 2 ? 2 ?
?? ?

,从而
?? ?

F (2? , 2? , 2 ? 2? ) ,

D F ? ( 2 ? , 2 ? ? 1, 2 ? 2 ? )
?? ? ?? ? ?? ?

,又 B C

? (0, 4, 0 )

, .
2

?? ?

| cos ? D F , B C ? | ?

| DF ? BC |
?? ? ?? ?

? 4
5 3
2

4 | 2? ? 1 | ( 2 ? ) ? ( 2 ? ? 1) ? ( 2 ? 2 ? )
2

[12 分]

| D F || B C |


2

| 2? ? 1 | ( 2 ? ) ? ( 2 ? ? 1) ? ( 2 ? 2 ? )
2 2

?

, [13 分]

整理得 解得

3?
1 3

2

? 7? ? 2 ? 0

. .
A1 F A1 C ? 1 3

? ?

,舍去 ?

? 2

所以 线段 A1 C 上存在点 F 适合题意,且



[14 分]

18. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)
f (x)

的导函数为

f ?( x ) ? e ? ( a ?
x

x

1 x

? ln x ) ? e ? (

x

1 x

?

1 x
2

)

? e ? (a ?

2 x

?

1 x
2

? ln x )



[ 2 分] [ 4 分] [ 5 分]

依题意,有

f ? (1) ? e ? ( a ? 1) ? e



解得 a ? 0 .

第 8 页 共 11 页

(Ⅱ)由 令 则

f ?( x ) ? e ? ( a ?

x

2 x

?

1 x
2

? ln x )

及ex

? 0

知,

f ?( x )

与a

?

2 x

?

1 x
2

? ln x

同号. [ 6 分]

g (x) ? a ?
x
2

2 x

?

1 x
3

2

? ln x


2

g ?( x ) ?

? 2x ? 2 x

?

( x ? 1) ? 1 x
3

. ,故 g ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 单调递增. ,g(
1 2 ) ? a ? ln 1 2 ? 0

[ 8 分] [ 9 分]

所以 对任意 x ? ( 0 , ? ? ) ,有 g ? ( x) 因为
a ? ( 0 , ln 2 )
1 2

?0

,所以 ,使得
1 2 ,1)

g (1) ? a ? 1 ? 0

, [11 分]

故 存在 x 0
f (x)

?(

,1)

g ( x0 ) ? 0





f ?( x )

在区间 (
( 1 2

上的情况如下:
x0
( x 0 , 1)

x

, x0 )

f ?( x )

?

0

+

f (x)

↘ 在区间 (
1 2 , x0 )

极小值



所以 所以

f (x)

上单调递减,在区间 ( x 0 , 1) 上单调递增. . [13 分]

f (x)

存在极小值

f ( x0 )

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意,椭圆 C 的标准方程为 所以 因此
a
2

x

2

4
2

?

y

2

2
2

?1.
2

[ 1 分] .

? 4

,b2
?

? 2
2

,从而 .

c

? a

?b

? 2

a ? 2

,c

故椭圆 C 的离心率

e ?

c a

?

2 2


2 ,0)

[ 3 分] . [ 4 分] [ 5 分]
2

椭圆 C 的左焦点 F 的坐标为 ( ? (Ⅱ)直线 l 与圆 F 相切.证明如下: 设 P ( x 0 , y 0 ) ,其中 ? 2
? x0 ? 2

,则 x 0

? 2 y0 ? 4

2



[ 6 分] [ 7 分]

2 2 依题意可设 Q ( x 0 , y 1 ) ,则 x 0 ? y 1 ? 4 .

直线 l 的方程为

y ? y1 ? ?

x0 y1

( x ? x0 )



第 9 页 共 11 页

整理为

x 0 x ? y1 y ? 4 ? 0


d ? |? 2 x0 ? 4 |
2 x0

[ 9 分]
?| 2 2 x0 ? 2 | .

所以圆 F 的圆心 F 到直线 l 的距离

?

2 y1

[11 分]

因为 所以 即

| P F | ? ( x0 ?

2

2 ) ? y0 ? ( x0 ?

2

2

2) ?

2

1 2

(4 ? x0 ) ?

2

1 2

x0 ? 2

2

2 x0 ? 4



[13 分]

| PF | ? d

2

2



| PF |? d

, [14 分]

所以 直线 l 与圆 F 相切.

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 所以
S0 ? 0

, S1

? ? 0 .3

,S2

? 0 .4

, S3

? 0 .3

,S4

? 1 .2

, S5

? 1 .3



[ 2 分] [ 3 分]

E 5 ? { 2 , 4 , 5} .
Sk ? Sk

(Ⅱ)由集合 E n 的定义知 所以
Sk
?1

i ?1

i

,且 k i ? 1 是使得 S k

? Sk

i

成立的最小的 k, [ 5 分]

i ?1

≤ Sk

i

.

又因为 所以
Sk

ak

i ?1

?1,

i ?1

? Sk

i ?1

?1

? ak

i ?1

[ 6 分]

? Sk ? 1.
i

所以

Sk

i ?1

? Sk ? 1
i

. 非空.
, km }

[ 8 分]

(Ⅲ)因为 S n 设集合

? S 0 ,所以 E n E n ? { k1 , k 2 ,
Sk

,不妨设 k 1

? k2 ?
, m ? 1)

? km



则由(Ⅱ)可知 同理 所以

i ?1

? S k ? 1 ( i ? 1, 2 ,
i



S k ? S 0 ? 1 ,且 S n ≤ S k
1

m


)? ? (S k ? S k ) ? (S k ? S0 )
2 1 1

Sn ? (Sn ? Sk ) ? (Sk
m

m

? Sk

m ?1

? 0 ?1 ? 1 ?
m个 1

?1?1? m


m ≥ C ? 1.

因为

Sn ? C

,所以 E n 的元素个数

[11 分]

第 10 页 共 11 页

取常数数列 A n : a i 则 且
Sn ? ( C ? 1) C ?2
2

?
2

C ?1 C ? 2
? 2C ? 1 C ?2

( i ? 1, 2 ,

, C ? 1)

,并令 n

? C ?1



?

C

? C

,适合题意,

E n ? {1, 2 ,

, C ? 1} ,其元素个数恰为 C ? 1 .

综上, E n 的元素个数的最小值为 C

?1



[13 分]

第 11 页 共 11 页


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