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新人教版数学必修4(A版):第三单元 三角恒等变换 测试题


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三角恒等变换测试题
一、选择题 1.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,则△ABC 一定是 A.直角三角形 B.等腰三角形 ) D. 2 ) C.等腰直角三角形 ( )

D.正三角形

2cos10°-sin20° 2. 的值是 ( sin70° 1 A. 2 B. 3 2 C. 3

π 4 3.已知 x∈(- ,0),cosx= ,则 tan2x 等于 ( 2 5 7 A. 24 7 B.- 24 24 C. 7 24 D.- 7

4.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( θ θ A.tan <cot , 2 2 θ θ B.tan >cot , 2 2

)

θ θ θ θ C.sin <cos , D.sin >cos . 2 2 2 2 )

4m-6 5.等式 sinα+ 3cosα= 有意义,则 m 的取值范围是 ( 4-m 7 A.(-1, ) 3 7 B.[-1, ] 3 7 C.[-1, ] 3 7 D.[― ,―1] 3

A+B 6.在△ABC 中,已知 tan =sinC,则以下四个命题中正确的是 ( 2
2 2

)
2 2

(1)tanA·cotB=1.(2)1<sinA+sinB≤ 2.(3)sin A+cos B=1.(4)cos A+cos B= sin C. A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ )
2

1 7.已知α∈(0,π),且 sinα+cosα= ,则 tanα的值为 ( 5 4 A.- 3 4 3 B.- 或- 3 4 3 C.- 4 4 3 D. 或- 3 4

8.函数 y = 2 sin x(sin x + cos x ) 的最大值为( ) A. 1 + 2 二.填空题 sinx cosx 9.f(x)= 的值域为 1+sinx+cosx 10.(04 江苏)已知 0<α< π α α 5 π ,tan +cot = ,则 sin(α- )的值为 2 2 2 2 3 B. 2 ? 1 C. 2 D.2

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π 11 若 x= 是方程 2cos(x+α)=1 的解,α∈(0,2π),则α= 3 12.已知 cosθ+cos θ=1,则 sin θ+sin θ+sin θ= 13.函数 y=5sin(x+20°)-5sin(x+80°)的最大值是 。
2 2 6 8



︵ ︵ ︵ ︵ 14.若圆内接四边形的四个顶点 A、B、C、D 把圆周分成AB∶BC∶CD∶DA=4∶3∶8∶5,则 四边形四个内角 A、B、C、D 的弧度数为 15.在△ABC 中,sinA+cosA= 三.解答题 β 1 α 2 π π 16.设 cos(α- )=- ,sin( -β)= ,且 <α<π,0<β< ,求 cos(α+β) . 2 9 2 3 2 2 。 ,△ABC 的面积为

2 ,AC=2,AB=3,则 tanA= 2

π π 2 2 17.已知 6sin α+sinαcosα-2cos α=0,α∈[ ,π],求 sin(2α+ )的值. 2 3

18.在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=2a,在 BC 上取一点 P,使得 AB+BP=PD,求 tan∠APD 的值.

α 2π 19.是否存在锐角α和β,使α+2β= ①,且 tan tanβ=2- 3②,同时成立?若存 3 2 在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.

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20.已知 sinα+sinβ=m,cosα+cosβ= 2 .(1)求实数 m 的范围.(2)当 m 取最 小值时,求 sin(α+β)的值.

21.已知 AB=2a, 在以 AB 为直径的半圆上有一点 C, AB 中点为 O, 设 ∠AOC=60°.


(1)在 BC 上取一点 P,若∠BOP=2θ,把 PA+PB+PC 表示成θ的函数; (2)设 f(θ)=PA+PB+PC,当θ为何值时 f(θ)有最大值,最大值是多少?

三角恒等变换测试题参考答案: 三角恒等变换测试题参考答案: 参考答案
一、选择题 1.B 由 2sinAcosB=sin(A+B) ? sin(B-A)=0 ? B=A. 2cos(30°―20°)―sin20° 3cos20° 2.C 原式= = = 3. cos20° cos20° t -1 2 t-1 - 2-1 则 f(x)= = ∈[ ,―1]∪(―1, 1+t 2 2
2

2-1 ). 2 θ θ sin cos 2 2 2cosθ - =- >0. θ θ sinθ cos sin 2 2

θ θ 3.D.4.B ∵sinθ>0,cosθ<0,tan -cot = 2 2 θ θ ∴tan >cot . 2 2 5.C 6.B

A+B 1-cos(A+B) 1+cosC π 解:由 tan = = =sinC。∴cosC=0,C= . 2 sin(A+B) sinC 2

π π 2 ∴A+B= .故①式=tan A≠1。②式=sinA+cosA= 2sin(A+ )∈(1, 2), 2 4 ③式=2sin A≠1,④式=cos A+sin A=1=sin C.
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2 2 2 2

