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高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试


推理与证明
考纲导读 (一)合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 (二)直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。 (三)数学归纳法 了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 高考导航 1.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。 2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。

第 1 课时
基础过关

合情推理与演绎推理

1. 推理一般包括合情推理和演绎推理; 2.合情推理包括 和 ; 归纳推理:从个别事实中推演出 ,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过 程是: 、 、 . 类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也 或 ,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程 是: 、 、 . 3.演绎推理:演绎推理是 ,按照严格的逻辑法则得到的 推理过程;三段论常 用格式为:①M 是 P,② ,③S 是 P;其中①是 ,它提供了一个个一般性原理;② 是 ,它指出了一个个特殊对象;③是 ,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 4.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果,以及个人 的经验和直觉等推测某些结果的推理过程, 归纳和类比是合情推理常用的思维方法; 在解决问题的过程中, 合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的 事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程. 典型例题
2 ? 2 ? 2 ? 例 1. 已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?

3 3 2 ? 2 ? 2 ? ; sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 2 2

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题:

3 ( * )并给出( * )式的证明. 2 3 2 2 ? 2 ? 解:一般形式: sin ? ? sin (? ? 60 ) ? sin (? ? 120 ) ? 2
________________________________________=
1

证明:左边 =

1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 120? ) 1 ? cos(2? ? 240? ) ? ? 2 2 2

3 1 ? [cos 2? ? cos( 2? ? 120 ? ) ? cos( 2? ? 240 ? )] 2 2 3 1 ? ? ? = ? [cos 2? ? cos 2? cos 120 ? sin 2? sin 120 ? cos 2 cos 240 ? sin 2? sin 240? ] 2 2
= =

3 3 1 1 3 1 3 ? [cos2? ? cos 2? ? sin 2? ? cos 2? ? sin 2? ] = ? 右边 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2

(将一般形式写成 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?

3 , 2

sin 2 (? ? 240? ) ? sin 2 (? ? 120? ) ? sin 2 ? ?
'

3 等均正确。) 2

变式训练 1:设 f 0 ( x) ? cos x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1' ( x),

, fn?1 ( x) ? fn' ( x) ,n∈N,则 f 2008 ( x) ?

解: cos x ,由归纳推理可知其周期是 4 例 2. 在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形, 按图所标边长,由勾股定理有: c ? a ? b .
2 2 2

设想正方形换成正方体, 把截线换成如图的截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O—LMN, 如果用 s1 , s2 , s3 表示三个侧面面积, s4 表示截面面积,那么你类比得到的结论是 .

2 2 2 解: S12 ? S 2 。 ? S3 ? S4

变式训练 2:在△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆的半径 r ? 推广到空间,写出相类似的结论。 答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形, 所以在空间中我们可以选取有 3 个面两两垂直的四面体来考虑。 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A—BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c, 则此三棱锥的外接球的半径是 r ?
a 2 ? b2 ? c2 。 2

a2 ? b2 ,把上面的结论 2

2 a12 a2 例 3. 请你把不等式“若 a1 , a 2 是正实数,则有 ? ? a1 ? a2 ”推广到一般情形,并证明你的结论。 a2 a1

答案: 推广的结论:若 a1 , a2 ,?, an 都是正数,

2

2 2 2 an an a12 a2 ? ?? ? ? a1 ? a2 ? ?an a 2 a3 an?1 a1

证明: ∵ a1 , a2 ,?, an 都是正数



a12 a2 ? a 2 ? 2a1 , 2 ? a1 ? 2a2 a2 a1

???,

2 an a2 ?1 ? an ? 2an?1 , n ? a1 ? 2a n an a1

2 2 2 an an a12 a2 ? ?? ? ? a1 ? a2 ? ?an a 2 a3 an?1 a1

变式训练 3:观察式子: 1 ? A、 1 ? C、 1 ?
1 22 ? 1 32 ?? 1 n2 ? 1 2n ? 1

1 22

?

