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高三数学专题复习课件:应用题的解法


应用题的解法

应试策略 应用题的背景丰富,题目灵活多变,但应用题的解答却 是一个程序化的过程: 1. 审题:解题的前提;应用题往往题干较长,文字表述

较多.在审题时,要注意抓住题目中的关键词、关键句,如:
至 多、至少、直到两人中有一人取到白球,尤其是题目中出 现的新词,往往这些新词是平常生活中不太熟悉的,要求 把这些新词单独提取出来,如: 2005 年湖南卷中出现的新 词汇有:鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡 量;当这些词汇被提取出来后,要理顺各种数量之间的关 系,解题就可以进入第二步.

应试策略 2. 建模:即用数学语言翻译文字描述,并建立数学模型, 这是 解题的关键;数学模型的建立主要有两种途径,一是利 用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等, 与题目所给信息相结合,建立数学模型;二是利用题目所给 的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系,题目中所给 的条件就是题目中所出现的新词汇,如湖南卷中出现的新词汇 就可以组成等量关系:鱼群第n+1年的总量=鱼群第n年 的总量+鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量.

应试策略 3.运算:基本等同于常规理论题的解答,这是正确解答必不 可少的环节,应用题的运算包括字母运算和数字运算,无论哪种 运算,都要求考虑实际的意义、题目的要求精度保留几位小数 等)、运算方法的优化问题等. 综上分析,应用题是用文字表述,具有一定的事理, 它 和 一般解答题有明显的不同.一般解答题有现成的式子, 计算方法 和次序都是明确的,逻辑推理能力要求高,而应用题同时还考 查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”.

应试策略 应用题在考查知识上主要有: Ⅰ.函数、不等式的应用题,大多是以函数知识为背景设计, 所涉及的函数主要是一次函数,反比例函数,二次函数、分段 b 函数,以及形如y=ax+ 的函数等 .解答此类应用题一般都是从建 x 立函数表达式入手,将实际问题数学化,即将文字语言向数学 的 符号语言或图形语言转化,最终构建函数、不等式的数学模 型,在题目给出的实际定义域内求解 .此类题目在求解时,要注 意仔细分析,捕捉题目中的新词汇及数量关系,对于较复杂的 数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题 目中给出的已知量、未知量、常量的归类,或画出图表,建立 等式、不等式,将复杂的数量关系清晰化,从而建立数 学模型,进行求解,最后还要注意检验所求是否符合实际意义.

应试策略 Ⅱ . 数列、不等式应用题,大多以数列知识知识为背景, 所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前 n 项和公式及 a n 与 S n 的关系等等;常见的命题点有:平均增 长率、利率(复利)、分期付款、等值增减或等量增减的问 题 . 常用的数学模型有:⑴构造等差、等比数列的模型,然后 应用数列求和或特殊数列求和求解;⑵利用无穷等比数列的求 和公式求解,往往与极限结合出题;⑶构造数列通项的递推 公式或Sn的递推公式,利用待定系数法或an与Sn的关系求 解,注意 n 的范围问题;⑷通过类比归纳得出结论,用数学 归纳法或数列的知识求解.

应试策略 Ⅲ.三角、向量应用题,引入角作为参变量,构造三角形, 借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、反 三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识,求解实际 问题,对于参变量的角要注意角的范围. Ⅳ.解析几何应用题,在新教材引入“线性规划”后,使此 类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应 用题又增加了线性规划应用题,解此类应用题往往在理解题意的 基础上,利用线性规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或 利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切线的关系等求解问题.

应试策略 Ⅴ . 排列组合、概率应用题,此类问题无论从内容还是从思 想上都能体现实际应用的意义 . 排列组合的问题、抽样方法常出 现在选择或填空的小应用题,常考查有限定条件的组合与排列问 题,从正面或反面入手,当限定条件较多时,正面求解要注意树 图列举法的使用或分类讨论思想的应用;当正面突破较困难时要 注意反面考虑;抽样方法主要考查概念,在选择填空题里出现较 多,属于容易题 . 概率题目主要出现在解答题,分布列及数学期 望是高考的热点,考查分类讨论、化归思想,独立事件、互斥 事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差;正态分布 都可能成为考查的对象.

应试策略 要做好高考应用题,需注意以下三个方面: 一.文字关:即阅读理解题意,罗列题目的条件,分清题目中 的已知量、未知量、常量、变量、新词汇,分析 题目所求,思考可能采用的方法——审题 二.建模关:建立数学模型主要包括代数建模、几何建模,其中 代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知 识进行建模,其难度主要在阅读题意,建立等式或 不等式关系上;几何建模主要是利用解析几何知 识,建立直角坐标系,使实际问题几何化,解决实 际问题. 三.运算关:考查学生运算的稳定度,精确度.

考题剖析 1.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售 的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为G(x)万 元,其中固定成本为2万元,并且每生产100台的生产成本为 1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)满足
? ? 0 . 4 x 2 ? 4 . 2 x ? 0 .8 R(x)= ? ?10.2 (0 ? x ? 5) ( x ? 5)

.

假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律.

(1)要使工厂有盈利,产品x应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时赢利最大?并求此时每台产品的 售价为多少?

考题剖析 [解析]依题意,G(x)=x+2,设利润函数为f (x),则
? ? 0 . 4 x 2 ? 3. 2 x ? 2 . 8 f (x)= ? ?8.2 ? x (0 ? x ? 5) ( x ? 5)

(1)要使工厂有赢利,则有f (x)>0. 当0≤x≤5时,有-0.4x2+3.2x-2.8>0, 得1<x<7,∴1<x≤5. 当x>5时,有8.2-x>0,得x<8.2,∴5<x<8.2.

