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易学通·重难点一本过高二数学(人教版选修1-2):第五章 复数

重点列表: 重点 重点 1 重点 2 重点 3 名称 复数的概念 复数的几何意义. 复数的运算 重要指数 ★★★★ ★★★ ★★★★ 重点详解: 重点 1:复数的概念 【要点解读】 复数 z=a+bi ( a,b ? R )是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条 件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数 z=a+bi ( a,b ? R ),既 要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体;又要从实部、虚部的角度分解成 两部分去认识. 复数 a ? bi (a, b ? R) 的实部为 a 、虚部为 b 、模为 a 2 ? b2 、共轭复 数为 a ? bi. 【考向 1】复数的概念 【例题】 【2016 高考新课标 1 文数】设 ?1 ?2i 数,则 a=( (A)-3 ) (B)-2 (C)2 (D)3 i ? 的实部与虚部相等,其中 a 为实 ?? a ? 【名师点睛】 1.判定复数是实数,仅注重虚部等于 0 是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.两个虚数不能比较大小. 3.注意复数的虚部是指在 a+bi(a,b∈R)中的实数 b,即虚部是一个实数. 4.处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把 复数问题转化成实数问题来处理. 【考向 2】复数的相等 【例题】 【2015 高考福建】若 (1 ? i) ? (2 ? 3i) ? a ? bi( a, b ? R, i 是虚数单位) ,则 a , b 的值分别等于( A. 3, ?2 【答案】A 【解析】由已知得 3 ? 2i ? a ? bi ,所以 a ? 3, b ? ?2 ,选 A. 【名师点睛】 1.数域扩充到复数集后,实数集的性质不一定成立,解决复数问题两个基本途径: ①利用复数相等转化为实数问题;②利用复数的几何表示(点、向量)数形结合去解 决. 2.复数运算应掌握基本法则及ω,i 的运算性质. 重点 2:复数的几何意义 【要点解读】 1.复数 z=a+bi 2.复数 z=a+bi ( a,b ? R ) 【考向】复数的几何意义 【例题】 【吉林省长春市普通高中 2017 届高三质量监测(一) 】复数 复平面内的点 ( a, b) ( a,b ? R ). 平面向量 OZ . ) C. 3, ?3 D. ?1, 4 B. 3, 2 z ? cos 2? 2? ? i sin 在复平面内对应的点在( 3 3 ) D.第四象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【名师点睛】 因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复 数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可. 重点 3:复数的运算 【要点解读】 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以 分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 2.记住以下结论,可提高运算速度: ① (1±i)2=±2i;② 1+i 1-i a+bi =i;③ =-i;④ =b-ai; 1-i 1+i i ⑤i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N). 【考向】复数的运算 【例题】 【吉林省长春市普通高中 2017 届高三质量监测(一) 】复数 z ? cos 2? 2? ? i sin 在复平面内对应的点在( 3 3 ) D.第四象限 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【名师点睛】 1.复数的加、 减法运算中, 可以从形式上理解为关于虚数单位“ i ”的多项式合并同 类项,复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解. 2.复数的乘法与多项式的乘法相类似, 只是在结果中把 i 2 换成-1. 复数除法可类比 实数运算的分母有理化.如 (a ? bi )(c ? di ) ? (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i ,(a, b, c.d ? R), a ? bi (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? , (a, b, c.d ? R), . c ? di c2 ? d 2 3.复数的模、共轭复数、复数的几何意义、复数相等及复数表示各类数的条件等各 种问题都要将复数化为代数形式,都离不开复数的运算,要牢记运算法则. 【趁热打铁】 1.【四川省资阳市 2017 届高三上学期第一次诊断考试】设 i 是虚数单位,则复数 4 ? 3i ?( i ) (B) 3 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) ?3 ? 4i (A) ?3 ? 4i 2.【广东省惠州市 2017 届高三上学期第二次调研模拟】若复数 z 满足 iz ? 1 ? 2i , 其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点的坐标为( (A) (?2,?1) (B) (?2,1) (C) (2,?1) (D) (2,1) ) (D)3 ? 2i ) 4 5 3 5 ) 3.【2016 高考新课标 2 文数】设复数 z 满足 z ? i ? 3 ? i ,则 z =( (A)?1? 2i (B)1 ? 2i (C)3 ? 2i z =( |z| 4.【2016 高考新课标Ⅲ文数】若 z ? 4 ? 3i ,则 (A)1 (B) ?1 (C) ? i 4 5 3 5 (D) ? i ) 5.【2016 高考四川文科】设 i 为虚数单位,则复数 (1 ? i)2 =( (A) 0 (B)2 (C)2 i 1 ? 2i ?( 2?i (D)2+2 i ) (D) 1 ? i ) 6.【2016 高考北京文数】复数 (A) i (B) 1 ? i (C) ?i 7.【2016 高考山东文数】若复数 z ? (A)1+i (B)1?i 2 ,其中 i 为虚数单位,则 z =( 1? i (C)?1+i (D)?1?i 8. 【山西大学附中 2017 届高三第二

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