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二次函数自主招生综合卷(一)

二次函数自主招生综合组卷
1.如图,已知抛物线 C:y=x2﹣2x+4 和直线 l:y=﹣2x+8.直线 y=kx(k>0)与抛物线 C 交于两个不同的 点 A、B,与直线 l 交于点 P,分别过 A、B、P 作 x 轴的垂线,设垂足分别为 A1,B1,P1. (1)证明: ;

(2)是否存在实数 k,使 A1A+B1B=8?如果存在,求出此时 k 的值;如果不存在,请说明理由.

2.试证明:二次函数 y=nx2﹣2mx﹣2n 的图象与 x 轴交于不同的 A、B 两点,并回答下列问题: 若二次函数 y=nx2﹣2mx﹣2n 的图象的顶点在以 AB 为直径的圆上. (1)m、n 间有何关系? (2)设以 AB 为直径的圆与 y 轴交于点 C、D,弦 CD 的长是否为定值?

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3.已知抛物线 C:y= x2,直线 L:y=kx+1(k 为任意实数) .直线 L 与 y 轴交于点 F,与抛物线 C 交于 A、 B 两点,直线 m:y=﹣1,过 A、B 两点分别作 m 的垂线,垂足分别为 A1,B1. (1)证明:△AFA1、△BFB1 都是等腰三角形; (2)证明:△A1FB1 是直角三角形; (3)以点 F 为圆心,半径为 1 的圆与直线 L 交于 C、D 两点(A、C 在 y 轴同侧) ,|AC|,|BD|分别表示线 段 AC、BD 的长度,求|AC|?|BD|.

4.如图,抛物线 y=ax2+c(a>0)经过梯形 ABCD 的四个顶点,梯形的底 AD 在 x 轴上,A 点到原点的距离 为 2,梯形的高为 3,C 点到 y 轴的距离为 1, (1)求抛物线的解析式; (2)点 M 为 y 轴上的任意一点,求点 M 到 A,B 两点的距离之和的最小值及此时点 M 的坐标; (3)在第(2)的结论下,抛物线上的 P 的使 S△PAD=S△ABM 成立,求点 P 的坐标.

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5.已知二次函数 y=x2﹣2mx+m2﹣4 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边) ,且与 y 轴交于点 D. (1)当点 D 在 y 轴正半轴时,是否存在实数 m,使得△BOD 为等腰三角形?若存在,求出 m 的值;若不 存在,请说明理由; (2)当 m=﹣1 时,将函数 y=x2﹣2mx+m2﹣4 的图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折,图象的其余部分保持 不变,得到一个新的图象 Ω.当直线 与图象 Ω 有两个公共点时,求实数 b 的取值范围.

6.已知二次函数 y=ax2+bx+c(a<0)的函数图象与 y 轴交于点 C(0,8) ,与 x 轴交于 A(x1,0) ,B(x2, 0)两点(x1<x2) ,且 4a+2b+c=0,S△ABC=32. (1)求二次函数的解析式; (2)连 AC、BC,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A、B 不重合) ,过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F,连 CE,设 AE 的长为 m,△CEF 的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系式,写出 自变量 m 的取值范围并求面积 S 的最大值.

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7.抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过点 A(1,﹣3) ,B(3,﹣3) ,C(﹣1,5) ,顶点为 M 点. (1)求该抛物线的解析式. (2)试判断抛物线上是否存在一点 P,使∠POM=90°.若不存在,说明理由;若存在,求出 P 点的坐标. (3)试判断抛物线上是否存在一点 K,使∠OMK=90°,若不存在,说明理由;若存在,求出 K 点的坐标.

8.如图,二次函数 y=2x2﹣2 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左边) ,与 y 轴交于点 c,直线 x=a(a >1)与 x 轴交于点 D, (1)在直线 x=a 上有一点 P(P 在第一象限) ,使得以 P、D、B 为顶点的三角形与 B、C、O(原点)为顶 点的三角相似,求点 P 坐标(用含 a 的代数式表示) (2)在(1)成立的条件下,试问抛物线 y=2x2﹣2 上是否存在一点 Q,使四边形 ABPQ 为平行四边形?若 存在这样的 Q,请求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

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参考答案与试题解析

1. (2010?芜湖校级自主招生) 解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 由 ,

得 x2﹣(2+k)x+4=0, 又由△=(2+k)2﹣16>0, ∴k>2 或 k<﹣6, x1+x2=2+k,x1x2=4, OA1=x1,OB1=x2, ∴ = = = ,



,得:

(k+2)x=8, ∴x= ∴ (2)由 AA1=kx1,BB1=kx2 ∴AA1+BB1=k(x1+x2)=k(2+k)=8, 即 k2+2k﹣8=0, ∴k1=2,k2=﹣4, 由△>0 有 k>2 或 k<﹣6, 故不存在实数 k 满足条件. 2. (2009?宁海县校级自主招生) 解:令 y=0 时,则 nx2﹣2mx﹣2n=0, ∴△=(﹣2m)2﹣4n(﹣2n) =4m2+8n2 ∵n≠0 ∴△>0 ∴方程 nx2﹣2mx﹣2n=0 有两个不同的实数根 x1,x2 , ,结论成立;

