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备战2014年高考之2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题分类汇编2:函数 Word版含答案]


备战 2014 年高考之 2013 届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题(大 部分详解)分类汇编 2:函数
一、选择题 1 . (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)定义域为 R 的偶函数 f ( x )

满足对 ?x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2,3] 时,

f ( x) ? ?2 x2 ? 12x ? 18,若函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有三个零
点,则 a 的取值范围是 A. (0, ( ) D. (0,

2 ) 2

B. (0,

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5

6 ) 6
,即

【答案】B【解析】因为函数是偶函数,所以 f (? x ? 2) ? f (? x) ? f (1) ? f ( x) ? f (1)

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) , 所 以 函 数

f ( x) 关 于 直 线 x ? 2 对 称 , 又

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ? f ( x ? 2) , 所 以 f ( x? 4 ) ? f (x, ) 即 函 数 的 周 期 是 4. 由

y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) ? 0 得 , f ( x) ? log y ? g( x) ? log | 1) x? | 1) a (|x ? a (| ,令 ,当
x?0
所以 时,

a ?1 (0,1) g ( x) ? loga (| x | ?1) ? loga ( x ?1) , 过定点 .由图象可知当 时, 不成立.
.因为

0 ? a ?1

f (2) ? ?2 , 所以

函数 y ? f ( x) ? loga (| x | ?1) 在 (0,??) 上至少有 要使 ,所以

三个零点,则有 g (2) ? ?2 ,即 g (2) ? loga 3 ? ?2 ? loga a?2

3 ? a ?2

,即

a2 ?

1 3,

所以

0?a?

3 3 a 的取值范围是 (0, ) ,选 B,如图 ,即 3 3

2 . (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中) )

函数 f ?x ? ? loga ?6 ? ax? 在 ?0,2? 上为减函数,则 a 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?1,3? C. ?1,3? D. ?3,???



【答案】B【解析】当 0 ? a ? 2 时,函数 t ? g (t ) ? 6 ? ax 单调递减,所以要使函数 f ( x ) 为

减函数,所以函数 y ? log a x 为增函数,所以有 a ? 1 且 g (2) ? 6 ? 2a ? 0 ,即 1 ? a ? 3 , 所以 a 的取值范围是 (1,3) ,选 B.
3 . (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)设 f ( x) 是定义在 R 上的

增 函 数 , 且 对 任 意 x , 都 有 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒 成 立 , 如 果 实 数 m, n 满 足 不 等 式

f (m 2 ? 6m ? 21) ? f (n 2 ? 8n) ? 0 ,那么 m 2 ? n 2 的取值范围是

A. (9,49)

B. (13,49)

C. (9,25)

D. (3,7)

【答案】A【解析】对任意 x ,都有 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 恒成立,所以函数 f ( x) 是奇函数,又

因 为 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 所 以 由 f (m ? 6m ? 21) ? f (n ? 8n) ? 0 得 :
2 2

f ( m 2 ? 6m ? 21) ? ? f (n2 ? 8n) ? f ? ? n2 ? 8n ? , 所 以 m 2 ? 6m ? 21 ? ?n 2 ? 8n , 即

? m ? 3? ? ? n ? 4 ?
2

2

? 4 ,所以 m 2 ? n 2 的最大值为 ? r ? 2 ? ,即 49;因此最小值为 ? r ? 2 ? ,
2 2

即 9, m 2 ? n 2 的取值范围是(9,49) ,故选 A。

4 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理科数学)函数

?1 (x 为有理数) f ( x) ? ? ?0 (x 为无理数)