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7.A

解:当α∈(0,

π π π )时,sinα+cosα= 2sin(α+ )>1.故α∈( ,π). 2 4 2

∴sinα>0,cosα<0.且|sinα|>|cosα|∴|tanα|>1. 由(sinα+cosα) = (舍). 8.A 解: y = 2 sin 2 x + 2 sin x cos x = 1 ? cos 2 x + sin 2 x = 1 + 二.填空题 π 9. 令 t=sin x+cos x= 2sin(x+ )∈[― 2,―1]∪(―1, 4 α α 2 5 4 3 = .∴sinα= .cosα= . 10. tan +cot = 2 2 sinα 2 5 5 π 1 3 4-3 3 sin(α- )= sinα- cosα= . 3 2 2 10 4π 11. 。 3 12.1
2 2

2tanα 1 24 24 4 3 ? sin2α=- ? =- ? tanα=- 或 tanα=- 2 25 25 1+tan α 25 3 4

π? ? 2 sin ? 2 x ? ? ≤ 1 + 2 。 4? ?

2).

解:cosθ=sin θ,∴sin θ=cos θ,sin θ=cos θ.
6 8 3 4 2 2

2

6

3

8

4

∴sin θ+sin θ+sin θ=cosθ+cos θ+cos θ=cosθ+cos θ(cosθ+cos θ) =cosθ+cos θ=1. 13.7 = 解:y=3sin(x+20°)+5[sin(x+20°)cos60°+cos(x+20°)sin60°]
2

11 5 3 sin(x+20°)+ cos(x+20°)=7sin(x+20°+φ)≤7. 2 2 11π 13π 9π 7π 2π π 4π 3π 8π 14. , , , , 解∵ = . 故四条弧所对圆心角分别为 , , , 20 20 20 4+3+8+5 10 10 10 10 20 5π . 10 1 3π 8π 11 1 8π 5π 13π 9π 7π 四内角分别为 ( + )= π. ( + )= , , . 2 10 10 20 2 10 10 20 20 20 15.解:sinA+cosA= 2cos(A-45°)= 2 1 , ∴cos(A-45°)= . 2 2

∵0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°, ∴tanA=tan(60°+45°)=―2― 3, sinA=sin(60°+45°)= 1 1 6+ 2 3 ∴S△ABC= AC·AB.sinA= ×2×3× = ( 6+ 2). 2 2 4 4 三.解答题 解答题 6+ 2 , 4

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α+β β α 16.分析:∵ =(α― )―( -β). 2 2 2 π π π β π α π 解:∵α∈( ,π)β∈(0, ).∴ <α- <π,- < -β< . 2 4 2 4 2 2 2 β 5 1 β 4 5 α 2 α ∴由 cos(α- )=- 得 sin(α- )= ,由 sin( -β)= .得 cos( -β)= . 2 9 3 9 2 2 3 2 ∴cos 239 . 729 π 2 1 2 17.解:依题知α≠ ,cosα≠0.方程可化为 6tan α+tanα-2=0. ? tanα=- 或 2 3 2 (舍). 3 π π π 2 2 ∴sin(2α+ )=sin2αcos +cos2α·sin =sinαcosα+ (cos α-sin α) 2 3 3 3 = sinαcosα 3 cos α-sin α tanα 3 1-tan α 6 5 3 + · = + × =- + . 2 2 2 2 2 2 sin α+cos α 2 cos α+sin α 1+tan α 2 1+tan α 13 26
2 2 2

α+β β α 7 5 7 5 2 =cos[(α― )―( ―β)]=…= .∴cos(α+β)=2×( ) -1=- 27 27 2 2 2

2a 2 2 18.解:如图作 PE⊥AD 于 E.设 BP=X. 则 x+a= (2a-x) +a ,∴x= , 3 A 2 4 + 3 3 2a 4 ∴AE=BP= ,DE=PC= a,∴tan∠APD=tan(∠1+∠2)= =18. 3 3 2 4 1- × 3 3 α tan +tanβ 2 α π α 19.解 1:由①得 +β= ,∴tan( +β)= = 3. 2 3 2 α 1-tan tanβ 2 B

E

D

12

P

C

α α 2 将②代入得 tan +tanβ=3- 3.∴tan ,tanβ是方程 x ―(3― 3)x+2- 3=0 的两 2 2 根. α π α 解得 x1=1,x2=2- 3.若 tan =1,则α= 与α为锐角矛盾.∴tanβ=1, tan =2 2 2 2 - 3, π π α ∴β= .代入①得α= .满足 tan =2- 3. 4 6 2 α π π 3-tanβ 解 2:由①得 = -β,代入②得:tan( -β)·tanβ=2- 3 ? ·tanβ 2 3 3 1+ 3tanβ =2- 3.

? tan2β―(3― 3)tanβ+2- 3=0;tanβ=1 或 2- 3.
π π 若 tanβ=1,则β= ,α= . 6 4
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α π π π 若 tanβ=2- 3.代入②得 cot =1,则α= 不合题意.故存在α= ,β= 使①、 2 2 6 4 ②同时成立.

20.(1)m∈[- 2 , 2 ]

(2)m=- 2 时,sin(α+β)=-1

21.(1)f(θ)=2acosθ+2asinθ+2asin(60°-θ)

(2)当θ=15°时,f(θ)max=( 6 + 2 )a

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