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2012高考数学理专题突破课件第一部分专题五第二讲:椭圆、双曲线、抛物线(含轨迹问题)


第一部分

专题突破方略

专题五 解析几何

椭圆、双曲线、抛物线(含 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线 含 轨迹问题) 轨迹问题

主干知识整合

圆锥曲线的定义、 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 椭圆 |PF1|+|PF2|= + = 2a(2a>|F1F2|) 双曲线 ||PF1|-|PF2|| - = 2a(2a<|F1F2|) 抛物线 |PF|=|PM| = 点F不在直 不在直 .线l上,PM 线上 ⊥l于M 于

名称 标准 方程 图象

椭圆 2 2 x y + =1 a2 b2 (a>b>0)

双曲线 2 2 x y - =1 a2 b2 (a>0,b>0) ,

抛物线 y2= 2px (p>0)

名称 范围 顶点 对称性 焦点 轴 离心率 准线 渐近线

几 何 性 质

椭圆 双曲线 |x|≤a,|y|≤b |x|≥a ≤ , ≤ ≥ (±a,0),(0, ± , , (±a,0) ± ±b) 关于x轴 轴和原点对称 关于 轴,y轴和原点对称 (±c,0) ± 长轴长2a, 实轴长2a, 长轴长 , 实轴长 , 短轴长2b 短轴长 虚轴长2b 虚轴长
c e= = a = b2 1- 2 - a c e= = a = b2 1+ 2 + a

抛物线 x≥0 ≥ (0,0) 关于x轴对称 关于 轴对称 p ( 2 ,0)

e=1 =
(e>1)

(0<e<1)
a2 x=± c =

x=- 2 =-
b a

p

y=± =

x

高考热点讲练

圆锥曲线的定义、 圆锥曲线的定义、标准方程 及性质
例1 (1)(2011 年高考课标全国卷 在平面直角坐标 年高考课标全国卷)在平面直角坐标

系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1, F2 的中心为原点, 2 轴上, 在 x 轴上, 离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, 过 , 2 B 两点 ,且△ ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程 两点, , 为 __________; ;

(2)(2011 年高考福建卷 设圆锥曲线 Г 的两个焦点 年高考福建卷)设圆锥曲线 满足|PF1|∶ 分别为 F1,F2,若曲线 Г 上存在点 P 满足 ∶ |F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线 Г 的离心率等于 ∶ = ∶ ∶ , ( ) 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2

1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2

x 2 y2 2 c 解析】 【 解析】 (1)设椭圆方程为 2+ 2= 1, e= 知 = 设椭圆方程为 , = 由 2 a a b 2 b2 1 , 故 2= . 2 a 2 由 于 △ ABF2 的 周 长 为 |AB|+ |BF2 |+ |AF2|= |AF1 |+ + + = + |AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16, 故 a=4. + + = = , = ∴ b2=8. x y ∴ 椭圆 C 的方程为 + = 1. 16 8
2 2

(2)由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|= 4∶3∶2,可设 由 ∶ ∶ = ∶ ∶ ,可设|PF1|= = 4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k,若圆锥曲线为椭圆 , , = , = ,若圆锥曲线为椭圆, c 1 则 2a=6k,2c=3k,e= = . = = , = a 2 若圆锥曲线为双曲线, 若圆锥曲线为双曲线 , 则 2a=4k- 2k=2k,2c= = - = = c 3 3k,e= = . , = a 2
答案】 【 答案】 x 2 y2 (1) + = 1 16 8 (2)A

