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湖北省八市2013年高三年级三月调考数学理科答案


2013 年湖北省八市高三三月联考

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题: (每小题 5 分,10 小题共 50 分) 1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.B 7.D 8.C 9.A 10.B 二、填空题: (每小题 5 分,5 小题共 25 分) 必考题:11.135 12. 29π 13.①②③ 14.(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5 选考题:15.30? 16.9 或-11 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) ?? ? 17. (Ⅰ)∵ m 与 n 共线 ∴

3 C C C ? cos ( 3 sin ? cos ) 2 2 2 2
? 3 1 π 1 sin C ? (1 ? cos C ) ? sin(C ? ) ? 2 2 6 2 π 得 sin(C ? ) ? 1 6
…………………………3 分 …………………………4 分

∴C=

(Ⅱ)方法 1:由已知 a ? c ? 2b
2 2

? 3

……………………………6 分 (1)
2

根据余弦定理可得: c ? a ? b ? ab (2) ……………………8 分 (1)(2)联立解得: b(b ? a) ? 0 、 ………………………………………10 分

π b ? 0,?b ? a, 又. C= ,所以△ ABC 为等边三角形, ………………12 分 3
方法 2: 由正弦定理得:

2sin A cos C ? sin C ? 2sin B ? 2sin( A ? C) 2sin A cos C ? sin C ? 2sin A cos C ? 2cos Asin C

……………………8 分 ……………………………10 分

1 π ∴ cos A ? , ∴在△ ABC 中 ∠ A ? 2 3 π 又. C= , 所以 △ ABC 为等边三角形, ……………………………12 分 3 π 方法 3:由(Ⅰ)知 C= ,又由题设得: a ? c ? 2b , 3 在 ?ABC 中根据射影定理得: a ? c ? 2(a cos C ? c cos A) ? a ? 2c cos A

……………………8 分

1 ? ? cos A ? ,? A ? ……………………………10 分 2 3 π 又. C= , 所以 △ ABC 为等边三角形, ……………………………12 分 3
高三数学(理科)答案第 1 页(共 5 页)

18.(Ⅰ )∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列 ∴ (1 ? 4d )2 ? (1 ? d )(1 ? 13d ) ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 又∵ b2 ? a2 ? 3,

即d ? 2

……………………………2 分 ……………………………4 分

b3 ? a5 ? 9 .
……………………………6 分 ①

∴ q ? 3, b1 ? 1, bn ? 3n ?1 (Ⅱ )∵

c1 c2 c ? ? … ? n ? an ?1 bn b1 b2 c ∴ 1 ? a2 即 c1 ? b1a2 ? 3 b1 c c c 又 1 ? 2 ? … ? n ?1 ? an (n ≥ 2) bn ?1 b1 b2 c ①-②: n ? an ?1 ? an ? 2 bn

② ……………………………8 分

∴ cn ? 2bn ? 2 ? 3n?1 (n ≥ 2) ∴

(n ? 1 ) ? 3 cn ? ? n?1 ( ?2 ? 3 n ≥ 2 )
? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? 33 ? ? ? 32012 )
? 3? 2? 3(1 ? 32012 ) ? 32013 1? 3

……………………………10分

则 c1 ? c2 ? c3 ? … ?c2013 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? … ?2 ? 32013?1

……………………………12 分

19.方法一: (Ⅰ)如图,分别以 DA, DC, DD1 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D ? xyz ,
z D1 A1 B1 C1

则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), D1 (0,0,1)

1 1 易得 E ( ,1, 0), F (0, , 0) ………………2 分 2 2 由题意得 D1E ? AF , D1E ? AG ,设 G(1,1, t ) ???? ? 1 ??? ? ???? 1 又 D1 E ? ( ,1, ?1), AF ? (?1, , 0), AG ? (0,1, t ), 2 2 ???? ??? ? ? ???? ???? ? 1 则由 D1E ? AF ? 0, D1E ? AG ? 0 得 t ? , 2
∴ BG ?

1 2

,得 G 为 BB1 的四等分点.………………………6 分
A x

D

F G B C E

y

(Ⅱ)易知平面 AFE 的一个法向量为 m ? (0,0,1) ,设平面 AFG 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

?

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1 ? ??? ? ? ?? x ? 2 y ? 0 ? AF ? n ? 0 ? ? ? 则 ? ???? ? ,得 ? ,取 x ? ?1 ,得 n ? (?1, ?2,4) , ……………10 分 ? AG ? n ? 0 ? y?1 z ?0 ? ? ? 2
∴ cos ? m, n ??

? ?

4 21 4 21 ,∴二面角 G ? AF ? E 的平面角余弦值为 .12 分 21 21 1? 21

4

?

方法二: (Ⅰ)∵ D1E 在平面 ABCD 内的射影为 DE , ,且四边形 ABCD 为正方形, E , F 为中 点, ∴ D1E ? AF 同理, D1E 在平面 ABB1 A 内的射影为 A B ,则 AG ? A1B 1 1

1 ,得 G 为 BB1 的四等分点. …………………6 分 2 (Ⅱ)∵ BG ? 平面 AEF ,过 B 点作 BH ? AF ,垂足为 H ; 连结 HG ,则 ?GHB 为二面角 G ? AF ? E 的平面角;…………………………8 分 AD BH 2 ? 由 ?DAF ? ?HBA ,得 ,解得 BH ? AF AB 5 1 BG 5 ∴在 Rt ?GHB 中, tan ?GHB ? , ? 2 ? 2 HB 4 5
由△ A AB ~△ ABG , ∴ BG ? 1

4 21 4 21 ;∴二面角 G ? AF ? E 的平面角余弦值为 . …12 分 21 21 20. ( Ⅰ ) 因 为 小 弹 子 落 入 第 n 层 的 第 m 个 通 道 的 次 数 服 从 二 项 分 布 , 则 :
∴ cos ?GHB ?