3 1 1 5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?,则可归纳出式子为( 2 3 4 2 3 2 3 4



B、 1 ? D、 1 ?

1 22

?

1 32

??

1 n2

?

1 2n ? 1

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n ? 1 n

1 2
2

?

1 3
2

??

1 n
2

?

2n 2n ? 1

答案:C。解析:用 n=2 代入选项判断。 例 4. 有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误的,这是因为
?

( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。 变式训练 4:“? AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,? AC,BD 互相垂直且平分。 ”补充以上推理的大前提 是 。 答案:菱形对角线互相垂直且平分

第 2 课时
基础过关

直接证明与间接证明⑴

1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明; 直接证明的两种基本方法——分析法和综合法 ⑴ 综合法 —— ;⑵分析法 —— ; 2. 间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证 法即从 开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫 做反证法(归谬法).

典型例题 例 1.若 a, b, c 均为实数,且 a ? x2 ? 2 y ? , b ? y 2 ? 2 z ? , c ? z 2 ? 2 x ?
2 3

?

?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0。 答案:(用反证法) 假设 a, b, c 都不大于 0,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则有 a ? b ? c ? 0 ,
3

而 a ? b ? c ? ( x 2 ? 2 y ? ) ? ( y 2 ? 2 z ? ) ? ( z 2 ? 2 x ? ) ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? ( ?
2 3 6 2

?

?

?

?

?
3

?

?
6

)?3

= ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( z ? 1)2 ? ? ? 3 ∴ ( x ? 1)2 , ( y ? 1)2 , ( z ? 1)2 均大于或等于 0, ? ? 3 ? 0 ,∴ a ? b ? c ? 0 ,这与假设 a ? b ? c ? 0 矛盾,故 a, b, c 中至少 有一个大于 0。 变式训练 1:用反证法证明命题“ a , b ? N , ab 可以被 5 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 5 整除。”那么假 设的内容是 答案:a,b 中没有一个能被 5 整除。解析:“至少有 n 个”的否定是“最多有 n-1 个”。 例 2. △ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列, 求证:
1 1 3 。 ? ? a?b b?c a?b?c 1 1 3 a?b?c a?b?c ? ? ? ?3。 ,即需证 a?b b?c a?b b?c a?b?c

答案:证明:要证 即证

c a ? ?1。 a?b b?c

又需证 c(b ? c) ? a(a ? b) ? (a ? b)(b ? c) ,需证 c 2 ? a 2 ? ac ? b2 ∵△ABC 三个内角 A、B、C 成等差数列。∴B=60°。 由余弦定理,有 b2 ? c2 ? a 2 ? 2ca cos60? ,即 b2 ? c2 ? a 2 ? ac 。 ∴ c 2 ? a 2 ? ac ? b2 成立,命题得证。 变式训练 2:用分析法证明:若 a>0,则 a 2 ? 答案:证明:要证 a 2 ? 只需证 a 2 ?
1 a2 ?2? a? 1 a2 ? 2 ? a? 1 ?2, a 1 a2 ? 2 ? a? 1 ?2。 a

1 ? 2。 a 1 a
2

∵a>0,∴两边均大于零,因此只需证 ( a 2 ? 只需证 a 2 ?
1 a
2

? 2) 2 ? ( a ?

1 ? 2 )2 a

? 4 ? 4 a2 ? ?

1 a
2

? a2 ?

1 ? 2 ? 2 ? 2 2 (a ? ) , a a
2

1

只需证 a 2 ? 即证 a2 ?
1 a2

1 a2

2 1 1 1 1 ( a ? ) ,只需证 a 2 ? ? (a 2 ? 2 ? 2) , 2 2 a 2 a a

? 2 ,它显然成立。∴原不等式成立。
2 2

例 3.已知数列 ?an ? , an ? 0 , a1 ? 0 , an?1 ? an?1 ? 1 ? an (n ? N ? ) . 记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? an . Tn ? 求证:当 n ? N 时,
?