归纳拓展】 【 归纳拓展】 (1)求圆锥曲线方程常用的方法有定 求圆锥曲线方程常用的方法有定 义法、待定系数法、 轨迹方程法. 义法 、 待定系数法 、 轨迹方程法 .而对于双曲线和 椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成 mx2 + ny2= 1(mn≠0), 这样可以避免对参数的讨论. ≠ , 这样可以避免对参数的讨论. (2)求椭圆、 双曲线的离心率 ,关键是根据已知条件 求椭圆、 求椭圆 双曲线的离心率, 确定 a、b、 c 的等量关系 ,然后把 b 用 a、c 代换, 、 、 的等量关系, 、 代换, c 的值. 求 的值. a b2 2 (3)在双曲线中由于 e = 1+ 2,故双曲线的渐近线与 在双曲线中由于 + a 离心率密切相关. 离心率密切 相关. 相关

x y 变式训练 1 (1)已知双曲线 - = 1 的一个焦点 已知双曲线 a 2 坐标为(- , 则其渐近线方程为 0), 则其渐近线方程为__________; 坐标为 - 3, , ; (2)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=- , =-1, 已知直线 - + = =- 2 抛物线 y = 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距 离之和的最小值是( ) 离之和的最小值是 A.2 B.3 . . 11 C. 5 37 D. 16

2

2

解析: 由 + = , 解析: (1)由 a+2=3,可得 a= 1,∴ 双曲线方程 = , 2 y y 2 为 x - = 1,∴其渐近线方程为 x± = 0,即 y , , 2 2 = ± 2x.故填 y=± 2x. 故填 = (2)由 y2=4x 可知 l2:x=- 是抛物线的准线 ,所 =-1 由 =- 是抛物线的准线, 以 P 到 l2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的 的 距离. 距离.动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最 小值即为点 F(1,0)到直线 l1: 4x-3y+6=0 的距 到直线 - + = |4+ 6| + 离 d= 2 = = 2,故选 A. , 2 4 +3

答案: 答案: (1)y=± 2x =

(2)A

直线与圆锥曲线
x 2 y2 例2 (2011 年高考北京卷 已知椭圆 G: + 2= 年高考北京卷)已知椭圆 : a2 b 6 1(a>b>0)的离心率为 , 右焦点为 右焦点为(2 2, 0).斜 的离心率为 , . 3 率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB , 两点, 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). 为底边作等腰三角形, - . (1)求椭圆 G 的方程 ; 求椭圆 的方程; (2)求△PAB 的面积 . 的面积. 求

【 解】

c 6 (1)由已知得 c=2 2, = , 由已知得 = , a 3

解得 a=2 3. = 又 b2= a2- c2=4, , x 2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + = 1. 12 4

(2)设直线 l 的方程为 y=x+m. 设直线 = + = + , ?y= x+m, ? 2 2 2 2 得 4x + 6mx+3m - 12=0.① 由? x y + = ① , ?12+ 4 = 1, ? 设 A、B 的坐标分别为 1, y1),(x2,y2)(x1<x2), 、 的坐标分别为(x , , AB 中点为 E(x0, y0),则 , x1+ x2 3m m x0= =- , y0= x0+ m= . = 2 4 4 是等腰△ 的底边, 因为 AB 是等腰△ PAB 的底边, 所以 PE⊥AB, ⊥ ,

m 2- - 4 =-1, 所以 PE 的斜率 k= = =- , 3m - 3+ + 4 解得 m=2. = 此时方程① 此时方程① 为 4x2+ 12x= 0. = =-3, 解得 x1=- ,x2= 0, , =-1, 所以 y1=- , y2=2.

所以|AB|=3 2, = 所以 , 此时, 此时,点 P(- 3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 - 到直线 :- + = |-3-2+2| 3 2 - - + d= = = , 2 2 1 9 所以△ 所以△PAB 的面积 S= |AB|·d= . = = 2 2

【归纳拓展】 归纳拓展】

直线与圆锥曲线有无公共点或

有几个公共点的问题, 有几个公共点的问题,实际上是研究由它们的 方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个 数问题.对于消元后的一元方程 数问题.对于消元后的一元方程ax2+bx+c=0, + = , 必须讨论二次项系数和判别式?, 必须讨论二次项系数和判别式 ,当二次项数系 数a≠0时,?>0?直线与圆锥曲线相交;?=0? ≠ 时 ?直线与圆锥曲线相交; = ? 直线与圆锥曲线相切; 直线与圆锥曲线相切;?<0?直线与圆锥曲线相 ? 离.值得注意的是,直线与圆锥曲线相切,它 值得注意的是,直线与圆锥曲线相切, 们有一个交点, 们有一个交点,但直线与圆锥曲线有一个交点 并不一定是直线与圆锥曲线相切. 并不一定是直线与圆锥曲线相切.

