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江苏省西亭高级中学高三数学期中复习试卷6


江苏省西亭高级中学高三数学期中复习试卷(6)

数学Ⅰ
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ x-7 1. 已知集合 A={x| ≥0},函数 y=lg(-x2+6x-8)的定义域为集合 B, 3-x 则 A∩B= . 2. 如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数 y ? log
y ? x2 , y ?
1

y 2 A 1 D O 1
(第 2 题)

2 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴 . 若 2 点 A 的纵坐标为 2,则点 D 的坐标为 . → → → → → 3. 已知向量OB=(2,0),|CA|= 2, OC=(2,2),,则OA与OB夹角的最小值

? ?

2 2

x,

B

x

C x

和最大值依次是

. .

2 4. 若存在实数 x∈[1,2]满足 2x>a- ,则实数 a 的取值范围是 .. x

→ → → → →→ → → 5. 设 a 、 b 为二个非零向量,且| a + b |=2,| a - b |=2,则| a |+| b |的最大值是 6. 已知 f(x)=ax(a>1),g(x)=bx(b>1),当 f(x1)=g(x2)=2 时,有 x1>x2,则 a,b 的大小关系是
? x ? y ≥ 2, ? 7. 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ≤ 2, 则 z=2x-y 的最大值是 ?0 ≤ y ≤ 3, ?







8. 下列命题中,真命题是______________(写出所有真命题的序号) . ①?x0∈R, e x0 ≤0 ; ② ?x ? R ,2x>x2;③a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件; ④b= ac是 a,b,c 成等比的既不充分又不必要条件 2 ?x +4x x≥0 9. 函数 f(x)=?4x-x2 x<0 ,则不等式 f(2-x2)>f(x)的解集是 . ? λ 1 10. .已知函数 f(x)在 R 上单调递增, α= ,β= (λ≠1), 设 若有 f(α)- f(β)> f(1)- f(0), λ 的取值范围是 则 1+λ 1+λ .

? → n ??????? 1 1 11. 设函数 f(x)=x( )x+ ,A0 为坐标原点, 为函数 y=f(x)图象上横坐标为 n(n∈N*)的点, A 向量 an = ? Ak ?1 Ak , 2 x+1 k ?1
n → 5 向量 i=(1,0),设 θn 为向量 an 与向量 i 的夹角,满足 ? tan ? k ? 的最大整数 n 是 3 k ?1

.

9 1 12. 已知 x>0,y>0,且 x+y+ + =10,则 x+y 的最大值为 x y

. .

13. 已知数列{an}中,a1=1,a2=3,对任意 n∈N*,an+2≤an+3·n,an+1≥2an+1 都成立,则 a11-a10= 2 f(2x)+f(x+1)+f(x)+1006 1 f(1)=1006,设函数 g(x)= - 的最大值和最小值分别为 M 和 N,则 M+N= f(x)+1 f(x)

14. 已知函数 f(x)定义在 D=[-m,m](m>1)上且 f(x)>0,对于任意实数 x,y,x+y∈D 都有 f(x+y)=f(x)f(y)且

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 函 数 y=2x 和 y=x3 的 图 像 的 示 意 图 如 图 所 示 , 设 两 函 数 的 图 像 交 于 点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)设曲线 C1,C2 分别对应函数 y=f(x)和 y=g(x),请指出图中曲线 C1,C2 对应的 函数解析式 。 若不等式 kf[g(x)]-g(x)<0 对任意 x∈(0,1)恒成立, k 的取值范围; 求 (2)若 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},求 a,b 的值.

16. (本小题满分 14 分) → → → → 在△ABC 中,AB· AC=|AB-AC|=2. → → (1)求|AB|2+|AC|2 的值; (2)当△ABC 的面积最大时,求△ABC 的形状.

17. (本小题满分 14 分) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收益.现准备制定一个 对科研课题组的奖励方案:奖金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不超 过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数 f(x)模型 .... 的基本要求; x (2)现有两个奖励函数模型:(1)y= +2;(2)y=4lgx-3.试分析这两个函数模型 150 是否符合公司要求?

