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重庆市万州中学2015-2016学年高二(下)四月月考数学(文)试题


万州中学高 2017 级高二下期四月月考数学(文史类)试题

考试时间:120 分钟;满分 150 分. 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前,考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知复数 z ? ?1 ? i , z 是 z 的共轭复数,在复平面内, z 所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2.定义 A ? B ? {x | x ? A, x ? B} ,若 A ? {2,4,6,8,10} , B ? {1,4,8} ,则 A ? B 等于( A. {1, 2,6,10} B. {2,6,10} C. {4,8} ) D. {1}

2 2 3.设 a , b 是实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.用反证法证明结论为“自然数 a, b, c 中恰有 1 个偶数”的某命题时,应假设( A.“ a, b, c 都是奇数” C.“ a, b, c 中至少有两个偶数” B.“ a, b, c 都是偶数”

D.“ a, b, c 中至少有两个偶数或全是奇数” )

5.已知 f1 ( x) ? cos x, f 2 ( x) ? f1?( x), f3 ( x) ? f 2?( x),?, f n?1( x) ? f n?( x) ,则 f 2016 ( x) =( A. sin x B. ? sin x C. cos x D. ? cos x

6.设某大学的女生体重 y (单位:kg)与身高 x (单位:cm)具有线性相 关关系,根据一组样本数据 ( xi , yi )(i ? 1,2,?, n) ,用最小二乘法建立的回

? ? 0.85x ? 85.71 ,则下列结论中不正确 归方程为 y 的是( ...
A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( x , y )



C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 7.执行如右程序框图,输出的结果为( A. 2 B. 4 ) C. D. 16

b ? 2b

8.已知圆的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? A. (2,

?
4

) ,则其圆心坐标为(
C. (2, ?

) D. (2,0) 2S .类比这 a+b+c

?
4

)

B. (2,

3? ) 4

?
4

)

9.设△ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r=

个结论可知:四面体 PABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球的半径为 r,四面体 PABC 的体积为 V,则 r=( V A. S1+S2+S3+S4 ) C. 3V S1+S2+S3+S4 4V D. S1+S2+S3+S4

2V B. S1+S2+S3+S4

10.在 R 上定义运算 ? : x ? y ?

x ,如果关于 x 的不等式 ( x ? a) ? ( x ? 1 ? a) ? 0 的解集是区 2? y
) D. 1 ? a ? 2 )

间 (?2, 2) 的子集,则实数 a 的取值范围是( A. ?2 ? a ? 1 B. ?2 ? a ? 1

C. 1 ? a ? 2

11.已知复数 x ? ( y ? 2)i,( x, y ? R) 的模为 3 ,则 A. [ ?

y 的取值范围是( x

3 3 , ] 3 3

B. (??, ?

3 3 ] ? [ , ??) 3 3

C. [? 3, 3]

D. (??, ? 3] ? [ 3, ??) )

12.已知实数 0 ? x1 ? x2 ? 1,则下列不等式恒成立的是( A. e 1 ? e 2 ? ln x1 ? ln x2
x x x x

B. e 1 ? e 2 ? ln x1 ? ln x2 D. x1e 2 ? x2e 1
x x

C. x1e 2 ? x2e 1
x x

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,请将答案填在答题卡相应位置. 13.已知复数 z ?

1? i ,则 | z | =_________ 2?i

14.点 M , N 分别是曲线 ? sin ? ? 2 和 ? ? 2cos? 上的动点,则 | MN | 的最小值是 15.观察数列:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…,其中第 100 项是 16.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最大值是 16 12

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18. (本题满分 12 分) 某公司所生产的一款设备的维修费用 y (单位:万元)和使用年限 x (单位:年)之间的关系 如下表所示,由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,

x
y

2 22

3 38

4 55

5 65

6 70

(Ⅰ)求线性回归方程; (Ⅱ)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少?

?? 参考公式: b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

? . ? ? y ? bx ,a

2

18. (本题满分 12 分) 已知等差数列 {an} 中, a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , (Ⅰ)已知 a1 ? 1 , d ? 2 ,且

1 1 1 , 2 , 2 成等比数列,求正整数 m 的值; a12 a4 am 1 1 1 都不成等差数列. , , an an?1 an?2

(Ⅱ)求证:对任意 n ? N ,
*

19. (本题满分 12 分) 如图,在四棱柱 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,E 是棱 PA 的中点, PD ? AD . (Ⅰ)求证:PC∥平面 BED; (Ⅱ)若 CD ? 1, BC ? PC ? PD ? 2 ,求三棱锥 P ? BCD 的体积.
P

E D A C B

20. (本题满分 12 分)

3 1 x2 y 2 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,离心率为 ,左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F 1的 2 2 a b
直线交椭圆于 A, B 两点, (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当 ?ABF2 的面积为

12 2 时,求直线的方程. 7

21. (本题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx 图象上点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? y ? 3 ? 0 ,

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m ? ln 4 在 [ , 2] 上恰有两个不同的零点,求实数 m 的取值范围.

1 e

选做题:请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4?1:几何证明选讲 如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交 于点 B、C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E, (Ⅰ)求证:BE=EC; (Ⅱ)求证:AD· DE=2PB2. 23. (本小题满分 10 分)选修 4?4:坐标系与参数方程 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

) ,直线的极坐标方程为

? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 ,
(Ⅰ)求圆 C 的面积; (Ⅱ)直线与圆 C 相交于 A, B 两点,求 | AB | .

24. (本小题满分 10 分)选修 4?5:不等式选讲 设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记 f(x)≤1 的解集为 M,g(x)≤4 的解集为 N, (Ⅰ)求 M; 1 (Ⅱ)当 x∈M∩N 时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤ . 4

万州中学高 2017 级高二下期四月考试数学(文史类)试题
参考答案
1-12 CBDD ADDB CABC 13.