的焦点, 变式训练 2 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点, > 的焦点 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1, y1),B(x2, 的直线交抛物线于 , y2)(x1<x2)两点,且 |AB|=9. 两点, 两点 = (1)求该抛物线的方程; 求该抛物线的方程; 求该抛物线的方程 → → (2)O 为坐标原点, 为抛物线上一点, OC=OA 为坐标原点, 为抛物线上一点, C 若 → 的值. + λOB, 求 λ 的值.

?x-p ?,与 y2= 解: (1)直线 AB 的方程是 y=2 2? -2 ? 直线 =
2px 联立, 联立, 5p 从而有 4x - 5px+p =0,所以 x1+ x2= . + , 4
2 2

由抛物线定义得|AB|=x1+x2+ p=9, = 由抛物线定义得 = , 所以 p=4,从而抛物线方程是 y2= 8x. = ,

(2)由 p=4 知 4x2- 5px+p2=0 可化为 x2-5x+4 由 = + + = 0, , 从而 x1= 1,x2=4,y1=- 2,y2=4 2, , , =-2 , , ,-2 从而 A(1,- 2),B(4,4 2). ,- , . → OC= ,-2 设 OC = (x3, y3)= (1,- 2)+ λ(4,4 2)= (4λ+ = ,- + = + 1,4 2λ-2 2), - , 所以[2 2(2λ-1)]2= 8(4λ+1), 又 y2=8x3,所以 - + , 3 即 (2λ-1)2= 4λ+1,解得 λ=0 或 λ=2. - + , = =

圆锥曲线的综合问题
x2 例3 (2011 年高考上海卷 已知椭圆 C: 2+ y2= 年高考上海卷)已知椭圆 : m 1(常数 m>1), 是曲线 C 上的动点, 是曲线 C P 上的动点, M 常数 > , 的右顶点, 的坐标为(2,0). 的右顶点, 定点 A 的坐标为 . (1)若 M 与 A 重合,求曲线 C 的焦点坐标; 若 重合, 的焦点坐标; (2)若 m=3, 求 |PA|的最大值与最小值; 的最大值与最小值; 若 = , 的最大值与最小值 (3)若|PA|的最小值为 的最小值为|MA|, 的取值范围. 若 的最小值为 , 求实数 m 的取值范围 .

【 解】 1, ,

x2 2 (1)由题意知 m=2,椭圆方程为 + y = 由题意知 = , 4

c= 4-1= 3, = - = , 右焦点坐标分别为(- , , ∴ 左、右焦点坐标分别为 - 3,0),( 3,0). , .

x2 2 (2)m=3,椭圆方程为 + y = 1, 设 P(x,y),则 = , , , , 9 x 2 8 ? 9 ?2 1 2 2 2 2 - |PA| = (x-2) + y = (x-2) + 1- = x-4 + - - - 9 9? ? 2 (-3≤x≤3), - ≤ ≤ , 9 2 ∴ 当 x= 时, |PA|min= ; = 4 2 =-3 当 x=- 时, |PA|max= 5. =-

(3)设动点 P(x,y),则 设动点 , , x2 |PA|2= (x-2)2+ y2=(x-2)2+1- 2 - - - m 2m2 ?2 m2- 1? 4m2 x- 2 - = - 2 + 5(-m≤x≤m). - ≤ ≤ . 2 m ? m -1 ? m -1 2 m -1 取最小值, ∵ 当 x=m 时, |PA|取最小值 ,且 = 取最小值 > 0, , m2 2m2 ∴ 2 ≥ m 且 m>1,解得 1<m≤1+ 2. > , < ≤ + m -1

【归纳拓展】 归纳拓展】

(1)求最值的常用方法: 求最值的常用方法: 求最值的常用方法

①函数法,如通过二次函数求最值; 函数法,如通过二次函数求最值; 三角代换法, 转化为弦函数, ② 三角代换法 , 转化为弦函数 , 利用弦函数的 有界性求最值; 有界性求最值; ③不等式法,通过基本不等式求最值; 不等式法,通过基本不等式求最值; ④数形结合法,特别关注利用切线的性质求最 数形结合法, 值.