18. (本小题满分 16 分) 1 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=2(1+ )2an. n an (1)令 bn= 2,求数列{bn}和{an}的通项公式; n (2)设 cn =(An2+Bn+C)·n,试推断是否存在常数 A,B,C,使对一切 n∈N*都有 an=cn+1-cn 成立?若存在,求出 2 A,B,C 的值;若不存在,说明理由; an (3)对(2)中数列{cn},设 dn= ,求{dn}的最小项的值. cn

19. (本小题满分 16 分) 9 已知 f(x)=(x-1)2,g(x)=10(x-1),数列{an}满足 a1=2,(an+1-an)g(an)+f(an)=0,bn= (n+2)(an-1). 10 (1)求证:数列{an-1}是等比数列; (2)当 n 取何值时,bn 取最大值,并求出最大值; tm tm+1 (3)若 < 对任意 m∈N*恒成立,求实数 t 的取值范围. bm bm+1

20. (本小题满分 16 分) 设曲线 C:f(x)=㏑ x-ex,f′(x)表示 f(x)的导函数. (I)求函数 f(x)的极值; 1 (Ⅱ)数列{an}满足 a1=e,an+1=2 f′( +3e).求证:数列{an}中不存在成等差数列的三项; an (Ⅲ)对于曲线 C 上的不同两点 A(x1,y1),B (x2,y2) 1<x2,求证:存在唯一的 x0∈(x1, x2),使直线 AB ,x 的斜率等于 f′(x0).

数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题] B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

?2 1 ? ?1 ? 已知矩阵 M ? ? ? ,向量 ? ? ?7 ? . ?4 2? ? ?
(1)求矩阵 M 的特征向量; (2)计算 M 50 ? .

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

? 已知极坐标系的极点 O 与直角坐标系的原点重合, 极轴与 x 轴的正半轴重合, 曲线 C1:? cos(? ? ) ? 2 2 4
? x ? 4t 2 , 与曲线 C2: ? (t∈R)交于 A、B 两点.求证:OA⊥OB. ? y ? 4t

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于 O,AB=4,AD=3.沿 AC 把 ?ACD 折起,使二面角 D1 ? AC ? B 为直二面角. (1)求直线 AD1 与直线 DC 所成角的余弦值; D O A B 第 22 题图 A C D (2)求二面角 A ? DD1 ? C 的平面角正弦值大小. D
1

C O B

23. (本小题满分 10 分) 已知 f(x,y)=(ax+by+1)n (常数 a,b∈Z, n∈N*,且 n≥2),若 a=-2,b=0,n=2010,记 f(x,y)=a0+ ? a i x i
i ?1 2010

(1)求:① ? a i
i ?1

2010

;② ? ia i ;
i ?1

2010

(2)若 f(x,y)展开式中不含 x 的项的系数的绝对值之和为 729,不含 y 项的系数的绝对值之和为 64,求 n 的所有可能值。

答案: 11 ? 5? 1.(3,4);2.( , );3. , ;4. (-∞, ;5. 2 2;6. a<b;7. 5;8. ③、 3) ④;9. (-2,1);10. (-∞,-1);11. 3 ;12. 8;13. 1024;14. 2012 2 4 12 12 15. 解: (1) C1 对应的函数为 f ?x? ? x 3 , C2 对应的函数为 g ?x? ? 2 x

kf ?g ?x?? ? g ?x? ? 0 ? k ? 23x ? 2 x ,则 k ? 4 ? x 对对任意 x ? ?0,1? 恒成立
1 ?1 ? 4 ? x ? ? ,1? ,所以 k ? 4 ?4 ?
(2)令 ? ?x? ? g ?x? ? f ?x ? ? 2 x ? x 3 ,则 x1 , x2 为函数 ? ( x) 的零点, 由于 ? (1) ? 1 ? 0 , ? (2) ? ?4 ? 0 , ? (9) ? 29 ? 93 ? 0 , ? (10) ? 210 ?103 ? 0 , 则方程 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的两个零点 x1 ? ?1,2? , x2 ? ?9,10? ,因此整数 a ? 1 , b ? 9 . 16. (1)8; (2)正三角形 x 17.(1)x∈[10,1000]是 f(x)增,f(x)≤9;f(x)≤ ; 5 x (2) y= +2 不符合公司要求 y=4lgx-3 符合公司要求; 150 18. 解: (1)由已知得

an?1 a ? 2 ? n ,∴ ?bn ? 是公比为 2 的等比数列, b1 ? 2 , 2 (n ? 1) n2
由 bn ?

? bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n

an ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 n , 得 an ? 2 n ? n 2 n2

(2)? cn ? ( An2 ? Bn ? C) ? 2 n , ∴ cn?1 ? cn ? A?n ? 1? ? B?n ? 1? ? C ? 2n?1 ? An2 ? Bn ? C ? 2n
2

?

?

?

?

? [ An2 ? (4 A ? B)n ? 2 A ? 2B ? C] ? 2 n
若 an ? cn?1 ? cn 恒成立,则 An ? (4 A ? B)n ? 2 A ? 2B ? C ? n 恒成立,
2 2

?A ?1 ? , 解得A ? 1, B ? ?4, C ? 6 ∴ ?4 A ? B ? 0 ?2 A ? 2 B ? C ? 0 ?
故存在常数 A ? 1, B ? ?4, C ? 6 满足条件 (3) d n ?

1 n2 1 ? ,令 t ? ? ?0,1? 2 6 4 n n ? 4n ? 6 ? ?1 2 n n



1 6 4 ? ? 1 ? 6t 2 ? 4t ? 1 的最大值为 3?n ? 1? 所以 ?d n ?的最小项的值为 2 3 n n
19. 解: (I)∵ (a n ?1 ? a n )g(a n ) ? f (a n ) ? 0 , f (a n ) ? (a n ? 1) 2 , g(a n ) ? 10(a n ? 1) , ∴ (a n ?1 ? a n )10(an - 1) ? (a n - 1)2 ? 0 . 即 (a n ? 1)(10an ?1 - 9a n - 1) ? 0 .
* 又 a 1 ? 2 ,可知对任何 n ? N , an ? 1 ? 0 ,所以 a n ?1 ?

9 1 an ? . 10 10

9 1 a ? ?1 a n ?1 ? 1 10 n 10 9 ? ? ∵ , a n ?1 a n ?1 10
∴ ?a n ? 1?是以 a 1 ? 1 ? 1 为首项,公比为 (II)由(I)可知 a n ? 1 = (

9 的等比数列. 10

9 n ?1 * ) (n? N ) . 10

∴ bn ?

b 9 9 (n ? 2)( a n ? 1) ? (n ? 2)( ) n . n ?1 10 10 bn

9 (n ? 3)( ) n ?1 9 1 10 ? ? (1 ? ). 9 n 10 n?2 (n ? 2)( ) 10

当 n=7 时,

b8 b ? 1 , b8 ? b 7 ;当 n<7 时, n ?1 ? 1 , b n ?1 ? b n ; b7 bn b n ?1 ? 1 , b n ?1 ? b n . bn
98 . 107
(*)

当 n>7 时,

∴当 n=7 或 n=8 时, b n 取最大值,最大值为 b 7 ? b 8 ?

(III)由

1 10t tm t m?1 m ? ]?0 ,得 t [ ? m ? 2 9(m ? 3) b m b m?1
*

依题意(*)式对任意 m ? N 恒成立, ①当 t=0 时, (*)式显然不成立,因此 t=0 不合题意. ②当 t<0 时,由

1 10t ? ? 0 ,可知 t m ? 0 ( m ? N* ) . m ? 2 9(m ? 3)
m

而当 m 是偶数时 t ③当 t>0 时,由 t ∴

? 0 ,因此 t<0 不合题意. ? 0 ( m ? N* ),
∴t ?

m

1 10t ? ?0 m ? 2 9(m ? 3)

9(m ? 3) . 10(m ? 2)

(m?N )
*

设 h (m) ?