1 1 1 ? ??? . 1 ? a1 (1 ? a1 )(1 ? a2 ) (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ?(1 ? a n )

4

(1) an ? an ?1 ; (2) S n ? n ? 2 ; (3) Tn ? 3 。 解:(1)证明:用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,因为 a2 是方程 x ? x ? 1 ? 0 的正根,所以 a1 ? a2 .
2

②假设当 n ? k (k ? N* ) 时, ak ? ak ?1 ,
2 因为 ak ?12 ? ak ? (ak ?22 ? ak ?2 ?1) ? (ak ?12 ? ak ?1 ?1)

? (ak ?2 ? ak ?1 )(ak ?2 ? ak ?1 ? 1) ,
所以 ak ?1 ? ak ?2 . 即当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 也成立. 根据①和②,可知 an ? an?1 对任何 n ? N 都成立.
*

, 2, , n ? 1 ( n ≥ 2 ), (2)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ?1 ? ak 2 , k ? 1
2 得 an ? (a2 ? a3 ?

? an ) ? (n ?1) ? a12 .

2 因为 a1 ? 0 ,所以 Sn ? n ?1 ? an . 2 由 an ? an?1 及 an?1 ? 1 ? an ? 2an?12 ? 1得 an ? 1 ,

所以 Sn ? n ? 2 . (3)证明:由 ak ?12 ? ak ?1 ? 1 ? ak 2 ≥ 2ak ,得

a 1 ≤ k ?1 (k ? 2, 3, , n ? 1 ,n ≥ 3) 1 ? ak ?1 2ak
所以

1 (1 ? a3 )(1 ? a4 ) 1 (1 ? a2 )(1 ? a3 )

(1 ? an )



2

n n?2

a

a2

(a ≥ 3) ,

于是

(1 ? an )



2

n?2

an a 1 ? nn ? n?2 (n ≥ 3) , 2 ?2 (a2 ? a2 ) 2 2
? 3,

故当 n ≥ 3 时, Tn ? 1 ? 1 ?

1 ? 2

?

1 2
n?2

又因为 T1 ? T2 ? T3 , 所以 Tn ? 3 .

5

推理与证明综合练习
1.考察下列一组不等式: 23 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 52 , 式成为推广不等式的特例,则推广的不等式可以是 2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 ,an ?1 ? 的值为 3. 已知 f ( x ? 1) ? .

2 4 ? 54 ? 23 ? 5 ? 2 ? 53 ,
. , a1 ? a2 ? a3 ?

25 ? 55 ? 23 ? 52 ? 2 2 ? 53 ,?? .将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等
1 ? an * (n?N ) , 则 a3 的值为 1 ? an

? a2007

2 f ( x) ,猜想 f ( x) 的表达式为( ) , f (1) ? 1 (x ? N *) f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x ) ? x ; B. f ( x ) ? ; C. f ( x ) ? ; D. f ( x) ? . 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1 ? ? 4. 某纺织厂的一个车间有技术工人 m 名( m ? N ),编号分别为 1、2、3、??、 m ,有 n 台( n ? N ) 织布机,编号分别为 1、2、3、??、 n ,定义记号 ai j :若第 i 名工人操作了第 j 号织布机,规定 ai j ? 1 ,
否则 ai j ? 0 ,则等式 a41 ? a42 ? a43 ? A、第 4 名工人操作了 3 台织布机; C、第 3 名工人操作了 4 台织布机; 5. 已知 f ( n ) ? 1 ?

? a4n ? 3 的实际意义是(



B、第 4 名工人操作了 n 台织布机; D、第 3 名工人操作了 n 台织布机.

1 1 ? ? 2 3

?

3 5 1 ( n ? N *) ,计算得 f (2) ? , f (4) ? 2 , f (8) ? , f (16) ? 3 , 2 2 n

f (32) ?