(2)定值问题的求解策略: 定值问题的求解策略: 定值问题的求解策略 在几何问题中,有些几何量与参数无关, 在几何问题中,有些几何量与参数无关,这就 是“定值”问题,解决这类问题常通过取参数 定值”问题, 和特殊值先确定“定值”是多少,再进行证明, 和特殊值先确定“定值”是多少,再进行证明, 或者将问题转化为代数式, 或者将问题转化为代数式,再证明该式是与变 量无关的常数. 量无关的常数.

(3)求参数范围的常用方法 求参数范围的常用方法 函数法, 用其他变量表示该参数, ① 函数法 , 用其他变量表示该参数 , 建立函数 关系,利用求函数值域的方法求解. 关系,利用求函数值域的方法求解. 不等式法, ② 不等式法 , 根据题意建立含参数的不等关系 式,通过解不等式求参数范围. 通过解不等式求参数范围. 判别式法, 建立关于某变量的一元二次方程, ③ 判别式法 , 建立关于某变量的一元二次方程 , 利用判别式?≥ 求参数的范围 求参数的范围. 利用判别式 ≥0求参数的范围. ④数形结合法,研究该参数所对应的几何意义, 数形结合法,研究该参数所对应的几何意义, 利用数形结合思想求解. 利用数形结合思想求解.

变式训练 3 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,直 , 线 l 过点 M(4,0). . (1)若点 F 到直线 l 的距离为 3, 若点 的斜率; , 求直线 l 的斜率; (2)设 A,B 为抛物线上两点 ,且 AB 不与 x 轴垂 设 , 为抛物线上两点, 直 ,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证: ,求证: 中点的横坐标为定值. 线段 AB 中点的横坐标为定值.

(1)由已知 直线 l 的方程为 x=4 时不合题意 . 由已知, 解 : 由已知, = 时不合题意. 设直线 l 的方程为 y=k(x-4), = - , 由已知,抛物线的焦点坐标为 由已知,抛物线的焦点坐标为(1,0), , 因为点 F 到直线 l 的距离为 3, , 所以 |3k| 1+k +
2

= 3.

2 2 的斜率为± . 解得 k=± ,所以直线 l 的斜率为 = 2 2

(2)证明: 证明: y , A(x 证明 设线段 AB 的中点坐标为 N(x0, 0), 1, y1),B(x2, y2),因为 AB 不垂直于 x 轴, , , y0 则直线 MN 的斜率为 , 直线 AB 的斜率为 x0- 4 4-x0 - , y0 4-x0 - (x- x0), 直线 AB 的方程为 y-y0= - - , y0 - ?y- y = 4-x0(x-x ), ?- 0 - 0 y0 联立方程? ?y2= 4x, , ?

x0 2 消去 x 得 (1- )y - y0y+y2+ x0(x0- 4)=0, - + 0 = , 4 4y0 , 所以 y1+ y2= 4-x0 - 的中点, 因为 N 为 AB 的中点, y1+ y2 所以 = y0, 2 2y0 即 = y0, 4-x0 - , 所以 x0= 2,即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.