9(m ? 3) 10(m ? 2)

(m?N )
*

∵ h (m ? 1) ? h (m) ?

9(m ? 4) 9(m ? 3) 9 1 =? ? ? ? 0, 10(m ? 3) 10(m ? 2) 10 (m ? 2)(m ? 3)

∴ h(1) ? h(2) ? ? ? h(m ? 1) ? h(m) ? ? .

6 6 .所以实数 t 的取值范围是 t ? . 5 5 1 1 ? ex 1 ? 0 ,得 x ? 20. 解: (I) f ?( x) ? ? e ? x x e
∴ h ( m) 的最大值为 h (1) ? 当 x 变化时, f ?( x ) 与 f ( x) 变化情况如下表:

x

1 (0, ) e
+ 单调递增

1 e
0 极大值

1 ( , ??) e
- 单调递减

f ?( x )
f ( x)
∴当 x ?

1 1 时, f ( x) 取得极大值 f ( ) ? ?2 ,没有极小值; e e

(II)∵ an ?1 ? 2 f ?(

1 ) ? 3e ,∴ an?1 ? 2an ? e , an

an?1 ? e ? 2 ,∴ an ? e(2n ?1) an ? e

假设数列 {an } 中存在成等差数列的三项 ar , as , at (r ? s ? t ) ,则 2as ? ar ? at ,

2e(2s ? 1) ? e(2r ? 1) ? e(2t ? 1),2s ?1 ? 2r ? 2t ,?2s ?r ?1 ? 1 ? 2t ?r
又s ? r ? 1 ? 0, t ? r ? 0,? 2s ?r ?1为偶数,1 ? 2t ?r 为奇数, 假设不成立
因此,数列 {an } 中不存在成等差数列的三项 (III) (方法 1)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ? x1 x ,∴ 2 ?e ? ? ln 2 ? 0 x0 x2 ? x1 x0 x1

即 x0 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ? 0 ,设 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) x1 x1

g ( x1 ) ? x1 ln

x x2 ? ? ( x2 ? x1 ) , g ( x1 ) x1 ? ln 2 ? 0 , g ( x1 ) 是 x1 的增函数, x1 x1
x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ; x2

∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? x2 ln

g ( x2 ) ? x2 ln

x x2 ? ? ( x2 ? x1 ) , g ( x2 ) x2 ? ln 2 ? 0 , g ( x2 ) 是 x2 的增函数, x1 x1
x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 , x1

∵ x1 ? x2 ,∴ g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln

∴函数 g ( x) ? x ln

x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 , x1

又∵

x2 x x ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 g ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,命题成立 x1 ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 , ?e ? x0 x2 ? x1

∴函数 g ( x) ? x ln

(方法 2)∵ f ?( x0 ) ? k AB ,∴

即 x0 ln x2 ? x0 ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 , x0 ? ( x1 , x2 ) ,且 x0 唯一 设 g ( x) ? x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ,则 g ( x1 ) ? x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? x1 ? x2 , 再设 h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 , 0 ? x ? x2 ,∴ h?( x) ? ln x2 ? ln x ? 0 ∴ h( x) ? x ln x2 ? x ln x ? x ? x2 在 0 ? x ? x2 是增函数 ∴ g ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) ? 0 ,同理 g ( x2 ) ? 0 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有解 ∵一次函数在 ( x1 , x2 ) g ( x) ? (ln x2 ? ln x1 ) x ? x1 ? x2 是增函数 ∴方程 x ln x2 ? x ln x1 ? x1 ? x2 ? 0 在 x0 ? ( x1 , x2 ) 有唯一解,命题成立 21. B 解: (1)矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?
? ?2
?4 ?1 ? (? ? 2) 2 ? 4 ? 0 , ? ?2

? x2 ? ? x1 ? 所以 ?1 ? 0 , ?2 ? 4 ,设对应的特征向量为 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? . ? y2 ? ? y1 ?
由 M ?1 ? ?1 ?1 , M ? 2 ? ?2 ? 2 ,可得 2 x1 ? y1 ? 0 , 2 x2 ? y2 ? 0 ,

?1 ? ?1 ? 所以矩阵 M 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? . ? ?2 ? ?2?

