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第十三讲 简单的统筹规划问题


第十三讲

简单的统筹规划问题

这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。 例 1 某工地 A 有 20 辆卡车,要把 60 车渣土从 A 运到 B,把 40 车砖从 C 运到 D (工地道路图如下所示)问如何调运最省汽油? 。

分析 把渣土从 A 运到 B 或把砖从 C 运到 D,都无法节省汽 油,只有设法减少跑空车的距离,才能省汽油。 解:如果各派 10 辆车分别运渣土和砖,那么每运一车渣土要 空车跑回 300 米,每运一车砖则要空车跑回 360 米,这样到完成任 务总共空车跑了:300×60+360×40=32400(米) 如果一辆从从 A→B→C→D→A 跑一圈,那么每运一车渣土,运 一车砖要空车跑:240+90=330(米) ; 因此,先派 20 辆车都从 A 开始运渣土到 B,再空车开往 C 运 砖到 D 后空车返回 A, 这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务。 然后

再派这 20 辆车都从 A 运渣土到 B 再空车返回 A,则运渣土任务也 完成了。这时总共空车跑了:330×40+300×20=19200(米) 后一种调运方案比前一种减少跑空车 13200 米, 这是最佳节油 的调运方案。 说明: “节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则,下 面通过例子再介绍“避免对流”的原则。 例2 一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地,人

数如下图所示。为调整使各基地人数相同,如何调动最方便?(调 动时不考虑路程远近)

分析 在人员调动时不考虑路程远近的因素, 就只需避免两个 基地之间相互调整,即“避免对流现象” 。 解:五个基地人员总数为 17+4+16+14+9=60(人) 依题意,调整后每个基地应各有

60÷5=12(人) 因此,需要从多于 12 人的基地 A、C、D 向不足 12 人的基地 B、 E 调人。为了避免对流,经试验容易得到调整方案如下: 先从 D 调 2 人到 E,这样 E 尚缺 1 人;再由 A 调 1 人给 E,则 E 达到要求。此时,A 尚多余 4 人,C 也多余 4 人,总共 8 人全部调 到 B,则 B 亦符合要求。 调动示意图如下所示,这样的图形叫做物资流向图。用流向图 代替调运方案,能直观地看出调运状况及有无对流现象,又可避免 列表和计算的麻烦。图中箭头表示流向,箭杆上的数字表示流量。

说明:发生对流的调运方案不可能是最优方案,这个原则可以 证明:

如上图,设 A1、B2=a 千米,B2B1=b 千米,B1A2=c 千米。如果从 A1 运 1 吨货物到 B1,同时又从 A2 运 1 吨货物到 B2,那么在 B1B2 之间 A1 的物资从西向东运输,A2 的货物从东向西运输,两者发生对流, 于是这样调动的总吨千米数为: (a+b)+(b+c)=a+c+2b. 而如果从 A1 运 1 吨货物到 B2,同时从 A2 运 1 吨货物到 B1,则 运输总吨千米数为 a+c,显然 a+c<a+c+2b. 例 3 在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库(如下图左) , 共有 5 个仓库。一号仓库存有 10 吨货物,二号仓库有 20 吨货物, 五号仓库存有 40 吨货物,其余两个仓库是空的。现在想把所有的 货物集中存放在一个仓库里,如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元 运输费,那么最少要多少运费才行?

分析 欲使花费的运输费最少, 关键在于运输的货物和路程尽 可能少。实际经验告诉我们一个原则——“小往大处靠” 。下面就 以两地调运问题为例加以计算验证:如上图右,在公路上 A、B 两 地各有 10 吨、15 吨麦子,问打麦场建在何处运费最少?