则下列结论错误的是 ( A. f ( x) 是偶函数 C. f ( x) 是周期函数
【答案】 D 【解析】则当

) B.方程 f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 D.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 的解为 x ? 1

x 为有有理数时, ?x , x ? T 也为有理数,则 f (? x)=f ( x ),

f ( x ? T )=f ( x) ;
则当 x 为有无理数时, ?x , x ? T 也为无理数,则 f ( x ? T )=f ( x) ,所以函数 f ( x ) 为偶函 数且为周期函数,所以 A,C 正确.当 x 为有有理数时, f ( f ( x)) ? f (1) ? x ,即 1 ? x ,所以方程

f ( f ( x)) ? x 的解为 x ? 1 ,C 正确.方程 f ( f ( x)) ? f ( x) 可等价变形为 f ( x)=1 ,此时与方程

f ( x)=1 的解为 x 为有理数,故 D 错误,故选 D
5 . (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(四)理科数学试题)已知定义在 R 上的奇

函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 且在区间 ? 0, 2? 上是增函数, 若方程 f ( x) ? m(m ? 0) , 在区间 ? ?8,8? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 = A.-12 B.-8 C.-4 D.4
【 答 案 】 B 【 解 析 】 因 为 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) , 所 以

f ( x ? 4) ? f (? x) ,由 f ( x) 为奇函数,所以函数图象关于直线 x ? ?2 对称且 f (0) ? 0 ,由

所以函数是以 8 为周期的周期函数, 又因为 f ( x) 在 f ( x ? 4) ? ? f ( x) 知 f ( x ? 8) ? f ( x) , 区间[0,2]上是增函数,所以 f ( x) 在区间[?2,0]上也是增函数. 如图 2 所示,那么方程
f ( x) ? m(m>0)在区间[?8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4,不妨设 x1<x2<x3<x4,由

对称性知 选 B.

x1 ? x2 ? ?6 ,即 x1+x2 = ?12,同理:x3+x4 = 4,所以 x1+x2+x3+x4 = ?12+4 = ?8. 2

6 . (云南省昆明市 2013 届高三复习适应性检测数学(理)试题)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶

? x, ) 且 当 x ?[ 0 , 2 ] 函 数 , ?x ? R , 都 有 f ( 2? x ) ? f ( 2 时 , f ( x) ? 2x ? 2 , 若 函 数

g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 1) ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (?1, 9] 内恰有三个不同零点 ,则实数 a 的
取值范围是

1 1 ) ( 3, 7 ) 9 5 1 (C) ( , 1) (1, 3) 9
(A) ( ,
【答案】

(B) (0,

1 ) ( 7, ? ?) 9 1 1 (D) ( , ) ( 5, 3) 7 3

A

7 . ( 云 南 师 大 附 中 2013 届 高 三 高 考 适 应 性 月 考 卷 ( 三 ) 理 科 数 学 试 题 ) 已 知 函 数

??1, x ? 0, 2 f ( x) ? ? 2 则满足不等式 f (3 ? x ) ? f (2 x) 的 x 的取值范围为 ? x ? 1, x ? 0,
A. ? ?3, 0 ? B. (-3,0) C. (-3,1) D. (-3,- 3 )





?3 ? x 2 ? 2 x , 【答案】B【解析】由函数图象可知,不等式的解为 ? 即 x ? (?3 ,0) ,故选 B. ?2 x ? 0 ,
8 . (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足
x f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f (x ? 2), 且 x ? (?1, 0) 时 , f ( x ) ? 2 ?

1 ,则 f (log2 20) ? 5

( A. 1

) B.

4 5

C. ?1

D. ?

4 5

【 答 案 】 C 【 解 析 】 由 f (? x) ? ? f ( x), f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 可知函数为奇函数,且

f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 函 数 的 周 期 为 4 , 4 ? log2 20 ? 5 , 0 ? log 2 20 ? 4 ? 1 , 即
log 2 20 ? 4 ? log 2 5 4
, 所 , 因 以 为

5 5 4 f (log 2 20) ? f (log 2 20 ? 4) ? f (log 2 ) ? ? f ( ? log 2 ) ? ? f (log 2 ) 4 4 5
4 ?1 ? log 2 ? 0 5
, 所 以
4 log 2 4 1 4 1 5 f (log 2 ) ? 2 ? ? ? ?1 5 5 5 5