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∴二次函数 y=nx2﹣2mx﹣2n 的图象与 x 轴交于不同的交点. (1)∵y=nx2﹣2mx﹣2n ∴y=(x﹣ )2﹣2n﹣ 所以它的顶点坐标为( HE=| ∵x1+x2= | ,x1?x2=﹣2 )

∴AB=|x1﹣x2|=

=

=



=2|

|

变形为:m2+2n2=1 或 m2+2n2=0, ∵二次函数 y=nx2﹣2mx﹣2n 的图象与 x 轴交于不同的交点. ∴△=m2+2n2>0, ∴m2+2n2=0(不合题意舍去) , ∴m2+2n2=1; (2)连接 AD、BD ∴∠ADB=90° ∴OD2=OA?OB=|x1|?|x2|=|x1x2|=2 ∴OD= ∵CD=2OD ∴CD=2 即 CD 的长为恒值 2 .

3. (2015?黄冈中学自主招生) 解: (1)如图,∵直线 L:y=kx+1 与 y 轴交于点 F, ∴F(0,1) , ∵直线 y=kx+1 与抛物线 y= x2 交于 A、B 两点, 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , ∵AF2=x12+(1﹣y1)2=x12+(1﹣ x12)2=(1+ x12)2=(1+y1)2, ∵AA1=1+y1,

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∴AF2=AA12, ∴AF=AA1, ∴△AFA1 是等腰三角形; 同理可证 BF=BB1, ∴△AFA1、△BFB1 都是等腰三角形; (2)如图,设直线 m 与 y 轴交于 F1, ∵FA12=FF12+A1F12=x12+4, FB12=FF12+F1B12=x22+4, A1B12=(x2﹣x1)2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+8, ∴FA12+FB12=A1B12, ∴△A1FB1 是以 F 点为直角顶点的直角三角形. (3)如图,∵直线 y=kx+1 与抛物线 y= x2 交于 A、B 两点, 设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , ∴可以得出:kx+1= x2, 整理得: x2﹣kx﹣1=0, ∵a= ,c=﹣1, ∴x1?x2=﹣4, 由(1)可知 AF=AA1=1+y1,BF=BB1=1+y1, ∵|AC|=AF﹣1=y1,|BD|=BF﹣1=y2, ∴|AC|?|BD|=y1?y2= x12? x22= (x1?x2)2= ×(﹣4)2=1.

4. (2012?桃源县校级自主招生) 解: (1)由题意可得:A(﹣2,0) ,C(1,﹣3) , ∵抛物线 y=ax2+c(a>0)经过 A、C 两点,

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,解得



∴抛物线的解析式为:y=x2﹣4; (2)由于 A、D 关于抛物线的对称轴(即 y 轴)对称,连接 BD,则 BD 与 y 轴的交点即为 M 点; 设直线 BD 的解析式为:y=kx+b(k≠0) , ∵B(﹣1,﹣3) ,D(2,0) , ∴ 解得 , ,

∴直线 BD 的解析式为 y=x﹣2, 当 x=0 时,y=﹣2, ∴点 M 的坐标是(0,﹣2) ; (3)设 BC 与 y 轴的交点为 N,则有 N(0,﹣3) , ∵M(0,﹣2) ,B(﹣1,﹣3) , ∴MN=1,BN=1,ON=3, ∴S△ABM=S 梯形 AONB﹣S△BMN﹣S△AOM= (1+2)×3﹣ ×1×1﹣ ×2×2=2, ∴S△PAD=S△ABM=2. ∵S△PAD= AD?|yP|=2,AD=4, ∴|yP|=1. 当 P 点纵坐标为 1 时,x2﹣4=1,解得 x=± ∴P1( ,1) ,P2(﹣ ,1) ; , ,

当 P 点纵坐标为﹣1 时,x2﹣4=﹣1,解得 x=± ∴P3( ,﹣1) ,P4(﹣ ,﹣1) ;

故存在符合条件的 P 点,且 P 点坐标为:P1( 5. (2010?新罗区校级自主招生)

,1) ,P2(﹣

,1) ,P3(

,﹣1) ,P4(﹣

,﹣1) .

解:令 y=0 得 x2﹣2mx+m2﹣4=0,解得 x1=m﹣2,x2=m+2, ∴A(m﹣2,0) ,B(m+2,0) ,D(0,m2﹣4) , (1)∵点 D 在 y 轴正半轴, ∴m2﹣4>0,设存在实数 m,使得△BOD 为等腰三角形,则 BO=OD, 即|m+2|=m2﹣4, ①当 m+2>0 时,m2﹣4=m+2,解得 m=3 或 m=﹣2(舍去) ;

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②当 m+2<0 时,m2﹣4+m+2=0,解得 m=1 或 m=﹣2(都舍去) ; ③当 m+2=0 时,点 O、B、D 重合,不合题意,舍去; 综上所述,m=3. (2)当 m=﹣1 时,y=x2+2x﹣3,则 A(﹣3,0) ,B(1,0)顶点为(﹣1,﹣4) 因为直线 则当直线 当直线 当直线 与图象 Ω 有两个公共点, 过 A 点时 , , ,

过 B(1,0)时,

与 y=﹣x2﹣2x+3 只有一个公共点时, .

