当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学配套课件:第1部分 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算_图文

理解教 材新知

知识点一 知识点二

第 二 章

2.3

2.3.2 ~ 2.3.3

把握热 点考向

考点一 考点二 考点三

应用创 新演练

返回

返回

返回

返回

返回

问题1:在平面内,一个向量的分解是唯一的吗?

提示:不唯一.
问题2:在平面内,规定e1,e2为基底,那么一个向

量对e1,e2的分解是唯一的吗?
提示:唯一.

返回

问题 3:在平面直角坐标系中,分别取 x 轴,y 轴方向相 同的两个单位向量
??? ? i,j 作为基底,任作一向量 OA ,根据平面向
??? ? 量基本定理, OA =xi+yj,那么(x,y)与

A 点的坐标相同吗?

提示:相同.
??? ? ??? ? 问题 4:如果向量 OA 也用(x,y)表示,那么这种向量 OA 与

实数对(x,y)之间是否一一对应?

提示:一一对应.

返回

1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量,叫做把向量正

交分解.
2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两 个 单位向量 i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且 (x,y) 叫做a的坐标, a=xi+yj ,则 只有一对实数x,y使得 a=(x,y) 记作 ,此式叫做向量的坐标表示.

3.向量i,j,0的坐标表示 i= (1,0) ,j= (0,1) ,0= (0,0) .
返回

返回

若a=x1i+y1j,b=x2i+y2j. 问题1:a,b的坐标分别是什么? 提示:(x1,y1),(x2,y2).

问题2:试求3a和2a-b.
提示:3a=3(x1i+y1j)=3x1i+3y1j. 2a-b=(2x1-x2)i-(2y1-y2)j.

返回

问题3:3a与2a-b的坐标分别是什么? 提示:(3x1,3y1),(2x1-x2,2y1-y2).
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 问题4:若把向量 OA 平移到 BC , OA 和 BC 的坐
??? ? 标相同吗? BC 的坐标是C点坐标吗?

??? ? 提示:相同. BC 的坐标不是C点坐标.

返回

1.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2) , 即两个向量和的坐标等于这两个向量 相应坐标的和 . (2)若a=(x ,y ),b=(x ,y ),则a-b= (x1-x2,y1-y2),
1 1 2 2

即两个向量差的坐标等于这两个向量 相应坐标的差 . (3)若a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy),即实数与向量的 积的坐标等于用 这个实数乘原来向量的相应坐标 .

返回

2.平面直角坐标系中向量坐标求法
??? ? 在平面直角坐标系中,若A(x,y),则 OA =

(x,y) ;

??? ? 若A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB = (x2-x1,y2-y1) .

返回

??? ? 1.在平面直角坐标系中,以O为起点的向量 OA =a,点A

的位置被a唯一确定,此时A点的坐标与向量的坐标相同. 2.向量用坐标表示,为表示向量a提供了另一种方法,使 向量a与实数对(x,y)建立了一一对应关系;

返回

3.点的坐标与向量的坐标的区别: 平面向量的坐标与该向量的始点、终点的坐标都有关,只 有始点在原点时,向量的坐标才与终点的坐标相等;

返回

4.对符号(x,y)的认识:符号(x,y)在平面直角坐标系中 具有了双重意义,它可以表示一个点,又可以表示一个向量, 为加以区分,常说点P(x,y)或者向量a=(x,y),注意前者没 有等号,后者有等号.

返回

返回

[例1]

在直角坐标系xOy中,

向量a,b,c的方向和长度如图所 示,分别求它们的坐标.

[思路点拨]

可利用三角函数的定义求向量终点的

坐标即可得向量的坐标. 返回

[精解详析] 设a=(a1,a2),b=(b1,b2), c=(c1,c2),则 2 a1=|a|cos 45°=2× = 2, 2 2 a2=|a|sin 45°=2× = 2; 2 1 3 b1=|b|cos 120°=3×(- )=- , 2 2

返回

3 3 3 b2=|b|sin 120°=3× = ; 2 2 3 c1=|c|cos(-30°)=4× =2 3, 2 1 c2=|c|sin(-30°)=4×(- )=-2. 2 3 3 3 因此a=( 2, 2),b=(- , ),c=(2 3,-2). 2 2

返回

[一点通] 向量的坐标表示是向量的另一种表示方法, 当向量的起点在原点时,终点坐标即为向量的坐标;当起点 不在原点时,向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 的坐标减去起点的坐标.

返回

??? ? 1.已知 AB =(3,4),B(2,-1),则点A的坐标是________.
??? ? 解析:法一:设A(x,y),则 AB =(2-x,-1-y)=(3,4).
?2-x=3, ?x=-1, ? ? ? ∴ 解得? ?-1-y=4, ?y=-5. ? ?

∴A(-1,-5).

返回

? ??? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ? 法二:∵ OA = OB + BA = OB - AB =

(2,-1)-(3,4)=(-1,-5). ∴A的坐标为(-1,-5).

答案:(-1,-5)

返回

2.在平面直角坐标系中,x轴的正向为正东方向,y轴的正向为 正北方向,质点在坐标平面内做直线运动,分别求下列位移 向量的坐标. (1)向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度; (2)向量b表示沿西偏北60°方向移动了4个单位长度; (3)向量c表示沿东偏南30°方向移动了6个单位长度.

