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2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略课件:第1部分 专题1 第5讲 导数的简单应用


热 点 题 型 · 探 究

第5讲

导数的简单应用

专 题 限 时 集 训

题型一| 导数的几何意义

(1)若函数 f(x)=x3+ax2+bx 为奇函数,其图象的一条切线方程为 y= 3x-4 2,则 b 的值为________. (2)经过原点(0,0)作函数 f(x)=x3+3x2 图象的切线,则切线方程为________.

(1)-3

(2)y=0或9x+4y=0

[(1)由奇函数的定义f(-x)=-f(x),易得a=

?y0=x3 0+bx0, ? 2 2 0,对函数求导可得:f′(x)=3x +b,可设切点(x0,y0),则有 ?3x0+b=3, ?y =3x -4 2, ? 0 0 ?y0=- 2, ? 可解得?x0= 2, ?b=-3. ?

即b的值为-3.

(2)f′(x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时,f′(0)=0,故切线方程为y=0.
2 3 2 当(0,0)不为切点时,设切点为P(x0,x 3 0 +3x 0 ),则切线方程为y-(x 0 +3x 0 )= 3 2 3 2 (3x2 + 6 x )( x - x ) ,又点 (0,0) 在切线上,所以- x - 3 x =- 3 x - 6 x 0 0 0 0 0 0 0 ,解得x0=0(舍

3 去)或x0=-2,故切线方程为9x+4y=0.]

【名师点评】

解决函数切线的相关问题,需抓住三个关键点:

(1)切点是曲线与切线的公共点; (2)在切点处的导数是切线的斜率.因此,解决此类问题,一般要设出切点, 建立关系——方程(组); (3)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.“过 点P的切线”中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上;在“点P处的 切线”,点P是切点.

a 1.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x 在点P(1,1)处的切线互相垂直,则 b =
3

________.
1 -3 [设曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率为k,则k=y′|x=1=3.因为直线ax
3

1 a -by-2=0与曲线y=x 在点P(1,1)处的切线互相垂直,所以b=-3.]

2.在平面直角坐标系xOy中,直线l与曲线y=x2(x>0)和y=x3(x>0)均相切, x1 切点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则x 的值是________. 2
4 2 2 [ 由题设函数 y = x 在 A ( x 1,y1)处的切线方程为:y=2x1x-x1, 3
3 函数y=x3在B(x2,y2)处的切线方程为y=3x2 x - 2 x 2 2. 2 ? ?2x1=3x2, 所以? 2 3 ? ?x1=2x2,

32 8 解得x1=27,x2=9.

x1 4 所以x =3.] 2

f′?1? x 1 2 3.曲线f(x)= e · e -f(0)x+2x 在点(1,f(1))处的切线方程为________.

1 y=ex-2

f′?1? 0 f′?1? [令x=0,f(0)= e e -f(0)×0+0,所以f(0)= e ,

f′?1? x f′?1? 1 2 从而f(x)= e e - e x+2x , f′?1? x f′?1? f′(x)= e e - e +x. f′?1? f′?1? 令x=1时,f′(1)= e · e- e +1,f′(1)=e,
2 x f(x)=ex-x+ 2 .

? 1? 1 1 f(1)=e-2,则切线为y-?e-2?=e(x-1),即y=ex-2.] ? ?

题型二| 利用导数研究函数的单调性

ax+1 (1)若函数f(x)= 在x∈(2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范 x+2 围是________. 1 2 (2)函数y=2x -ln x的单调递减区间为________.

1 (1)a<2

(2)(0,1] [(1)对函数求导得:

?ax+1?′?x+2?-?x+2?′?ax+1? a?x+2?-?ax+1? 2a-1 f′(x)= = = ,令 ?x+2?2 ?x+2?2 ?x+2?2 1 f′(x)<0,即2a-1<0,解得a<2. x2-1 ?x-1??x+1? 1 2 1 (2)y= 2 x -ln x,y′=x- x = x = (x>0).令y′≤0,得 x 0<x≤1, ∴递减区间为(0,1].]

【名师点评】 1.若求单调区间(或证明单调性),只需在函数f(x)的定义域内 解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0即可. 2.若已知f(x)的单调性,则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上 恒成立问题求解.

1.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是___.

[1,+∞) ∞)上恒成立.

1 1 [依题意得f′(x)=k- x ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥ x 在(1,+

1 ∵x>1,∴0<x <1, ∴k≥1.]

2.已知函数y=f(x)对任意的x∈ f′(x)是函数f(x)的导函数),则

? π π? ?- , ? ? 2 2?

满足f′(x)cos x+f(x)sin x>0(其中

? π? ? π? 2f?-3?________f?-4?.(填“>”“<”或“=”) ? ? ? ?

? π π? f ? x? < [依题意,记g(x)=cos x,则当x∈?-2,2?时,g′(x)= ? ?

【导学号:19592014】

? π? f′?x?cos x+f?x?sin x π π π π >0,函数g(x)是增函数.又-2<-3<-4<2,因此g?-3? cos2x ? ? ? π? ? π? <g?-4?,即2f?-3?< ? ? ? ? ? π? ? π? 2f?-3?<f?-4?.] ? ? ? ? ? π? 2f?-4?, ? ?