7 ,由此推测:当 n ? 2 时,有 2

6. 观察下图中各正方形图案, 每条边上有 n (n ? 2) 个圆圈, 每个图案中圆圈的总数是 Sn , 按此规律推出: 当 n ? 2 时, Sn 与 n 的关系式

??

n?2 S ?4
2

n ?3 S ?8
2

n ? 4 S ? 12
2 2

7.观察下式:1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,?,则可得出一般结论: 8.函数 f ( x ) 由下表定义:

.

x
f ( x)

2
1

5

3
3

1
4

4
5

2

若 a0 ? 5 , an?1 ? f (an ) , n ? 0,1, 2,

,则 a2007 ?



9.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成 如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠 宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 , 使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 , 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______颗珠宝;则前 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 _ 颗.(结果用 n 表示)
6

图1

图2 图3 图4 第5列 7

10.将正奇数按下表排成 5 列 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 15 第2列 1 13 17 ?? 第3列 3 11 19 27 第4列 5 9 21 25 23

那么 2003 应该在第 行,第 列。 11.如右上图,一个小朋友按如图所示的规则练习数数,1 大拇指,2 食指,3 中指,4 无名指,5 小指,6 无名指, ... ,一直数到 2008 时,对应的指头是 (填指头的名称). 12.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??中,第 25 项为_____. 13.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 n 个图中有 个小正方形.

14. 同样规格的黑、 白两色正方形瓷砖铺设的若干图案, 则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖___________ 块.(用含 n 的代数式表示)

15.如图所示,面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为

ai ?i ? 1,2,3,4? ,此四边形内任一点 P 到第 i 条边的距离记为 hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S ? ? ? ? k ,则. ? ? ihi ? ? 类比以上 1 2 3 4 k i ?1

性质,体积

为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si ?i ? 1,2,3,4? , 此三棱锥内任一点 个面的距离记为 Hi ? i ? 1, 2,3, 4? ,若 A.
4 S1 S 2 S3 S 4 ? ? ? ? K , 则 ? ? iH i ? ? ( B ) 1 2 3 4 i ?1

Q 到第 i

4V K

B.

3V K

C.

2V K

D.

V K

16.设 O 是

7

ABC 内一点, ABC 三边上的高分别为 hA , hB , hC , O 到三边的距离依次为 la , lb , lc , 则

la lb lc ? ? ? __ hA h h B C

_______,类比到空间,O 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别为 hA , hB , hC , hD ,O 到这四个 面的距离依次为 la , lb , lc , ld ,则有_ __

1 1 1 由此类比: 三棱锥 S ? ABC ? 2? 2, 2 h a b 中的三条侧棱 SA 、 SB 、 SC 两两垂直,且长度分别为 a 、 b 、 c ,设棱锥底面 ABC 上的高为 h ,
17. 在 Rt?ABC 中, 两直角边分别为 a 、 设 h 为斜边上的高, 则 b, 则 . 18、若数列 ?a n ? 是等差数列,对于 bn ?

1 (a1 ? a2 ? ? ? an ) ,则数列 ?bn ?也是等差数列。类比上述性质, n
时,数列 ?d n ? 也是等比数列。 个

若数列 ?c n ?是各项都为正数的等比数列,对于 d n ? 0 ,则 d n =

19. 已知△ABC 三边 a, b, c 的长都是整数, 且a≤b≤c, 如果 b=m (m ? N*) , 则这样的三角形共有 (用 m 表示).