5 9 ?1 ? ?1 ? ?1 ? (2)令 ? ? m ?1 +n ? 2 ,则 ? ? ? m ? ? ? n ? ? ,解得 m ? ? , n ? , 4 4 ?7 ? ? ?2? ? 2?

所以 M 50 ? ? M 50 ( ? ? 1 ?

9 5 9 ? 2 ) ? ? ( M 50? 1 ) ? ( M 50? 2 ) 4 4 4 ? 50 9 ? 4 ? ? 5 50 9 50 9 50 ?1 ? ? 4 . ? ? (?1 ? 1 ) ? (?2 ? 2 ) ? ? 4 ? ? ? ? ? 4 4 4 2 ? ? 50 9 ? ? 4 ? ? 2? ? ?
C 解:曲线 C1 的直角坐标方程 x ? y ? 4 ,曲线 C2 的直角坐标方程是抛物线 y 2 ? 4 x ,…4 分 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,将这两个方程联立,消去 x , 得 y 2 ? 4 y ? 16 ? 0 ? y1 y2 ? ?16 , y1 ? y 2 ? 4 .

5 4

? x1 x2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? 4)( y 2 ? 4) ? y1 y 2 ? 2 y1 y 2 ? 4( y1 ? y 2 ) ? 16 ? 0 .
??? ??? ? ? ∴ OA ? OB ? 0 ,? OA ? OB .

22. 解:以点 B 为坐标原点,平面 ABC 为 xOy 平面,BC,BA 方向分别为 x 轴,y 轴的正方向,建立空间直 角坐标系.则 B(0,0,0), C (3,0,0), A(0, 4,0) . 在矩形 ABCD 中, DH⊥AC 于 H, 作 HM⊥BC 于 M, HN⊥AB 于 N, 易知 H 即为 D1 在平面 ABC 上的射影. ∵AB=4,AD=3,∴AC= 5 , DH ? (1)所以, AD1 ? (
12 27 64 27 64 12 , D1 ( , , ) , , HN ? , HM ? 5 25 25 25 25 5

???? ?

27 64 12 27 ?36 12 , , ) ? (0,4,0) ? ( , , ), 25 25 5 25 25 5

???? DC ? (3,0,0) ? (3,4,0) ? (0, ?4,0) ,

???? ???? ? ???? ???? ? AD1 ? DC 12 ? 所以 cos AD1 , DC ? ???? ???? ? . | AD1 || DC | 25
设平面 D1 BC 的法向量为 n ? (a, b, c) , BC ? (3,0,0), BA ? (0,4,0) ,

??? ?

??? ?

? ?a ? 0, ∵ n ? BC ? 0 , n ? D1 B ? 0 ,∴ ? ∴ n ? (0, ?15,16) . ?27a ? 64b ? 60c ? 0,
设平面 D1 BA 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,∵ m ? BA ? 0 , m ? D1 B ? 0 ,

?? ? y ? 0, ∴? ∴ m ? (?20,0, ?9) . ?27 x ? 64 y ? 60 z ? 0,
?? ? ?? ? 144 2 25 337 m?n 144 ) ? ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? ? .所以, sin ? ? 1 ? ( . 481 481 481 | m|?| n |
2010

23. 解: (1)①

?a
i ?1

i

=0

②在 (2 x ? 1) 2010 ? a0 ?

2010 i ?1

? ai x i 两边同时对 x 求导,再另 x=1 得 ? iai =4020
i ?1

2010

(2)令 a=0 得 (by ? 1) n , 则 ( b ? 1) n ? 729 令 b ? 0 , (ax ? 1) n , 则 ( a ? 1) n ? 64 因为 64 所有的底数与指数均为正整数的指数式拆分为: 8 2 ,4 3 ,2 6 所以当 n=2 时, a =7, b =26;当 n=3 时, a =3, b =8;当 n=6 时, a =1 , b =2 故 n 的所有的可能值为 2,3,6、


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