2 3 3.若函数f(x)= 3 x -2x2+ax+10在区间[-1,4]上具有单调性,则实数a的取 值范围是________.
(-∞,-16]∪[2,+∞) 2 3 [函数f(x)=3x -2x2+ax+10在区间[-1,4]上具有

单调性,分两种情况:函数f(x)在区间[-1,4]上单调递增,即f′(x)=2x2-4x+ a≥0在[-1,4]上恒成立,即判别式Δ=(-4)2-4×2×a≤0,解得a≥2;函数f(x)在 区间[-1,4]上单调递减,即f′(x)=2x2-4x+a≤0在[-1,4]上恒成立,需 f′(4)≤0,解得a≤-16.于是,实数a的取值范围是(-∞,-16]∪[2,+∞).]

题型三| 利用导数研究函数的极值、最值

(1)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0,则m+n= ________. (2)已知表面积为12π的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比 为________. (3)已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)· (x-a),若f(x)在x=a处取得极大值,则 a的取值范围是________.

(1)11 (2)1∶2

(3)(-1,0)

[(1)对函数求导得

? ?f?-1?=0, 2 f′(x)=3x +6mx+n,由题意得? ? ?f′?-1?=0,
2 ? ?-1+3m-n+m =0, 即? ? ?3-6m+n=0,

解得

? ?m=1, ? ? ?n=3



? ?m=2, ? ? ?n=9,



? ?m=1, ? ? ?n=3

时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+

? ?m=2, 2 1) ≥0,故? ? ?n=9,

m+n=11.

(2)因为12π=2πrh+2πr2,即rh+r2=6,所以V=πr2h=πr(6-r2),0<r< 6 .由 V′=π(6-3r2)=0,得r= 2.当0<r< 2时,V′>0;当 2<r< 6时,V′<0,所以 当r= 2时,V取极大值,也是最大值,此时h=2 2,r∶h=1∶2. (3)若a=0,则f′(x)=0,函数f(x)不存在极值; 若a=-1,则f′(x)=-(x+1)2≤0, 函数f(x)不存在极值; 若a>0,当x∈(-1,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,

所以函数f(x)在x=a处取得极小值; 若-1<a<0,当x∈(-1,a)时,f′(x)>0, 当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0, 所以函数f(x)在x=a处取得极大值; 若a<-1,当x∈(-∞,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,-1)时,f′(x)>0, 所以函数f(x)在x=a处取得极小值. 所以a∈(-1,0).]

【名师点评】

利用导数研究函数的极值、最值的注意点:

(1)极值:导函数的零点并不一定就是函数的极值点,因此在求得f′(x0)=0后 务必验证x>x0及x<x0时f′(x)的符号是否相反. (2)最值:①对含参数的函数解析式求最值时,常常分类讨论,分类的原则是 极值点在给定区间的内部还是外部,从而根据单调性求出最值. ②求极值和最值时,为了直观易懂,常常列出x的取值范围与y的符号及y的单 调区间、极值的对应表格.

?1 ? x3 a 2 1.(2016· 南京模拟)若函数f(x)= 3 -2x +x+1在区间?2,3?上有极值点,则实 ? ?

数a的取值范围是________.

? 10? ?2, ? 3? ?

?1 ? ?1 ? [若函数f(x)在区间 ?2,3? 上无极值,则当x∈ ?2,3? 时,f′(x)=x2- ? ? ? ?

?1 ? ?1 ? 2 ax+1≥0恒成立或当x∈ ?2,3? 时,f′(x)=x -ax+1≤0恒成立.当x∈ ?2,3? 时, ? ? ? ? ? ?1 ? 10? 1 1 2 a=x+ x 的值域是 ?2, 3 ? ;当x∈ ?2,3? 时,f′(x)=x -ax+1≥0,即a≤x+ x 恒成 ? ? ? ? ?1 ? 1 10 2 立,a≤2;当x∈?2,3?时,f′(x)=x -ax+1≤0,即a≥x+ x 恒成立,a≥ 3 .因此 ? ? ?1 ? ? 10? 要使函数f(x)在?2,3?上有极值点,实数a的取值范围是?2, 3 ?.] ? ? ? ?

2.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是 ________. 【导学号:19592015】

(-4,0)

[由题意知使函数f(x)=x3-3x2-a的极大值大于0且极小值小于0即

可,又f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x1=0,x2=2.当x<0时, f′(x)>0;当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取得极 大值,即f(x)极大值=f(0)=-a;当x=2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值=f(2)=-4-
? ?-a>0, a,所以? ? ?-4-a<0,

解得-4<a<0.]

3.已知函数y=x3-3x在区间[a,a+1](a≥0)上的最大值与最小值的差为2, 则满足条件的实数a的所有值是________.

3-1或0

[∵y′=3x2-3=3(x+1)(x-1),

∴函数y=x3-3x在(-∞,-1)上递增,在(-1,1)上递减,在(1,+∞)上递 增, ①当a=0时,由题意可知f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(1)=-2, ∴f(0)-f(1)=0-(-2)=2,故a=0合题意. ②当0<a<1时,1<1+a<2,∴函数在[a,1)上递减,在(1,a+1]上递增, ∴f(x)min=f(1)=-2.由f(a)=f(a+1)得3a2+3a-2=0, 33-3 解得a= 6 .

33-3 (ⅰ)当0≤a< 6 时,f(x)max=f(a), ∴a3-3a-(-2)=2,解得a=0或 3或- 3(舍). 33-3 (ⅱ)当 6 ≤a<1时,f(x)max=f(a+1). ∴(a+1)3-3(a+1)-(-2)=2,解得a= 3-1,符合题意. ③当a≥1时,f(x)在[a,a+1]上递增, ∴f(x)min=f(a),f(x)max=f(a+1), ∴(a+1)3-3(a+1)-a3+3a=2, 57-3 解得a= 6 <1(舍去). 综上,a= 3-1或0.]


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