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易学通-重难点一本过高二数学(人教版选修2-1):第五章 空间向量及其应用 含解析

重点列表: 重点 重点 1 重点 2 重点 3 重点 4 重点详解: 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 → 为直线 l ①直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB → 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. 的方向向量,与AB ②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 ? ?n·a=0, α 的法向量,则求法向量的方程组为? ? ?n·b=0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α ?存在两个实数 x,y,使 v=xv1+yv2. ③设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α ?v⊥u. ④设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α ∥β ?u1∥u2. 1. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0. ②设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α ?v∥u. 名称 空间向量坐标的基本运算 空间两直线的平行与垂直 直线和平面的平行与垂直 平面和平面的平行与垂直 重要指数 ★★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★ ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α ⊥β ?u1⊥u2?u1·u2=0. 2.共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a∥b?a=λ b?a1=λ b1,a2=λ b2, a3=λ b3(λ ∈R), a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). 重点 1:空间向量坐标的基本运算 【要点解读】 1.空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则①a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3); ②λ a=(λ a1,λ a2,λ a3); ③a·b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b?a=λ b?a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R), a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). 【考向 1】平行垂直关系的应用 【例题】已知 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数 k 的值; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数 k 的值. 【评析】利用向量平行的性质:a∥b(b≠0) ?a=λ b?x1=λ x2,y1=λ y2,z1= λ z2 可求解第(1)问的 k 值;利用向量垂直的性质:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+ z1z2=0 建立方程可求第(2)问的 k 值. 【考向 2】向量所成角的应用 →, 【例题】已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB →. b=AC → ,求 c; (1)若|c|=3 且 c∥BC (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. (3)由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a·b=-1. ∴(ka+b)·(ka-2b)=k2a2-ka·b-2b2=2k2+k-10=0, 5 解得 k=2 或 k=- . 2 重点 2:空间两直线的平行与垂直 【要点解读】 证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直, 平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明. 要证明两线垂直,需转化为两线对应的向量垂直,进一步转化为证明两向量的数量 积为零,这是证明两线垂直的基本方法,线线垂直是证明线面垂直,面面垂直的基 础. 【考向 1】平行垂直的判定 【例题】设 a,b 是不相交的两条直线 l1,l2 的方向向量,试判断下列各条件下两条 直线 l1,l2 的位置关系: ? 1 3? ? ? (1)a= 2,-1,3 ,b=?-1, ,- ?; 2 2? ? ( ( ( ) ) ) ? 5? ? ? (2)a= 5,0,-2 ,b=?1,3, ?; 2 ? ? (3)a= -2,1,4 ,b= 3,2,-1 . ( ) 【评析】先考察两个方向向量是否平行或者垂直,将空间几何问题代数化,用直线 的方向向量之间的计算代替传统的空间几何推理,这是空间向量的最基本的作用, 使用得当非常简便. 【考向 2】建立坐标系判定直线位置关系 【例题】如图所示,正方体 ABCD?A′B′C′D′的棱长为 1,E,F 分别是 BC, CD 上的点,且 BE=CF=a(0<a<1),则 D′E 与 B′F 的位置关系是( ) A.平行 C.相交 B.垂直 D.与 a 值有关 解:建立如图所示空间直角坐标系,则 D′(0,0,1),E(1-a,1,0),B′(1,1, 1),F(0,1-a,0), ∴D→ ′E=(1-a,1,-1),B→ ′F=(-1,-a,-1). ∴D→ ′E·B→ ′F=(1-a)×(-1)+1×(-a)+(-1)×(-1)=a-1-a+1= 0.∴D→ ′E⊥B→ ′F,即 D′E⊥B′F.故选 B. 重点 3:直线和平面的平行与垂直 【要点解读】 证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或 证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即 可.这样就把几何的证明问题转化为了数量的计算问题. 【考向 1】判断平行垂直的关系 【例题】如图,在直三棱柱

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