设打麦场建在 C 点, 则总运费是 (假定每吨小麦运输 1 千米的 费用是 a 元) : W=10×a×AC+15×a×BC =10a×AC+10a×BC+5a×BC =10a×AB+5a×BC 上式中 10a×AB 是固定的值,不随 C 点的选取而改变;只有 5a×BC 随 BC 的变化而改变,若 BC 越小,则 W 也越小。当 BC=0 时, 即 C 点与 B 点重合时,W 的值最小。因此打麦场建在 B 点时总运费 是 10a×AB(元)最少。显然当打麦场建在 AB 线段之外时,总运费 都大于 10a×AB(元) 。 解:根据“小往大处靠”的原则,先把一号仓库的 10 吨货物 送往二号仓库集中,需运费: 10×0.5×100=500(元) 这时可以认为二号仓库有 30 吨货物, 而五号仓库有 40 吨货物, 于是又应把二号仓库的 30 吨货物运往五号仓库集中,需运费: 30×0.5×300=4500(元) 所以,把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少,需要 500

+4500=5000(元) 。 说明: “小往大处靠”的原则也不是一成不变的,具体问题还 要具体分析。 再举两例如下: 例如一号仓库有 20 吨货物,二号仓库有 30 吨货物,其他仓库 存货照样如前, 那么应该往哪个仓库集中呢?首先仍应把一号仓库 的 20 吨货物运往二号仓库集中, 然后再把五号仓库的 40 吨货物也 运往二号仓库集中,这样运费最少。 又如一号仓库有 30 吨货物,二号仓库有 20 吨货物,其他仓库 存货仍然如前,那么应该往哪个仓库集中呢?先把一号仓库的 30 吨货物运往二号仓库集中,再把五号仓库的 40 吨货物也运往二号 仓库集中,这样运费最省。 (想想为什么?) 还有一点值得注意,在决定货物往何处集中时,起决定作用的 是货物的重量,至于距离仅仅是为了计算运费。如果把本题中各个 仓库之间的距离换成另外一些数值,仍应该把货物集中到五号仓 库。 本题可以推广为一般命题: “在一条公路上有 n 个仓库,它们 分别存货 a1 吨、a2 吨、?、an 吨,现在需要把所有的货物集中存放 在一个仓库里,应该选取哪个仓库可以使总运输费最少?”它的解

法将涉及到一次函数的知识, 同学们在学过初三代数之后就会完全 明白了。 例 4 189 米长的钢筋要剪成 4 米或 7 米两种尺寸,如果剪法 最省材料? 分析 显然无残料的剪法是最优方案, 于是考虑二元一次不定 方程的整数解问题。 解:设 4 米长的剪 x 根,7 米长的剪 y 根,依题意列方程 4x+7y=189 根据倍数分析法可知 7︱x(即 x 是 7 的倍数) 令 x1=0,则 7y=189,解出 y1=27; x2=7,则 7y=161,解出 y2=23; x3=14,则 7y=133,解出 y3=19; x4=21,则 7y=105,解出 y4=15; x5=28,则 7y=77,解出 y5=11; x6=35,则 7y=49,解出 y6=7; x7=42,则 7y=21,解出 y7=3。 因此,有七种剪法都是最省材料的。 说明:本例是最简单的下料问题,属于“线性规划”的范畴。

线性规划是运用一次方程(组) 、一次函数来解决规划问题的数学 分支,规划论研究的问题主要有两类:一类是确定了一项任务,研 究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它;另一类是在 已有一定的人力、物力和财力的条件下,研究怎样合理调配,使它 们发挥最大限度的作用,从而完成最多的任务。 例5 用 10 尺长的竹竿做原材料,来截取 3 尺、4 尺长的甲、

乙两种短竹竿各 100 根,至少要用去原材料几根?怎么截法最合 算? 分析 不难想到有三种截法省料: 截法 1:截成 3 尺、3 尺、4 尺三段,无残料; 截法 2:截成 3 尺、3 尺、3 尺三段,残料 1 尺; 截法 3:截成 4 尺、4 尺两段,残料 2 尺。 由于截法 1 最理想(无残料) ,因此应该充分应用截法 1。考虑 用原材料 50 根,可以截成 100 根 3 尺长的短竹竿,而 4 尺长的仅 有 50 根,还差 50 根。于是再应该截法 3,截原料 25 根,可以得到 4 尺长的短竹竿 50 根,留下残料:2×25=50(尺) 解:至少要用 75 根原材料,其中 50 根用截法 1,25 根用截法 3,这样的截法最省料。 说明:一般说来,一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料