20.如图的三角形数阵中,满足:(1)第 1 行的数为 1;(2)第 n(n≥2)行首尾两数均为 n,其余的数 都等于它肩上的两个数相加.则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是________(用 n 表示). 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 21.在△ABC 中, sin A ?

sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状并证明. cos B ? cos C
2 2 2

22. 已知 a、 b、 c 是互不相等的非零实数.若用反证法证明三个方程 ax +2bx+c=0, bx +2cx+a=0, cx +2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根.应假设

23. ?ABC 中,已知 3b ? 2 3a sin B ,且 cos A ? cos C ,求证: ?ABC 为等边三角形。

24.如图,P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C : y ? 3x( y ? 0)
2

上的 n 个点,点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3? n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.
8

推理与证明章节测试题答案
1. an ? bn ? ambk ? ak bm (a, b ? 0, m ? k ? n, m, n, k ? N * ) 2. ? ,3

1 2

3. B.

4. A

5. f (2 ) ?
n

2n ? 1 (n ? N * ) 2
8.4

6. n2 ? (n ? 2)2 9.

7. n ? (n ?1) ? 10.251,3 13.

? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 , n ? N *

n(n ? 1)(4n ? 1) n? N* 6

11.食指

12.在数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??中,第 25 项为__7____. 14. 4n ? 8 15、B 提示:平面面积法类比到空间体积法

n2 ? 3n ? 2 2

16. 1. 提示:平面面积法类比到空间体积法 18、 n c1 ? c2

1 1 1 1 ? 2? 2? 2 2 h a b c 1 cn , n ? N * 提示:等差数列类比到等比数列,算术平均数 bn ? (a1 ? a2 ? ? ? an ) 类比到几何平 n
17..

均数 dn ? n c1 ? c2 19.

cn , n ? N *
20.

m(m ? 1) 2

n2 ? n ? 2 2

21.解:? sin A ?

sin B ? sin C ,A? B?C ?? cos B ? cos C

? sin A cos B ? sin A cosC ? sin(A ? C ) ? sin(B ? C ) ? sin C cos A ? sin B cos A ? (sin C ? sin B) cos A ? 0
? sin C ? sin B ? 0,? cos A ? 0 ? A ?

?
2

所以三角形 ABC 是直角三角形 22. 三个方程中都没有两个相异实根 证明:假设三个方程中都没有两个相异实根, 2 2 2 则Δ 1=4b -4ac≤0,Δ 2=4c -4ab≤0,Δ 3=4a -4bc≤0. 2 2 2 2 2 2 相加有 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ac+a ≤0, 2 2 2 (a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0. 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 方法总结:反证法步骤—假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立. 凡是“至少” 、 “唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法. 23.解: 分析:由 3b ? 2 3a sin B ? 3 sin B ? 2 3 sin A sin B ? sin A ? 由 cos A ? cos C ? A ? C



3 ? 2? ? A? , 2 3 3

?A?C ?

?

3

?B

所以 ?ABC 为等边三角形
9

2 24.如图, P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 、?、 P n ( xn , y n ) (0 ? y1 ? y 2 ? ? ? y n ) 是曲线 C : y ? 3x( y ? 0)

上的 n 个点,点 Ai (ai ,0) ( i ? 1,2,3? n )在 x 轴的正半轴上,且 ?Ai ?1 Ai Pi 是正三角形( A0 是坐标原点) . (1)写出 a1 、 a2 、 a3 ; (2)求出点 An (a n ,0) ( n ? N? )的 横坐标 an 关于 n 的表达式并证明. 解:(Ⅰ) a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 12; ??????.6 分 (2)依题意,得 x n ?

a n ?1 ? a n a ? a n ?1 2 , yn ? 3 ? n ,由此及 yn ? 3 ? xn 得 2 2

( 3?

a n ? a n ?1 2 3 ) ? (a n ? a n ?1 ) , 2 2

即 (an ? an?1 ) 2 ? 2(an?1 ? an ) . 由(Ⅰ)可猜想: an ? n(n ? 1), (n ? N ? ) . 下面用数学归纳法予以证明: (1)当 n ? 1 时,命题显然成立; (2)假定当 n ? k 时命题成立,即有 an ? k (k ? 1) ,则当 n ? k ? 1 时,由归纳假设及