根据图象,可得﹣ <b< 或 b>

6. (2010?洪山区校级自主招生) 解: (1)由已知得:c=8, 又∵4a+2b+c=0, ∴抛物线经过(2,0) , ∴点 B 的坐标为(2,0) , ∵S△ABC=32. ∴ ×8×AB=32 解得:AB=8 ∴A(﹣6,0) , 将点 A(﹣6,0)B(2,0)代入 y=ax2+bx+c 得:

解得:

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故二次函数的解析式为 y=﹣ x2﹣ x+8. (2)依题意,AE=m,则 BE=8﹣m, ∵OA=6,OC=8, ∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴ ∴EF= 过点 F 作 FG⊥AB,垂足为 G,则 sin∠FEG=sin∠CAB= ∴ = =8﹣m = ,即 =

∴FG= ? ∴S=S△BCE﹣S△BFE

= (8﹣m)×8﹣ (8﹣m) (8﹣m) = (8﹣m) (8﹣8+m) = (8﹣m)m =﹣ m2+4m =﹣ (m﹣4)2+8 自变量 m 的取值范围是 0<m<8 ∴当 m=4 时,S 最大值=8. 7. (2010?福田区校级自主招生) 解: (1)根据题意,得 ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣4x; (2)抛物线上存在一点 P,使∠POM=90?. x=﹣ =﹣ =2,y= = =﹣4, ,解得 ,

∴顶点 M 的坐标为(2,﹣4) , 设抛物线上存在一点 P,满足 OP⊥OM,其坐标为(a,a2﹣4a) ,

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过 P 点作 PE⊥y 轴,垂足为 E;过 M 点作 MF⊥y 轴,垂足为 F. 则∠POE+∠MOF=90?,∠POE+∠EPO=90?. ∴∠EPO=∠FOM. ∵∠OEP=∠MFO=90?, ∴Rt△OEP∽Rt△MFO. ∴OE:MF=EP:OF. 即(a2﹣4a) :2=a:4, 解得 a1=0(舍去) ,a2= , ∴P 点的坐标为( , ) ; (3)过顶点 M 作 MN⊥OM,交 y 轴于点 N.则∠FMN+∠OMF=90?. ∵∠MOF+∠OMF=90?, ∴∠MOF=∠FMN. 又∵∠OFM=∠MFN=90?, ∴△OFM∽△MFN. ∴OF:MF=MF:FN. 即 4:2=2:FN.∴FN=1. ∴点 N 的坐标为(0,﹣5) . 设过点 M,N 的直线的解析式为 y=kx+b,则 ,

解得

,∴直线的解析式为 y= x﹣5,

联立

得 x2﹣ x+5=0,解得 x1=2,x2= ,

∴直线 MN 与抛物线有两个交点(其中一点为顶点 M) . 另一个交点 K 的坐标为( ,﹣ ) , ) .

∴抛物线上必存在一点 K,使∠OMK=90?.坐标为( ,﹣

8. (2009?吴兴区校级自主招生) 解: (1)令 y=0 得 2x2﹣2=0 解得 x=±1, 点 A 为(﹣1,0) ,点 B 为(1,0) ,
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令 x=0,得 y=﹣2, 所以点 C 为(0,﹣2) ,则 CO=2,BO=1, 当△PDB∽△COB 时, 有 = ,

∵BD=a﹣1,OC=2,OB=1, ∴ = ,

∴PD=2(a﹣1) , ∴P1(a,2a﹣2) . 当△PDB∽△BOC 时,有 ∵OB=1,BD=a﹣1,OC=2, ∴ PD= = , , = ,

∴P2(a, ﹣ ) . (2)假设抛物线 y=2x2﹣2 上存在一点 Q,使得四边形 ABPQ 为平行四边形, ∴PQ=AB=2,点 Q 的横坐标为 a﹣2. 当点 P1 为(a,2a﹣2)时, 点 Q1 的坐标是(a﹣2,2a﹣2) , ∵点 Q1 在抛物线 y=2x2﹣2 图象上, ∴2a﹣2=2(a﹣2)2﹣2, 即 a﹣1=a2﹣4a+4﹣1, a2﹣5a+4=0, 解得:a1=1(舍去) ,a2=4. 当点 P2 为(a, ﹣ )时, 点 Q2 的坐标是(a﹣2, ﹣ ) , ∵Q2 在抛物线 y=2x2﹣2 图象上, ∴ ﹣ =2(a﹣2)2﹣2, 即 a﹣1=4(a﹣2)2﹣4 a﹣1=4a2﹣16a+16﹣4,

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4a2﹣17a+13=0, (a﹣1) (4a﹣13)=0, ∴a3=1(舍去) ,a4= ∴a 的值为 4、 . ,

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