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直线与椭圆的弦中点问题


某市高级中学

直线与椭圆专题四: 弦中点问题 讲课:张三三

直线与椭圆专题四: 弦中点问题

学习目标:利用常规方法解决直线和椭圆位置关系中的
弦中点问题,包括求弦中点坐标,已知中点求直线方程,平 行线段的中点轨迹,及用特别的方法处理中点问题.

本节重点:熟练常规方法,掌握特别方法,理解判别式及
韦达定理的作用.

本节难点:点的坐标(x,y)与其方程的关联方式. 教学准备:PPT及学案各一套.

直线与椭圆专题四: 弦中点问题
复习导入: 对于椭圆C: 直线L:
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

y ? kx ? m

无论要做什么工作,几乎一定要把二者联立,得到一个关于x或y的一元二次方程: 对于此方程,研究两个对像:判别式,韦达 ax2 ? bx ? c ? 0定理 1. 直线与椭圆的位置关系的判定:

? 代数角度:方程组解的个数 几何角度:交点的个数
2 故需研究判别式 ? ? b ? 4ac 的取值的正负.

2. 求弦长 | AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? (kx 1 ? kx 2 ) 2 ? 1 ? k 2 * | x1 ? x 2 |

1. 求弦中点坐标或已知中点求直线方程
x2 2 例1: 过椭圆C: 2 ? y ? 1 的右焦点且斜率为2的直线与椭圆交于A,B.

求线段AB的中点坐标

1. 求弦中点坐标或已知中点求直线方程
x2 y2 ? 1 的右焦点且斜率为2的直线与椭圆交于A,B. 例2: 过椭圆C: ? 25 16

求线段AB的中点坐标

1. 求弦中点坐标或已知中点求直线方程
x2 y2 ?1 例3: 已知椭圆C: ? 16 9

求一条直线L,使得其以P(2,1)为中点.

1. 求弦中点坐标或已知中点求直线方程
x2 y2 例4: 已知椭圆C: 4 ? 2 ? 1

求一条直线L,使得其以P(-1,1)为中点.

2. 求弦中点的轨迹方程(已知斜率或点)
x2 2 例1: 已知椭圆C: 2 ? y ? 1 ,斜率为2的直线与椭圆交于A,B.

求线段AB的中点的轨迹方程

2. 求弦中点的轨迹方程(已知斜率或点)
x2 y2 例2: 已知椭圆C:25 ? 16 ? 1 ,斜率为2的直线与椭圆交于A,B.

求线段AB的中点的轨迹方程

2. 求弦中点的轨迹方程(已知斜率或点)
x2 y2 例3: 已知椭圆C: 16 ? 9 ? 1

求过P(2,1)的弦的中点的轨迹方程.

2. 求弦中点的轨迹方程(已知斜率或点)
x2 y2 例4: 已知椭圆C: 4 ? 2 ? 1

求过P(-1,1)的弦的中点的轨迹方程.

3. 弦中点问题
附: 关于中点问题的特别求法及相关事项的处理. 关于直线与椭圆的相个交点 A( x , y ) , B( x , y ),同为椭圆上点,代入椭圆均成立 2 2 x1 y1 ? 2 ?1.......... .......... ....... ① 2 ②-①得: a b 2 2 x2 y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 1 .......... .......... ....... ② x ? x y ? y y ? y x ? x 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ?0? ?? a2 b2 2 2 2 2

?

1

1

2

2

a

b

b

a

x1 ? x2 2 ?k ?? y ? y2 a2 * 1 2 b2 *

b * 2 ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) y ? y b ( x ? x ) 1 2 1 2 2 ? ?? ? ?? 2 ?? 2 2 b a y ? y2 x1 ? x2 a ( y1 ? y 2 ) a2 * 1 2

2

x1 ? x2

2 此法虽然方便,然必须考虑判别式 ? ? b ? 4ac 的符号,为什么?

4. 本节小结

实践重于理论,身教重于言传

多谢光临 Thanks all


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