(ak ?1 ? ak )2 ? 2(ak ? ak ?1 )
得 [ak ?1 ? k (k ? 1)]2 ? 2[k (k ? 1) ? ak ?1 ] ,即

(ak ?1 )2 ? 2(k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? [k (k ? 1)] ? [(k ? 1)(k ? 2)] ? 0 ,
解之得

ak ?1 ? (k ? 1)(k ? 2) ( ak ?1 ? k (k ? 1) ? ak 不合题意,舍去),
即当 n ? k ? 1 时,命题成立. 由(1)、(2)知:命题成立.??????.10 分

10

第二章 推理与证明综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 2.数列 1,3,6,10,15,?的递推公式可能是( A.?
?a1=1, ? ? ?an+1=an+n(n∈N ) ? ?a1=1, ?an+1=an+(n-1)(n∈N ) ?
* *

)

B.?

?a1=1, ? ? ?an=an-1+n(n∈N ,n≥2) ? ?a1=1, ?an=an-1+(n-1)(n∈N ,n≥2) ?
* *

C.?

D.?

[答案] B [解析] 记数列为{an},由已知观察规律:a2 比 a1 多 2,a3 比 a2 多 3,a4 比 a3 多 4,?,可知当 n≥2 时,an 比 an-1 多 n,可得递推关系?
? ?a1=1, ?an-an-1=n ?

(n≥2,n∈N ). (n+3)(n+4) * (n∈N )时,验证 n=1,左边应取的 2

*

4.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= 项是( A.1 [答案] D ) B.1+2 C.1+2+3

D.1+2+3+4

[解析] 当 n=1 时,左=1+2+?+(1+3)=1+2+?+4,故应选 D. 1 1 1 1 6.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 [答案] D [解析] 项数为 n -(n-1)=n -n+1,故应选 D. 7.已知 a+b+c=0,则 ab+bc+ca 的值( A.大于 0 B.小于 0 C.不小于 0
11
2 2

)

) D.不大于 0

[答案] D [解析] 解法 1:∵a+b+c=0, ∴a +b +c +2ab+2ac+2bc=0, ∴ab+ac+bc=-
2 2 2

a2+b2+c2
2

≤0.

解法 2:令 c=0,若 b=0,则 ab+bc+ac=0,否则 a、b 异号,∴ab+bc+ac=ab<0,排除 A、B、 C,选 D. 8.已知 c>1,a= c+1- c,b= c- c-1,则正确的结论是( A.a>b [答案] B [解析] a= c+1- c= 1 B.a<b C.a=b D.a、b 大小不定 )

c+1+ c




b= c- c-1=

1

c+ c-1

因为 c+1> c>0, c> c-1>0, 所以 c+1+ c> c+ c-1>0,所以 a<b. 9.若凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)(k≥3 且 k∈N )等于( π A.f(k)+ 2 [答案] B [解析] 由凸 k 边形到凸(k+1)边形,增加了一个三角形,故 f(k+1)=f(k)+π . sinA cosB cosC 10.若 = = ,则△ABC 是( B.f(k)+π 3 C.f(k)+ π 2 D.f(k)+2π
*

)

a

b

c

)

A.等边三角形 C.等腰直角三角形 [答案] C

B.有一个内角是 30°的直角三角形 D.有一个内角是 30°的等腰三角形

sinA cosB cosC [解析] ∵ = = ,由正弦定理得,

a

b

c

sinA sinB sinC sinB cosB cosC sinC = = ,∴ = = = ,

a

b

c

b

b

c

c

∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°, ∴△ABC 是等腰直角三角形.
a+b

11.若 a>0,b>0,则 p=(ab) A.p≥q [答案] A B.p≤q

2

与 q=a ·b 的大小关系是( C.p>q

b

a

)

