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高中数学函数的单调性课件5 北师大版 必修1_图文

y f ( x1 ) f ( x2 ) o x1 x2 x 一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 那么就说 f ( x )在这个区间上是增函数。 y f ( x1 ) f ( x2 ) o x1 x2 x 一般地,设函数 f ( x )的定义域为I: 如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两 个自变量的值 x1 ,x 2 。当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 那么就说 f ( x )在这个区间上是减函数。 如果函数 y ? f ( x ) 在某个区间上是增 函数或减函数,那么就说函数 y ? f ( x ) 在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做 y ? f ( x ) 的单调区间。 注: 1.函数的单调性也叫函 数的增减性 2.函数的单调性是对某个区间而言 的,它是一个局部概念. 例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函 数 y ? f ( x ) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x ) 的单调区间,以及在每一区间上, y ? f ( x ) 是增函数还是减函数. y 3 2 1 -1 O1 -1 2 3 4 5 -2 -5 -4 -3 x -2 解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有 [-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5], 在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数 在区间[-2,1), [3,5)上是增函数. y 3 2 1 -2 -5 -4 -3 -1 O1 2 3 -1 -2 4 5 x 如图,已知 y ? f ( x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数. y ? f ( x) -2 -1 y 1 o -1 1 2 x 如图,已知 y ? f ( x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数. y y ? f ( x) ?? ? ? 2 1 o -1 ? 2 ? x 例2 证明函数 f ( x ) ? 3 x ? 2 在R上是 增函数. 判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1.设 x1 , x 2 ?给定的区间,且 x1 ? x 2 ; 2.计算 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 至最简 ; 3.判断上述差的符号 ; 4.下结论(若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数). 33 xx??22在 例 例2 2 证明函数 判断函数 f ( x ) ? ? 在R R上是 上是 增函数 . 增函数还是减函数 . 证明函数 f ( x ) ? ?2 x ? 1 在R上是 减函数. 1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(0,+∞)上 x 是减函数. 证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意两个 实数,且 1 1 x 2 ? x1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2 x1 ? x2 ,则 由 x 2 , x 2 ? (0,??) ,得 x1 x 2 ? 0 又由 x1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0 于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 f ( x) ? 所以, 在(0,+∞)上是减函数. x 1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上 x 是减函数. 证明:设 x1 , x 2 是(0,+∞)上的任意两个 实数,且 1 1 x 2 ? x1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2 x1 ? x2 ,则 由 x 2 , x 2 ? (0,??) ,得 x1 x 2 ? 0 又由 x1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0 于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 f ( x) ? 所以, 在(0,+∞)上是减函数. x 1 例3 证明函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上 x 是减函数. 证明:设 x1 , x 2 是 上的任意两个 ( - ∞ , 0) 实数,且 1 1 x 2 ? x1 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? x1 x 2 x1 x 2 x1 ? x2 ,则 由 x 2 , x 2 ? ( ??,0) ,得 x1 x 2 ? 0 又由 x1 ? x 2 , 得 x 2 ? x1 ? 0 于是 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 f ( x) ? 所以, 在 上是减函数. (- ∞ ,0 ) x 判断函数 f ( x ) ? x ? 1 在(0, +∞)上 是增函数还是减函数? 2 结合图象说出函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间,以及在各个区间上是 增函数还是减函数;你能给出相应 的证明吗? 2

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