轨迹问题
若动圆 - , : 例4 (1)若动圆 P 过点 N(- 2,0),且与另一圆 M: (x-2) + y = 8 相外切, - 相外切, 则动圆 P 的圆心的轨迹方 程是__________; 程是 ; (2)已知直线 l:2x+4y+3=0,P 为 l 上的动点, 上的动点, 已知直线 : + + = , → → O 为坐标原点. 2OQ=QP, 为坐标原点. 若 则点 Q 的轨迹方程 是 __________. .
2 2

解析】 【 解析】

(1)因为动圆 P 过点 N, 因为动圆 ,

所以|PN|是该圆的半径. 是该圆的半径. 所以 是该圆的半径 外切, 又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以有|PM|=|PN|+2 2,即 |PM|-|PN|=2 2. = 所以有 + , - = 故点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点 , 、 为焦点, 实轴长为 2 2, , 焦距|MN|为 4 的双曲线的左支. 为 的双曲线的左支. 焦距 即有 a= 2,c=2,所以 b= = , = , = c2- a2= 2, ,

x 2 y2 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 - = 1(x≤- ≤ 2 2 2). . (2)设点 Q 的坐标为 ,y), P 的坐标为 1, 1). 设点 的坐标为(x, , 点 的坐标为(x y . → → 根据 2OQ= QP, 得 2(x,y)=(x1- x,y1- y), , = , , ?x1= 3x, , ? 即? ? ?y1= 3y. ∵ 点 P 在 直线 l 上, 2x1+4y1+ 3=0, x1=3x, ∴ = , 把 , y1= 3y 代入上式并化简,得 2x+4y+1=0,即为 代入上式并化简, + + = , 所求轨迹方程. 所求轨迹方程.

【 答案】 答案】 =0

x 2 y2 (1) - = 1(x≤- 2) ≤ 2 2

(2)2x+4y+1 + +

【归纳拓展】 归纳拓展】

(1)求轨迹方程的常用方法: 求轨迹方程的常用方法: 求轨迹方程的常用方法

①直接法:将几何关系直接翻译成代数方程; 直接法:将几何关系直接翻译成代数方程; 定义法: ② 定义法 : 满足的条件恰适合某已知曲线的定 义,用待定系数法解方程; 用待定系数法解方程; ③ 代入法 : 把所求动点的坐标与已知动点的坐 代入法: 标建立联系. 标建立联系. (2)注意:①建立关系要符合最优化原则;②求 注意: 建立关系要符合最优化原则; 注意 轨迹与“求轨迹方程”不同, 轨迹与“求轨迹方程”不同,轨迹通常指的是 图形,而轨迹方程则是数学表达式. 图形,而轨迹方程则是数学表达式.

变式训练 4

x 2 y2 已知椭圆 2+ 2= 1(a>b>0) 的 离 心 a b

3 以原点为圆心、 率为 ,以原点为圆心 、椭圆短半轴长为半径的 3 圆与直线 y=x+2 相切. = + 相切. (1)求 a 与 b; 求 ; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2, 直线 设该椭圆的左、 设该椭圆的左 l1 过 F2 且与 x 轴垂直 ,动直线 l2 与 y 轴垂直, l2 轴垂直, 轴垂直, 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 求线段 M 的轨迹方程,并指明曲线类型. 的轨迹方程,并指明曲线类型.

3 解 :(1)由于 e= , 由于 = 3 2 2 2 c a -b 1 2 ∴ e = 2= 2 = , 3 a a b2 2 ∴ 2= . a 3 又以原点为圆心, 又以原点为圆心, 椭圆短半轴长为半径的圆与直 线 y=x+2 相切, = + 相切, |0- 0+2| - + = 2,∴ b2=2,a2= 3, , , , ∴ b= = 1+1 + 因此 a= 3,b= 2. = , =

(2)由 c= 由 =

a -b =1 得

2

2

F1(-1,0),F2(1,0). - , . 设 M(x,y),则 P(1,y). , , , . 由已知条件易知 由已知条件易知|MF1|=|MP|, 知条件易知 = , 故 (x+1)2+ y2= (x-1)2, + - y =- ,其轨迹是抛物线. =-4x,其轨迹是抛物线.
2

考题解答技法

(本 题满分 12 分 )(2011 年高考 四川卷 )过点 本 过点 2 2 x y 3 , C(0,1)的椭圆 2+ 2=1(a>b>0) 的离心率为 .椭圆 椭圆 2 a b , , 与 x 轴交于两点 A(a,0)、B(-a,0),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D, , 并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与 直线 直线 BD 交于点 Q. (1)当直线 l 过椭圆右焦点时,求线段 CD 的长; 过椭圆右焦点时, 的长;