4 f (log 2 20) ? f (log 2 20 ? 4) ? ? f (log 2 ) ? ?1 ,选 C. 5
9 . (云南省部分名校 (玉溪一中、 昆明三中、 楚雄一中) 2013 届高三下学期第二次统考数学 (理) 试题)若偶函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且在 x ?[0, 1] 时,

f ( x) ? x2 ,则关于 x 的方



10 1 ] 上的根的个数是 f ( x) ? ( ) x 在 [0, 3 10
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】 C
10. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)对于定义在 D 上的函数

f ( x) ,若存在距离为 d 的两条直线 y ? kx ? m1 和 y ? kx ? m2 ,使得对任意 x ? D 都有

kx ? m1 ? f ( x) ? kx ? m2 恒成立,则称函数 f ( x)( x ? D) 有一个宽度为 d 的通道.给出下列
函数:① f ( x) ?

1 2 ,② f ( x) ? sin x ,③ f ( x) ? x ? 1 ,其中在区间 [1, ??) 上通道宽度 x

可以为 1 的函数有: A. ①② B. ①③

C. ① D. ③ 1 1 【答案】B【解析】因为在区间 [1, ??) 上, 0 ? ? 1 ,所以函数 f ( x) ? 在区间 [1, ??) 上 x x
通道宽度可以为 1;当 x ? 1 时, ?1 ? sin x ? 1 ,所以函数 f ( x) ? sin x 的宽度最小为 2;当

x ? 1 时,f ( x) ? x 2 ? 1 表示双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限的部分, 双曲线的渐近线为 y=x,
故可取另一直线为 y=x-2,满足在[1,+∞)有一个宽度为 1 的通道,因此选 B。
11. (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)若 f ( x ) 是偶函数,且当
x ? [0,? ?)时, f ( x ) ? x ? 1, 则f ( x ? 1) ? 0 的解集是(

) C. (1,2) D. (0,2)

A. (-1,0)

B. (-∞,0) (1,2)

【答案】D【解析】 根据函数的性质做出函数 f ( x ) 的图象如图.把函数 f ( x ) 向右平移 1 个

单位,得到函数 f ( x ? 1) ,如图,则不等式 f ( x ? 1) ? 0 的解集为 (0, 2) ,选 D.

12. (云南省昆明一中 2013 届高三新课程第一次摸底测试数学理)函数

f ( x) ? e x ? x ? 2 的零

点所在的区间是 A. (0, )

1 2

B. ( ,1)

1 2

C. (1,2) D. (2,3)

【答案】 A 【解析】函数

f ( x) ? e x ? x ? 2 ,在定义域上单调递增,

f (0) ? 1 ? 2 ? 0 ,

1 3 9 f (1) ? e ? 1 ? 0 , f ( ) ? e ? ? e ? ? 0 ,由跟的存在定理可知函数的零点在区间 2 2 4
1 (0, ) 上选 A. 2
13. (甘肃省兰州一中 2013 届高三上学期 12 月月考数学(理)试题)函数 y ?

x ln x x

的图像

可能是

【答案】B【解析】因为 f ( ? x ) ?

? x ln ? x ?x

?

? x ln x x x ln x x

? ? f ? x ? ,所以函数 y ?

x ln x x

是奇

函数,因此选项 A、C 排除;又 x ? 0 时, y ?

?

x ln x ? ln x ,因此选 B。 x

14. (云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)理科数学)函数

y ? ln |

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为 x





【答案】C【解析】令 f ( x) ? ln |

1 1 |, g ( x) ? ? ? x 2 ? 1 f (2) ? ln | |? 0 x 2 .则 ,排除 A,D.又

g ( x) ? ? ? x 2 ? 1 ? 0

,所以排除 B,选 C.

