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高中数学高考专题之 解决复数问题的实数化思想


【高考地位】 复数是中学数学中重要内容之一,也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点, 应用广 泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化,在教学(复习)中可纵横联系,不仅 有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力,而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意 识。 在高考中通常是以易题出现,主要以选择题、填空题的形式考查,其试题难度属低中档题. 【方法点评】 方法 使用情景:求复数问题 解题模板:第一步 第二步 第三步 首先观察复数的形式; 然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解; 得出结论. 实数化法 例 1. 【2018 河南八市重点高中联考】已知 i 为虚数单位,复数 z 的共轭复数为 z ,且满足 2 z ? z ? 3 ? 2i , 则z? ( A. 1 ? 2i 【答案】A ) B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i 例 2、已知 ?1 ? i ? x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数, i 是虚数单位,则 x ? yi ? __________. 【答案】 2 【解析】由题意, x ? xi ? 1 ? yi ,则 x ? y ? 1 ,所以 x ? yi ? 1 ? i ? 1 ? 1 ? 2 2 2。 则 a ? b 等于 ( ?, ) 例 3、 【2018 辽宁鞍山市第一中学第二次模拟】 设复数 z ? 3 ? i , 且z i ? a b ? i ab ? R ,? A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 复数 z ? 3 ? i ,且 iz ? a ? bi ? a, b ? R ? , [来源:学。科。网 Z。X。X。K] 可得 ?1 ? 3i ? a ? bi ,解得 a ? ?1, b ? 3 ,所以 a ? b ? 2 ,故选 C.学&科网 【变式演练 1】 【2018 豫西南部分示范性高联考】 已知 i 是虚数单位, 若 A. 1 B. -1 C. 0 D. ?1 a2 ? i 则a ? ( ? a ? R ? 为纯虚数, 1? i ) 【答案】D a 2 ? i ?1 ? i ? a 2 ? 1 ? a 2 ? 1 i a2 ? i a2 ?1 ? ? ? 0 ? a ? ?1. 【解析】 为纯虚数,故 1? i 2 2 ?1 ? i ??1 ? i ? 故答案为 D。 【变式演练 2】 【2018 湖北部分重点中 学第一次联考】 若复 数 ?1 ? i ?? a ? i ? 在复平面内对应的点在第二象限, 则实数 a 的取值范围是( A. ) C. ?1, ?? ? D. ? ? ? ? ? ??,1? B. ? ??, ?1? ? ?1, ??? 【答案】B 【变式演练 3】若复 数满足 (3 ? 4i) ? z ?| 4 ? 3i | , i 是虚数单位,则 z 的虚部为( A. ?4 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 由 B. ) 4 5 C. 4 D. ? 4 5 ( ? 3 i 4? z ) ? |? i 4 (3 ? 3 4i)|? z ?| 4 ? 3i |? 42 ? 32 ? 5 , 所 以 有 有 z? 4 5 5(3 ? 4i ) 3 4 ? ? ? i ,虚部为 ,选 B. 学&科网 5 3 ? 4i (3 ? 4i)(3 ? 4i ) 5 5 考点:复数基本运算. 【变式演练 4】设复数 z ? 4 ? 5

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