问题,用本例的方法求解是比较省料的。这种解法的理论根要用到 二元不等式及一次函数图像,有兴趣的读者可参阅有关书刊。 例 6 甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规 格的西服,甲厂每月用 的时间生产上衣, 的时间生产裤子,全 月恰好生产 900 套西服;乙厂每月用 的时间生产上衣, 的时间 生产裤子,全月恰好生产 1200 套西服。现在两厂联合生产,尽量 发挥各自特长多生产西服,那么现在每月比过去多生产西服多少 套? 分析 根据已知条件, 甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间比 为 2: 因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也是 3, 2:3(注意:在固定时间内,数量与每件所用时间成反比) ;同理 可知,在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是 3:4。 由于 > ,所以甲厂善于生产裤子,乙厂善于生产上衣。下 面简单说明理由: 如果甲厂生产 9 条裤子,则相当甲厂生产 6 件上衣;如果让乙 厂生产这 6 件上衣,则相当于生产 8 条裤子。这就是说,甲厂生产 9 条裤子时乙厂只能生产 8 条裤子。显然甲厂善于生产裤子。类似 地,如果乙厂生产 9 件上衣,则相当于乙厂生产 12 条裤子;如果 让甲厂生产这 12 条裤子,则相当甲厂生产 8 件上衣。这就是说,
3 4 2 3 4 7 3 7 3 5 2 5

乙厂生产 9 件上衣时甲厂只能生产 8 件上衣。 显然乙厂善于生产上 衣。 解:两厂联合生产,尽量发挥各自特长,安排乙厂全力生产上 衣。由于乙厂用 月生产 1200 件上衣,那么乙厂全月可生产上衣:
4 7 4 1200÷ =2100(件) 7

同时,安排甲厂全力生产裤子,则甲厂全月可生产裤子: 900÷ =2250(条) 为了配套生产,甲厂先全力生产 2100 条裤子,这需要: 2100÷2250= 然后甲厂再用 900×
14 (月) 15 2 5

1 月单独生产西服: 15

1 =60(套) 15

于是,现在联合生产每月比过去多生产西服: (2100+60)-(900+1200)=60(套) 说明:本例是线性规划中劳力组合问题。劳力组合最简单的情 况就是效率比问题,这里给出多种劳力(或机械)干两种配套活的 一般分工原则: 设甲生产 A 产品与 B 产品的数量比为 品的数量比为
a1 , 乙生产 A 产品与 B 产 b1

a2 a a 。如果 1 > 2 ,则甲善于生产 A 产品,乙善于生 b2 b1 b2

产 B 产品。



题 十



1,某乡共有六块甘蔗地,每块地的产量如下图所示。现在准 备建设一座糖厂,问糖厂建于何处总运费最省?

2,产地 A1、A2、A3 和销售地 B1、B2、B3、B4 都在铁路线上,位 置如下图所示。已知 A1、A2、A3 的产量分别为 5 吨、3 吨、2 吨;B1、 B2、B3、B4 的销售量分别是 1 吨、2 吨、3 吨、4 吨。试求出使运输 吨公里数最小的调运方案。

3,把长 239 米的钢筋截成 17 米和 24 米长的钢筋,如何截法 最省材料? 4,钢筋原材料每件长 7.3 米,每套钢筋架子用长 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的钢筋各 1 段。现在需要绑好钢筋架子 100 套,至少要 用去原材料几件?截料方法怎样最省?

5,某车间有铣床 3 台,车床 3 台,自动机床 1 台,生产一种 由甲、乙两个零件组成的产品,每台铣床每天生产甲零件 10 个, 或者生产乙零件 20 个;每台车床每天生产甲零件 20 个,或者生产 乙零件 30 个;每台自动机床每天生产甲零件 30 个,或者生产乙零 件 80 个。如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套 产品?每天最多可生产多少套产品?


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