10 5

14. 1

15. 14

16. 4 5

17.解: (Ⅰ) x ? 4, y ? 50 ,

b?

?x y
i ?1 i

5

i 2

?x
i ?1

5

?

2 i

? 5x

1123 ? 5 ? 4 ? 5 ? 12.3 , a ? y ? bx ? 50 ? 12.3 ? 4 ? 0.8 90 ? 5 ? 42

? ? bx ? a ? 12.3x ? 0.8 , ∴线性回归方程为: y ? ? 12.3 ?10 ? 0.8 ? 123.8 (万元) (Ⅱ)当 x=10 时, y ,
即估计使用 10 年时维修费用是 123.8(万元) 。

18.解: (Ⅰ) a4 ? 7, am ? 2m ?1 , ?1?

1 1 ? ( 2 )2 ,? 2m ? 1 ? 49, m ? 25 , 2 (2m ? 1) 7

(Ⅱ)假设存在正整数 n ? N ,使
*

1 1 1 成等差数列, , , an an?1 an?2



2 1 1 2 1 1 2a ,即 ? ? ? ? ? 2 n?1 2 , an?1 an an?2 an?1 an?1 ? d an?1 ? d an?1 ? d

2 2 2 得 an?1 ? an?1 ? d ,?d ? 0 ,这与已知 d ? 0 矛盾,故假设不成立,原结论成立.

19.证: (Ⅰ)连接 AC,交 BD 于点 O,连接 EO, 在矩形 ABCD 中,O 为 AC 的中点,∵E 是 PA 的中点,∴EO//PC, ∵ EO ? 平面 BED, PC ? 平面 BED,∴PC//平面 BED; (Ⅱ)在矩形 ABCD 中, AD ? CD ,又 AD ? PD ,得 AD ? 平面 PCD, ∵BC//AD,∴得 BC ? 平面 PCD, ∵ CD ? 1, PC ? PD ? 2 ,∴ S?PCD ?

1 1 15 , ?1? 22 ? ( )2 ? 2 2 4

∴ VP?BCD ? VB?PCD ?

1 15 ? S?PCD ? BC ? . 3 6

9 ?1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ?a 2 ? 4 x2 y 2 ? 20.解: (Ⅰ) ? ,∴椭圆的方程为 ? ?1; ?? 2 2 4 3 ?b ? 3 ? 1? b ? 1 ? a2 2 ?
(Ⅱ)当直线的倾斜角为 90 时, S?ABF2 ? 3 ,不合题意;
?

当直线的倾斜角不为 90 时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入椭圆方程,
?

得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0 ,
2 2 2 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),? x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

S?ABF2 ?

1 | F1F2 | ? | y1 ? y2 |?| k | ? | x1 ? x2 |?| k | ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1x2 2

12 | k | k 2 ? 1 12 2 4 2 2 ? ? ,化简为 17k ? k ? 18 ? 0 ,解得 k ? 1, k ? ?1 , 2 4k ? 3 7
∴所求直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . 21.解: (Ⅰ)当 x ? 1 时, f (1) ? 2 x ? 3 ? ?1 . 函数 f ( x) 的定义域: x ? 0 .

f ?( x ) ?

a ? 2bx , x

? f ?(1) ? a ? 2b ? 2 ? a ? 4, b ? ?1 . ? y ? f ( x) ? 4 ln x ? x 2 . ? ? f (1) ? b ? ?1
2

(Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? m ? ln 4 ? 4 ln x ? x ? m ? ln 4 .
2 2 令 g ( x) ? 0 得 m ? x ? 4 ln x ? ln 4 . 记 ? ( x) ? x ? 4 ln x ? ln 4 ,

? ?( x) ? 2 x ?

1 4 2 x 2 ? 4 2( x ? 2 )(x ? 2 ) ? ? ? 0 得 x ? 2 ? [ ,2] e x x x

在 ( , 2 ) 上, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减;在 ( 2 ,2) 上, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增.

1 e 1 1 ? ( ) ? 2 ? 4 ? 2 ln 2 , ? ( 2 ) ? 2 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 2 , e e

? (2) ? 4 ? 4 ln 2 ? 2 ln 2 ? 4 ? 2 ln 2 .
? 2 ? m ? 4 ? 2 ln 2 .
22.证: (Ⅰ)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. (Ⅱ)由切割线定理得 PA2=PB· PC.

因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 2 所以 AD· DE=2PB . 23.解: (Ⅰ)圆的直角坐标方程为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,圆的半径为 2 ,面积为 2? ;
2 2

(Ⅱ)直线的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离为

|1 ? 1 ? 1| 2 ? , 2 1?1

| AB |? 2 ( 2)2 ? (

2 2 ) ? 6. 2

?3x-3,x∈[1,+∞), ? 24.解: (Ⅰ)f(x)=? ?1-x,x∈(-∞,1). ? 4 4 当 x≥1 时,由 f(x)=3x-3≤1 得 x≤ ,故 1≤x≤ ; 3 3 当 x<1 时,由 f(x)=1-x≤1 得 x≥0,故 0≤x<1. 4? ? 所以 f(x)≤1 的解集 M=?x0≤x≤3?. ? ? 1 2 x- ? ≤4, (Ⅱ)由 g(x)=16x2-8x+1≤4 得 16? ? 4? 1 3? 1 3 ? 解得- ≤x≤ ,因此 N=?x|-4≤x≤4?, 4 4 ? ? 3? ? 故 M∩N=?x0≤x≤4?. ? ? 当 x∈M∩N 时,f(x)=1-x, 1 2 1 1 x- ? ≤ . 于是 x2f(x)+x· [f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=xf(x)=x(1-x)= -? 4 ? 2? 4


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