15. (云南师大附中 2013 届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题)下列函数中既不是 奇函数也不是偶函数的是 A. y ? 2| x| ( )

B. y ? 1g ( x ?

x 2 ? 1)

x ?x C. y ? 2 ? 2

y ? 1g
D.

1 x ?1

【答案】D【解析】根据奇偶性定义知,A、C 为偶函数,B 为奇函数,D 定义域为 {x | x ? ?1}

不关于原点对称,故选 D.
16 . ( 甘 肃 省 河 西 五 市 部 分 普 通 高 中 2013 届 高 三 第 二 次 联 合 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 )

?kx ? 2( x ? 0) f ( x) ? ? ,则下列关于 y ? f [ f ( x)] ? 2 的零点个数判断正确的是( ? ln x ( x ? 0 ) ?
A.当 k=0 时,有无数个零点 C.当 k>0 时,有 3 个零点 【答案】A B.当 k<0 时,有 3 个零点 D.无论 k 取何值,都有 4 个零点



17. ( 【解析】 云南省玉溪一中 2013 届高三上学期期中考试理科数学) 已知对数函数 f ( x) ? log a x

是增函数,则函数 f (| x | ?1) 的图象大致是(



A

B

C

D

f (| x | ?1) 为偶函数。当 x ? 0 时, 【答案】B【解析】因为函数为增函数,所以 a ? 1 ,又函数

f (| x | ?1) ? f ( x ? 1) ? log a ( x ? 1) ,当 x ? 0 时, f (| x | ?1) ? f (? x ? 1) ? log a (? x ? 1) ,选 B.
18. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,

当 x≤0 时,f(x)=2x -x,则 f(1)= A.3 B.-1 C.1

2

D.-3
2

【答案】D【解析】因为当 x≤0 时,f(x)=2x -x,所以

f ? ?1? ? 3 ,又因为 f(x)是定义

在 R 上的奇函数,所以 f ?1? ? ?3 。
19 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 已 知 偶 函 数

f ( x)对?x ? R, 都有f ( x ? 2) ? ? f ( x), 且当x ? [?1, 0]时 f ( x) ? 2 x , 则f (2013) =
A.1 B.—1 C.

1 2

D. ?

1 2

【答案】C【解析】由 f ( x ? 2) ? ? f ( x ) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) ,所以函数的周期是 4,所以

f (2013) ? f (4 ? 503 ? 1) ? f (1) ? f (?1) ? 2 ?1 ?

1 ,选 C. 2

?|1gx |, 0 ? x ? 10, ? 20. (甘肃省 2013 届高三第一次诊断考试数学(理)试题)已知函数 f (x) =? 1 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
若 a,b,c 互不相等,f(a)=f(b)=f(c) ,则 abc 的取值范围是 A. (1,10) B. (5,6) C. (10,12) D. (20,24)
【答案】【解析】因为 a,b,c 互不相等,不妨设 a ? b ? c ,由

f ? a ? ? f ?b? ,得

? lg a ? lg b ,即 ab ? 1 ,所以 abc ? c ,由图显然: 10 ? c ? 12 ,因此选 C。

21. (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)已知在函数 y ?| x | ( x ? [?1,1] )的

图象上有一点 P (t ,| t |) ,该函数的图象与 x 轴、直线 x=-1 及 x=t 围成图形(如图阴影部 分)的面积为 S,则 S 与 t 的函数关系图可表示为( )

【答案】 B 【解析】 由题意知, 当 ?1 ? t ? 0 时, 面积原来越大, 但增长的速度越来越慢.当 t ? 0

时,S 的增长会越来越快,故函数 S 图象在 y 轴的右侧的切线斜率会逐渐增大,选 B.
22. ( 【解析】甘肃省天水市一中 2013 届高三上学期第三次考试数学理试题)定义在 R 上的奇函