D.p<q

12

若 a>b,则 >1,a-b>0,∴ >1; 若 0<a<b,则 0< <1,a-b<0,∴ >1; 若 a=b,则 =1,

a b

p q

a b

p q

p q

∴p≥q. )

12. 设函数 f(x)定义如下表, 数列{xn}满足 x0=5, 且对任意的自然数均有 xn+1=f(xn), 则 x2011=(

x f(x)
A.1 [答案] C [解析] x1=f(x0)=f(5)=2, B.2 C.4

1 4 D.5

2 1

3 3

4 5

5 2

x2=f(2)=1,x3=f(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,?,数列{xn}是周期为 4 的数列,所以 x2011
=x3=4,故应选 C.

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 1 2 2 2 17.(本题满分 12 分)已知:a、b、c∈R,且 a+b+c=1. 求证:a +b +c ≥ . 3 [证明] 由 a +b ≥2ab,及 b +c ≥2bc,c +a ≥2ca. 三式相加得 a +b +c ≥ab+bc+ca. ∴3(a +b +c )≥(a +b +c )+2(ab+bc+ca)=(a+b+c) . 由 a+b+c=1,得 3(a +b +c )≥1, 1 2 2 2 即 a +b +c ≥ . 3 18.(本题满分 12 分)证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论. π 2cos = 2, 4 π 2cos = 2+ 2, 8 π 2cos = 16 ??
13
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2+ 2+ 2,

π 2 [证明] 2cos =2· = 2 4 2 π 1+cos 4 =2· 2 1+ 2 2 2

π 2cos =2 8 = 2+ 2 π 2cos =2 16

π 1+cos 8 2

=2 ?

1 1+ 2+ 2 2 = 2+ 2+ 2 2

19.(本题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=3,an·an-1=2·an-1-1. (1)求 a2、a3、a4; (2)求证:数列?
? ?an-1?

1 ? ?是等差数列,并写出数列{an}的一个通项公式.

[解析] (1)由 an·an-1=2·an-1-1 得

an=2- , an-1
代入 a1=3,n 依次取值 2,3,4,得

1

a2=2- = ,a3=2- = ,a4=2- = .
(2)证明:由 an·an-1=2·an-1-1 变形,得 (an-1)·(an-1-1)=-(an-1)+(an-1-1), 即 1 1 - =1, an-1 an-1-1 1 }是等差数列. an-1 1 1 1 = ,所以 = +n-1, an-1 2

1 3

5 3

3 7 5 5

5 9 7 7

所以{ 由 1

a1-1 2

2 变形得 an-1= , 2n-1 2n+1 所以 an= 为数列{an}的一个通项公式. 2n-1

14

20.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=a +

x

x-2 (a>1). x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负根. [解析] (1)证法 1:任取 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0, 且 a >0,
x1

又∵x1+1>0,x2+1>0, ∴f(x2)-f(x1)= = =

x2-2 x1-2 - x2+1 x1+1

(x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) (x1+1)(x2+1) 3(x2-x1) >0, (x1+1)(x2+1)

于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+

x2-2 x1-2 - >0, x2+1 x1+1

故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. 证法 2:f′(x)=a lna+
x x

x+1-(x-2) x 3 =a lna+ 2 2 (x+1) (x+1)
3 2>0, (x+1)

∵a>1,∴lna>0,∴a lna+

f′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立,
即 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)解法 1:设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0 则 a =- ∴0<-
x0

x0-2 ,且 0<ax0<1. x0+1

x0-2 1 <1,即 <x0<2,与假设 x0<0 矛盾. x0+1 2

故方程 f(x)=0 没有负数根. 解法 2:设 x0<0(x0≠-1) ①若-1<x0<0,则 ②若 x0<-1 则 ∴f(x0)>0. 综上,x<0(x≠-1)时,f(x)<-1 或 f(x)>0,即方程 f(x)=0 无负根.