1 1 , P(2,1) ? C10 ( ) 0( ) 1 2 2 1 1 1 P(3,2) ? C2 ( )1 ( )1 2 2 3 11 1 2 P(4,2) ? C3 ( ) ? 2 2 8 m Cn ??1 P ( n, m ) ? n ?1 2 1 (Ⅱ)依题: ? ? 1, 2,3 .
2

……………………………1 分 ……………………………3 分 ……………………………4 分 ……………………………6 分

由(Ⅰ)知, p (? ? 1) ? p (6,3) ? p (6, 4) ? 2C5 ( ) ( ) ?
2 3

1 2

1 2

20 5 ? 32 8

所以 ? 的分布列如下表:

10 5 1 1 1 p(? ? 2) ? p(6, 2) ? p(6,5) ? 2C5 ( )( ) 4 ? ? 2 2 32 16 1 1 2 1 p(? ? 3) ? p(6,1) ? p(6, 6) ? 2C50 ( ) 0 ( )5 ? ? 2 2 32 16
高三数学(理科)答案第 3 页(共 5 页)

……………………9 分

?
P

1

2

3

20 32

10 32

2 32

……………………11 分 20 10 2 23 故 E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? ……………………………12 分 32 32 32 16 y ?1 y ?1 21. .(Ⅰ )由题知: ? ?m x x 化简得: ?mx2 ? y 2 ? 1( x ? 0) ……………………………2 分 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; 当 m ? ?1 时 轨迹 E 表示以 (0, 0) 为圆心半径是1的圆,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; 当 ?1 ? m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 x 轴上的椭圆,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; 当 m ? 0 时 轨迹 E 表示焦点在 y 轴上的双曲线,且除去 (0,1), (0, ?1) 两点; ……………………………6 分 (Ⅱ )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,则可设 l : x ? ty ? 1 ,

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2ty ? 1 ? 0 2 ?2t ?1 y1 ? y2 ? 2 , y1 y2 ? 2 , ………………………………9 分 t ?2 t ?2
代入 又因为 M 、Q 不重合,则 x1 ? x2 , y1 ? ? y2

y1 ? y2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2 y ( x ? x1 ) ty ( y ? y ) 2ty1 y2 得 x ? x1 ? 1 2 ? ty1 ? 1 ? 1 2 1 ? ?1 ? 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2 故直线 MQ 过定点 (2,0) . ……………………………13 分

Q MQ 的方程为 y ? y1 ?

解二:设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q( x2 , ? y2 ) ( x1 ? x2 ? 0) 依题直线 l 的斜率存在且不为零,可设 l : y ? k ( x ? 1)

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 整理得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 4k 2 2k 2 ? 2 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , ……………………………9 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 y ?y Q MQ 的方程为 y ? y1 ? 1 2 ( x ? x1 ) 令 y ? 0 , x1 ? x2 y ( x ? x1 ) k ( x1 ? 1)( x2 ? x1 ) 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? ? ?2 得 x ? x1 ? 1 2 y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ? 2) x1 ? x2 ? 2 ……………………………13 分 ?直线 MQ 过定点 (2,0)
代入 22.(Ⅰ )由题设,函数的定义域为 (?1, ??) ,且 f ?( x) ?

1 ?m x ?1 高三数学(理科)答案第 4 页(共 5 页)

1? x 1 所以 f ?(1) ? 0 ,得 m ? ? ,此时. f ?( x ) ? 2( x ? 1) 2 当 x ? (?1,1) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上单调递增;

当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上单调递减. 1 …………………………4 分 ? 函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,故 m ? ? 2 (Ⅱ )令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? 则 h?( x) ? f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) , x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) . x1 ? x2
…………………………7 分

因为函数 f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 上可导,则根据结论可知:存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使得 f ?( x0 ) ? 又 f ?( x) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

x0 ? x 1 1 1 ? ? ? m ,? h?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? x ?1 x ? 1 x0 ? 1 ( x ? 1)( x0 ? 1)

?当 x ? ( x1 , x0 ) 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递增,? h( x) ? h( x1 ) ? 0 ;
当 x ? ( x0 , x2 ) 时, h?( x) ? 0 ,从而 h( x) 单调递减,?h( x) ? h( x2 ) ? 0 ; 故对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) …………………………9 分 (Ⅲ) Q ?1 ? ?2 ? 1 ,且 ?1 ? 0 , ?2 ? 0 , x2 ? x1 ? ?1
? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ? x1 (?1 ? 1) ? ?2 x2 ? ?2 ( x2 ? x1 ) ? 0 ? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x1

同理? ?1 x1 ? ?2 x2 ? x2 ??1 x1 ? ?2 x2 ? ( x1 , x2 ) ,

…………………………12 分

? 由(Ⅱ)知对任意 x ? ( x1 , x2 ) ,都有 f ( x) ? g ( x) ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? (?1 x1 ? ?2 x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) . x1 ? x2
…………………………14 分

命题:荆门市教研室 鄂州市教研室 十堰市教科院 审校:仙桃市教科院

方延伟 林春宝 程世平 曹时武

龙泉中学 鄂州高中

王萍 崔东林 吕长征

高三数学(理科)答案第 5 页(共 5 页)


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