数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0,2] 上是增函数,则( (A) f (2) ? f (5) ? f (8) (C) f (5) ? f (2) ? f (8) (B) f (5) ? f (8) ? f (2) (D) f (8) ? f (2) ? f (5)



【答案】B【解析】因为 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x ) 是周期函数,且周期为 8,所以

f (8) ? f (0), f (5) ? ? f (1) ? f (?1) ,因为奇函数 f ( x) 在区间 [0,2] 上是增函数,所以函数 f ( x) 在区间 [?2, 2] 上是增函数,又 ?2 ? ?1 ? 0 ? 2 ,所以 f (5) ? f (8) ? f (2) 。选 B。
23. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中) )

已知幂函数 f ( x) 的图像经过点(9,3) ,则 f (2) ? f (1) =( A.3 B. 1 ? 2 C. 2 ? 1 D.1



【答案】 C 【解析】 设幂函数为

2? ? ,? ? 由 f9 即3 ? 3, 所以 2? ? 1 ) ( 9? 3 ? , f ( x) ? x? ,

1 , 2

所以 f ( x) ? x ?
二、填空题

1 2

x ,所以 f (2) ? f (1) ? 2 ?1 ,选 C.

24. (云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考理科数学)已知函数

? x ? 1, x ? 0 ,则 f ( x) ? ? x ?e , x ? 0

f ( f (0) ? 3) ?
【 答 案 】



?1 【 解 析 】

f ( 0? e )0 ?

,1 所 以

f (0) ? 3 ? 1 ? 3 ? ?2 ,

f ( f (0) ? 3) ? f (?2) ? ?2 ? 1 ? ?1 .
25. (云南省部分名校 2013 届高三第一次统一考试理科数学(玉溪一中、昆明三中、楚雄一中) )

x ? ?2 设函数 f ? x ? ? ? ? ?log 2 x

? x ? 0? ,函数 y ? ? x ? 0?

f? ? f ? x ?? ? ? 1 的零点个数为__________.

【答案】2【解析】令 t ? f ( x) ,则 y ? f ? ? f ? x? ? ? ? 1 ? f (t ) ? 1 ,由 y ? f (t ) ? 1 ? 0 ,得

f (t ) ? 1 。若 t ? 0 ,由 f (t ) ? 1 得 2t ? 1 ,所以 t ? 0 。若 t ? 0 ,由 f (t ) ? 1 得 log 2 t ? 1,
所以 t ? 2 。所以函数的零点个数为 2 个。
26 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 设 函 数

f ( x) ?

x | x | ?a | x | ? x ? a 是奇函数,则 a= cos x



【答案】 a ? 0 【解析】函数 f ( x) 为奇函数,所以有 f (0) ? 0 ,解得 a ? 0 。 27. ( 【解析】贵州省四校 2013 届高三上学期期末联考数学(理)试题)对于定义在 R 上的函数

f ( x ) ,若实数 x 0 满足 f ( x 0 ) = x 0 ,则称 x 0 是函数 f ( x ) 的一个不动点,若二次函数

f ( x ) = x 2 + 2ax + a 2 没有不动点,则实数a的取值范围是
【答案】 ( , ??) 【解析】由 x ? 2ax ? a ? x 得 x
2 2



1 4

2

? (2a ? 1) x ? a 2 ? 0 ,因为二次函数没
2 2

有不动点,所以方程 x ? (2a ? 1) x ? a ? 0 无解,即判别式 ? ? (2a ? 1) ? 4a ? 0 ,即
2 2

?4a ? 1 ? 0 ,所以 a ?
三、解答题

1 1 ,即实数a的取值范围是 ( , ??) 。 4 4

28 . ( 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 数 学 理 ) 已 知 函 数

f ( x) ? lg

2? x . 2? x

(I)求 f ( x) 的定义域,并判断其单调性; (II)解关于 x 的不等式 f [ x( x ? 1)] ? 0.
【 答 案 】


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