x0-2 x0 <-2,a <1,∴f(x0)<-1. x0+1

x0-2 x0 >0,a >0, x0+1

15

21.(本题满分 12 分)我们知道,在△ABC 中,若 c =a +b ,则△ABC 是直角三角形.现在请你研究: 若 c =a +b (n>2),问△ABC 为何种三角形?为什么? [解析] 锐角三角形 ∵c =a +b (n>2),∴c>a, c>b, 由 c 是△ABC 的最大边,所以要证△ABC 是锐角三角形,只需证角 C 为锐角,即证 cosC>0. ∵cosC=
n n n n n n

2

2

2

a2+b2-c2 , 2ab
2 2 2

∴要证 cosC>0,只要证 a +b >c ,① 注意到条件:a +b =c , 于是将①等价变形为:(a +b )c ∵c>a,c>b,n>2,∴c 即c
n-2 n-2
2 2

n

n

n

n-2

>c .② ,c
n-2

n

>a

n-2

>b

n-2



-a
2

n-2

>0,c
n-2

n-2

-b

n-2

>0,
2

从而(a +b )c =a (c
2

2

-c =(a +b )c
2

n

2

n-2

-a -b

n

n

n-2

-a

n-2

)+b (c

n-2

-b

n-2

)>0,

这说明②式成立,从而①式也成立. 故 cosC>0,C 是锐角,△ABC 为锐角三角形.

22.(本题满分 14 分)(2010·安徽理,20)设数列 a1,a2,?an,?中的每一项都不为 0. 证明{an}为等差数列的充分必要条件是:对任何 n∈N+,都有 1

a1a2 a2a3



1

+?+

1

anan+1



n . a1an+1

[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识,考查推理论证、运算求解能力. 解题思路是利用裂项求和法证必要性,再用数学归纳法或综合法证明充分性. [证明] 先证必要性. 设数列{an}的公差为 d.若 d=0,则所述等式显然成立. 若 d≠0,则 1

a1a2 a2a3 d? a1a2



1

+?+

1

anan+1 anan+1 ?

an+1-an? 1?a2-a1 a3-a2 + +?+ = ? ? a2a3
1?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? = ?? - ?+? - ?+?+? - ?? d??a1 a2? ?a2 a3? ?an an+1?? 1 ? 1an+1-a1 1? 1 = ? - ?= a a d? 1 n+1? d a1an+1 =

n . a1an+1

再证充分性.
16

证法 1:(数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N+都成立.首先,在等式

1

a1a2 a2a3 a1a3



1



2

两端同乘 a1a2a3,即得 a1+a3=2a2,所以 a1,a2,a3 成等差数列,记公差为 d,则 a2=a1+d. 假设 ak=a1+(k-1)d,当 n=k+1 时,观察如下两个等式 1 1

a1a2 a2a3 a1a2 a2a3
+ 1



1

+?+ +?+

1 1

ak-1ak

= +

k-1 ,① a1ak
1 =

ak-1ak akak+1

k ② a1ak+1

将①代入②,得

k-1 1 k + = , a1ak akak+1 a1ak+1
在该式两端同乘 a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak. 将 ak=a1+(k-1)d 代入其中,整理后,得 ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈N,都有 an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差为 d 的等差数列. 证法 2:(直接证法)依题意有 1 1

a1a2 a2a3 a1a2 a2a3
②-①得 1 + 1



1

+?+ +?+

1 1

anan+1

= +

n ,① a1an+1
1 =

anan+1 an+1an+2

n+1 .② a1an+1

an+1an+2



n+1 n - , a1an+2 a1an+1

在上式两端同乘 a1an+1an+2,得 a1=(n+1)an+1-nan+2.③ 同理可得 a1=nan-(n-1)an+1(n≥2)④ ③-④得 2nan+1=n(an+2+an) 即 an+2-an+1=an+1-an, 由证法 1 知 a3-a2=a2-a1,故上式对任意 n∈N 均成立.所以{an}是等差数列.
*

17


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