综上,要使工厂赢利,应满足1<x<8.2.即产品应控制在大于 100台小于820台的范围内.

考题剖析

(2)0≤x≤5时,f (x)=-0.4(x-4)2+3.6 故当x=4时,f (x)有最大值3.6. 而当x>5时,f (x)<8.2-5=3.2 所以当工厂生产400台产品时,赢利最大,此时只须求
x=4时, 每台产品售价为
R(4) 4

=2.4(万元/百台)=240 (元/台)

[点评] 本题以销售关系为背景,考查分段函数求最值,解不等式 等知识.

考题剖析 2.为防止某突发事件发生,有甲、 乙、丙、丁四种相互独立 的预防措施可供采用,单独采用 甲、乙、丙、丁预防措施后 此突发事件不发生的概率(记 为P)和所需费用如下表:
预防措施 P 费用(万元) 甲 0.9 90 乙 0.8 60 丙 0.7 30 丁 0.6 10

考题剖析 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措 施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案, 使得此突发事件不发生的概率最大. [解析] 方案1:单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由 表可知,采用甲措施,可使此突发事件不发生的概率最大, 其概率为0.9. 方案2: 联合采用两种预防措施,费用不超过120万元,由 表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概 率最大,其概率为1-(1-0.9)(1-0.7)=0.97.

考题剖析 方案3:联合采用三种预防措施,费用不超过120万元,故只 能联合乙、丙、丁三种预防措施,此时突发事件不发 生的概率为 1-(1-0.8)(1-0.7)(1-0.6)=1-0.024=0.976. 综合上述: 三种预防方案可知,在总费用不超过120万元的前提 下,联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件 不发生的概率最大. [点评] 本题主要考查相互独立事件的概率计算方法,考查运用 概率知识解决实际问题的能力,在解题时,要注意对三 种方案的讨论.

考题剖析 3.某人上午7时,乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出 发到距50海里的B港去,然后乘汽车以w千米/时( 30≤w≤100)自 B港向距300千米的C市驶去,应该在同一天下午4至9点到达C市. 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时. (1)作图表示满足上述条件x、y的范围; (2)如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)(元), 那么v、w 分别是多少时走得最经济?此时需花费多少元?

考题剖析 [解析] (1) 由题意得:
300 50 ,w= , 4≤v≤20,30≤w≤100, x y 5 25 ∴3≤x≤10, ≤ y≤ ① 2 2

v=

由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时 之间, 即9≤x+y≤14 (包括边界). ②

因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分

考题剖析 (2) 因为p=100+3(5-x)+2(8-y),所以3x+2y=131-p,设131-p=k, 的直线3x+2y=k中,使k值最大的直线必通过点(10,4),即当y=4 时,p最小,此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. [点评]本题考查运用线性规划知识解决实际问题的能力, 将实际问题转化为数学问题的建模能力.
3 那么当k最大时,p最小,在图中通过阴影部分区域且斜率为- 2

考题剖析 4、甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f (x)、g(x),当甲公司投入 x 万元作宣传时,若乙公司投入 的宣传费小于f(x)万元,则乙 公司对这一新产品的开发有失败 的风险,否则没有失败的风 险;当乙公司投入x万元作宣传时, 若甲公司投入的宣传费小于 g(x)万元,则甲公司对这一新产品 的开发有失败的风险,否则没有失败的风险. (Ⅰ)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义; 1 (Ⅱ)设f(x)= x+10, g(x)= x +20,甲、乙公司为了避免 4 恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情 况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投 入多少宣传费?

考题剖析

[解析] (Ⅰ)f(0)=10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避 免新产品的开发有失败风险,至少要投入10万元宣传费; g(0)=20表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新 产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费.

考题剖析 (Ⅱ)设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元, 依题意,当且仅当
1 ? ? y ? f ( x) ? 4 x ? 10 ? ? x ? g ( y) ? y ? 20 ? ① ②
? 4y -

成立,双方均无失败的风险

由①②得y≥ ∴(

1 ( 4

y+20)+10

- y 60≥0

y -4)(4 y

+15)≥0

∵4 y +15>0

考题剖析 ∴
y

≥4

y≥16, x≥ ?

y +20≥4+20=24

∴xmin=24,ymin=16 [点评] 考查把实际问题抽象为数学问题,应用函数、不等式等基 础知识,建立函数、不等式的数学模型,考查学生应用基 础知识和方法解决实际问题的能力.

考题剖析

5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正 西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到 的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都 是1020 m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速 度为340 m/s:相关各点均在同一平面上)

考题剖析 [解析]如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、 东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0), C (0,1020) 设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得 |PA|=|PC|, 故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比 A点晚4s听到爆炸声, 故|PB|- |PA|=340×4=1360

考题剖析
x2 y2 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线 a 2 ? b 2 ? 1

上,依题意得a=680, c=1020, ∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402 故双曲线方程为
y2 x2 ? ?1 2 2 680 5 ? 340

用y=-x代入上式,得x=±680 5 , ∵|PB|>|PA|, ∴x=-680 5 , y=680 5 , 即P(-680 5 ,680 5 ), 故PO=680 10 答:巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心680 10 m 处.

考题剖析

[点评]此题是根据实际情况,把实际问题解析几何化,建 立适当的坐标系,选用适当公式列出函数关系,利用代数方 法解决问题,考查了学生解决实际问题的能力.

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