返回

解:(1)设a=(x1,y1), 则x1=|a|cos 45°=2×cos 45°= 2, y1=|a|sin 45°=2× ∴a=( 2, 2). 2 = 2, 2

返回

(2)设b=(x2,y2), 2π 2π 则x2=4cos =-2,y2=4sin =2 3, 3 3 ∴b=(-2,2 3). (3)设c=(x3,y3), 则x3=6cos (-30°)=3 3,y3=6sin (-30°)=-3, ∴c=(3 3,-3).

返回

[例2]

已知a=(-1,2),b=(2,1),求下列向量的坐

1 1 标:(1)2a+3b; (2)a-3b; (3) a- b. 2 3

[思路点拨] 先进行数乘向量的运算,再进行坐标加减运 算.

返回

[精解详析] (1)2a+3b=2(-1,2)+3(2,1) =(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b=(-1,2)-3(2,1) =(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). 1 1 1 1 (3) a- b= (-1,2)- (2,1) 2 3 2 3 1 2 1 7 2 =(- ,1)-( , )=(- , ). 2 3 3 6 3

返回

[一点通] 向量的坐标运算主要是对坐标进行加、减、乘运 算,解题中要注意“对应”二字,同时要注意方程思想的运用.

返回

??? ? ??? ? ??? ? 3.若 AB =(2,4), AC =(1,3),则 BC 等于

(

).

A.(1,1) C.(3,7)

B.(-1,-1) D. (-3,-7)

??? ? ???? ??? ? 解析: BC = AC - AB =(1,3)-(2,4)=(-1,-1).

答案:B

返回

1 3 4.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 a- b等于 2 2 ( A.(-2,-1) C.(-1,0) B.(-2,1) D.(-1,2) )

1 3 1 3 解析: a- b= (1,1)- (1,-1) 2 2 2 2 1 1 3 3 =( , )-( ,- ) 2 2 2 2 1 3 1 3 =( - , + )=(-1,2). 2 2 2 2

答案:D 返回

5.已知a=(2,1),b=(-3,4).求: 1 1 (1)3a+4b; (2)a-3b; (3) a- b. 2 4
解:∵a=(2,1),b=(-3,4), ∴(1)3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6-12,3+16)=(-6,19); (2)a-3b=(2,1)-3(-3,4) =(2+9,1-12)=(11,-11); 1 1 1 1 (3) a- b= (2,1)- (-3,4) 2 4 2 4 3 1 7 1 =(1+ , -1)=( ,- ). 4 2 4 2

返回

[例3] ??? ? +t AB .

??? ? ??? ? (12分)已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5), OP = OA

(1)t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上?点P在第二象 限? (2)四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不 能,说明理由.
??? ??? ? ? 由已知点的坐标表示出向量 OA , AB 的坐标,

[思路点拨]

??? ? 从而得到 OP 的坐标,即点

P 的坐标,然后分类讨论.

返回

[精解详析]

??? ? ??? ? ??? ? (1) OP = OA +t AB =(1,2)+t(3,3)

=(1+3t,2+3t), 2 若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=- .? 3 1 若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=- .? 3
?1+3t<0, ? 2 1 ? 若点P在第二象限,则 ∴- <t<- .? 3 3 ?2+3t>0, ?

(2分) (4分) (6分)

返回

??? ? ??? ? (2) OA =(1,2), PB =(3-3t,3-3t). ??? ? ??? ? 若四边形OABP为平行四边形,则 OA = PB ,? (8分)
?3-3t=1, ? ∴? 该方程组无解. ?3-3t=2, ?

故四边形OABP不能成为平行四边形.?

(12分)

返回

[一点通] 1.向量的坐标表示法,可以使向量运算完全代数化,将 数与形紧密地结合起来,这样许多几何问题的解决就可以转化 为我们熟知的数量运算. 2.如果两个向量是相等向量,那么它们的坐标一定对应 相等.当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终 点的坐标相同.

返回

6.一个平行四边形的三个顶点的坐标分别是(5,7),(-3,5), (3,4),则第四个顶点的坐标不可能是 A.(-1,8) C.(11,6) B.(-5,2) D.(5,2) ( )

返回

解析:设A(5,7),B(-3,5),C(3,4),第四个顶点为D,(1)
??? ? ???? 若?ABCD,则 AB = DC ,∴D(11,6);

? ??? ? ??? (2)若?ACDB,则 AC = BD ,∴D(-5,2); ? ??? ? ??? (3)若?ACBD,则 AC = BD ,∴D(-1,8).
综上所述:D点坐标为(11,6)或(-5,2)或(-1,8),所以不可 能是(5,2).

答案:D

返回

??? ? 7.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),以 AB , ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD .

??? ? ??? ? ??? ? 解:∵ AB =(1,3), AC =(2,4), AD =(-3,5), ??? ? ??? ? BD =(-4,2), CD =(-5,1), ? ??? ? ??? ? ??? ∴ AD + BD + CD =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)

=(-12,8).

返回

??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 设 AD + BD + CD =m AB +n AC ,
∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4). 也就是 (-12,8)=(m+2n,3m+4n).
?m+2n=-12, ?m=32, ? ? 可得? 解得? ?3m+4n=8, ?n=-22. ? ?

??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ∴ AD + BD + CD =32 AB -22 AC .

返回

1.平面向量的坐标运算的注意事项: ①要将平面向量用坐标表示;②要注意“对应”二字; ③向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标. 2.坐标平面内,向量属于自由向量,即向量可以在坐 标平面内任意平移,平移前后坐标不变.

返回

点此进 入

返回