→ → 2)当点 P 异于点 B 时, 求证:OP·OQ为定值 . ( 为定值. 求证:

c 3 = , 【 解】 (1)由已知得 b=1, = ,解得 a=2, = , a 2 2 x 所以椭圆方程为 + y2= 1.1 分 4 椭圆的右焦点为( 3,0),此时直线 l 的方程为 y , 3 =- x+1, 代入椭圆方程化简得 7x2- 8 3x= + , = 3 0.2 分

8 3 , 解得 x1= 0,x2= , 7 1 代入直线 l 的方程得 y1= 1,y2=- , , 7 8 3 1? 所以 D 点坐标为? ,- .3 分 7? ? 7 故 |CD|= =

?8 3 ?2+ ?-1- 1?2=16.4 分 -0 ? 7 ? ? 7 ? 7

(2) 证明: 当直线 l 与 x 轴垂直时与题意不符, 证明: 轴垂直时与题意不符, 轴不垂直, 的斜率存在.5 所以直线 l 与 x 轴不垂直 ,即直线 l 的斜率存在 分 ?k≠0且k≠1 ?.6 分 设直线 l 的方程为 y=kx+1 ≠ 且 ≠2 = + ? ? 2 代入椭圆方程化简得(4k + 1) x2+ 8kx=0.解得 x1 = 解得 - 8k = 0,x2= 2 , ,代入直线 l 的方程得 y1=1,y2 , 4k + 1 1-4k2 - = 2 , 4k + 1 2 - ? - 8k ,1-4k ?.8 分 所以 D 点坐标为? 2 2 ? ?4k + 1 4k + 1 ?

x 又直线 AC 的方程为 + y=1,直线 BD 的方程为 = , 2 1+2k + + y= = (x+2), 2-4k -
?x=- , =-4k, ? =- 9分 联立解得? ?y= 2k+ 1, ? = + ,

, + 因此 Q 点的坐标为(- 4k, 2k+1) .10 分

?-1, 0 ?, 11 分 又 P 点坐标为? k ?
→ → ? 1 , + 所以OP·OQ= 所以OP 所以 ·OQ=?-k, 0 ?·(- 4k,2k+1)= 4. ? → → 故OP·OQ为定值.12 分 为定值

【得分技巧】 得分技巧】

解答本题应写明下列几步: 解答本题应写明下列几步:一

是椭圆方程;二是把直线方程和椭圆方程整理 是椭圆方程; 后的一元二次方程;三是正确求得 点坐标 点坐标. 后的一元二次方程;三是正确求得D点坐标.

点在椭圆上; 【失分溯源】 一是未注意 点在椭圆上;二是不 失分溯源】 一是未注意C点在椭圆上 讨论直线与x轴垂直的情况 轴垂直的情况; 讨论直线与 轴垂直的情况;三是运算不够耐心细 代数式变换应用不当,导致运算错误. 致,代数式变换应用不当,导致运算错误. 解此类题目要注意以下几点: 解此类题目要注意以下几点: (1)记清公式灵活计算关键量 、 b、 c、 p等 ), 求 记清公式灵活计算关键量(a、 、 、 等 , 记清公式灵活计算关键量 准圆锥曲线方程, 准圆锥曲线方程 , 同时关注圆锥曲线定义的应 用. (2)注意设直线方程时斜率不存在的情况. 注意设直线方程时斜率不存在的情况. 注意设直线方程时斜率不存在的情况 (3)注意研究直线与圆锥曲线位置关系时, 判别式 注意研究直线与圆锥曲线位置关系时, 注意研究直线与圆锥曲线位置关系时 应用的有关要求,并注意检验. 应用的有关要求,并注意检验. (4)注意利用图形的特殊性,简化运算. 注意利用图形的特殊性, 注意利用图形的特殊性 简化运算.

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