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易学通-重难点一本过高二数学(人教版选修2-1):第五章 空间向量及其应用 含解析


重点列表: 重点 重点 1 重点 2 重点 3 重点 4 重点详解: 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 → 为直线 l ①直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称AB → 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. 的方向向量,与AB ②平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 ? ?n·a=0, α 的法向量,则求法向量的方程组为? ? ?n·b=0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)?v1∥v2. ②设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l?α ?存在两个实数 x,y,使 v=xv1+yv2. ③设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l?α ?v⊥u. ④设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α ∥β ?u1∥u2. 1. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2=0. ②设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l⊥α ?v∥u. 名称 空间向量坐标的基本运算 空间两直线的平行与垂直 直线和平面的平行与垂直 平面和平面的平行与垂直 重要指数 ★★★ ★★★★ ★★★★ ★★★★ ③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2,则 α ⊥β ?u1⊥u2?u1·u2=0. 2.共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a∥b?a=λ b?a1=λ b1,a2=λ b2, a3=λ b3(λ ∈R), a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). 重点 1:空间向量坐标的基本运算 【要点解读】 1.空间向量的坐标表示及运算 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则①a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3); ②λ a=(λ a1,λ a2,λ a3); ③a·b=a1b1+a2b2+a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b?a=λ b?a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R), a⊥b?a·b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). 【考向 1】平行垂直关系的应用 【例题】已知 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)若(ka+b)∥(a-3b),求实数 k 的值; (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求实数 k 的值. 【评析】利用向量平行的性质:a∥b(b≠0) ?a=λ b?x1=λ x2,y1=λ y2,z1= λ z2 可求解第(1)问的 k 值;利用向量垂直的性质:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+ z1z2=0 建立方程可求第(2)问的 k 值. 【考向 2】向量所成角的应用 →, 【例题】已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB →. b=AC → ,求 c; (1)若|c|=3 且 c∥BC (2)求 a 和 b 的夹角的余弦值; (3)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. (3)由(2)知|a|= 2,|b|=

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