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2008--2009高中数学第一轮复习学案---(20)概率(文


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第01讲 01讲

事件与概率

广东高考考试大纲说明的具体要求: 广东高考考试大纲说明的具体要求: ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别。 ② 了解两个互斥事件的概率加法公式。

(一)基础知识梳理: 基础知识梳理:
事件的概念: 1 。事件的概念: 事件: (1)事件:在一次试验中出现的试验结果,叫做事件。一般用大写字母A,B,C,…表示。 必然事件: (2)必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件。 不可能事件: (3)不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件 确定事件: (4)确定事件:必然事件和不可能事件统称为确定事件。 随机事件: (5)随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件。 随机事件的概率: 2.随机事件的概率: 频数与频率: (1)频数与频率:在相同的条件下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A 出现的次数 n A 为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 f n ( A) =

nA 为事件A出现的频率。 n

(2)概率:在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率会在某个常数附近摆 概率: 动,即随机事件A发生的频率具有稳定性。我们把这个常数叫做随机事件A的概率,记作 P ( A) 。 3.概率的性质:必然事件的概率为 1 ,不可能事件的概率为 0 ,随机事件的概率为 0 ≤ P ( A) ≤ 1 , 概率的性质: 必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形
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4。事件的和的意义: 事件A、B的和记作A+B,表示事件A和事件B至少有一个发生。 事件的和的意义: 互斥事件: 5。 互斥事件: 在随机试验中,把一次试验下不能同时发生的两个事件叫做互斥事件。 当A、B为互斥事件时,事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的, 因此当A 和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式: P(A+B)=P(A)+P(B) (A、B互斥). 一般地:如果事件 A1 , A2 , , An 中的任何两个都是互斥的,那么就说事件 A1 , A2 , , An 彼此互斥 如果事件 A1 , A2 , , An 彼此互斥,那么 P ( A1 + A2 + + An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + + P ( An ) 。 6.对立事件: 事件A和事件 B 必有一个发生的互斥事件. A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发 对立事件: 生,但 A、B 中必然有一个发生
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这时 P(A+B)=P(A)+P(B)=1

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即 P(A+ A )=P(A)+P( A )=1

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当计算事件 A 的概率 P(A)比较困难时,有时计算它的对立事件 A 的概率则要容易些,为此有
P(A)=1-P( A )
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事件与集合: 7. 事件与集合:从集合角度来看,A、B 两个事件互斥,则表示 A、B 这两个事件所含结果组成的集 合的交集是空集. 事件 A 的对立事件 A 所含结果的集合正是全集 U 中由事件 A 所含结果组成集合的 补集,即 A∪ A =U,A∩ A = 对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件
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(二)典型例题分析: 典型例题分析:
) 例1.将一枚均匀的硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定 例2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( A.至少有1个白球,都是白球 B.至少有1个白球,至少有1个红球 C.恰有1个白球,恰有2个白球 D.至少有1个白球,都是红球 )

例3.甲、乙两名围棋选手在一次比赛中对局,分析甲胜的概率比乙胜的概率高5%,和棋的概率为 59%,则乙胜的概率为_____________. 家教上 找家教上阳光家教网

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如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取1张, 那么抽到红心 (事件A) 的概率为________, 例 4. 取到方片(事件B)的概率是 _______.取到红色牌(事件C)的概率是_______,取到黑色牌(事件D) 的概率是________.

(三)基础训练: 基础训练:
1.下列说法正确的是 ( ) A.任一事件的概率总在(0,1)内 C.必然事件的概率一定是1 B.不可能事件概率不一定为0 D.以上均不对

2.某地气象局预报说:明天本地降雨概率为80%,则下面解释正确的是( ) A.明天本地有80%的区域下雨,20%的区域不下雨 B.明天本地下雨的机会是80% C.明天本地有80%的时间下雨,20%的时间不下雨 D.以上说法均不正确 3.下面事件: ①若a、b∈R,则ab=ba; ②某人买彩票中奖; ④抛一枚硬币出现正面向上. 其中必然事件有 ( ) A.① B.② C.③④ D.①② ③6+3>10;

4. 盒中有9个小球, 分别标有1, 3, 2, …, 从中任取一球, 9, 则此球的号码为偶数的概率是_______.

5.箱子中有2000个灯泡,随机选择100个灯泡进行测试,发现10个是坏的,预计整箱中有________个 坏灯泡。

6.对某电冰箱厂生产的电冰箱进行抽样检测数据如下表所示: 抽取台数 50 100 200 300 优等品数 46 92 192 285 则估计该厂生产的电冰箱优等品的概率为

500 479

1000 950

(四)巩固练习: 巩固练习:
1.把红、黑、蓝、白4张纸牌随机的分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得1张,事件“甲分 得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.以上答案都不对 2.下列四个命题中错误命题的个数是( ) (1)对立事件一定是互斥事件 (2)若A,B是互斥事件,则P(A)+P(B)<1 (3)若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1 (4)事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件 A.0 B.1 C.2 D.3 3.抛掷一枚质地均匀的骰子,事件A表示“所得点数是1、2”,事件B表示“所得点数大于4”, 则P(A+B)=____________. 4.某射手射击1次射中10环,9环,8环,7环的概率分别是0.24,0.28,0.19,0.16,则这名射手射 击1次,射中10环或9环的概率为________,至多射中6环的概率是__________.

5.在10件产品中有8件1级品,2件2级品,从中任取3件,记“3件都是1级品”为事件A,则A的对立 找家教上阳光家教网 家教上

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6.袋中有12个小球,分别为红球,黑球、黄球、绿球,从中任取1球,得到红球的概率是 黑球或黄球的概率是

1 ,得到 3

5 ,则得到绿球的概率是__________. 12

第02讲 02讲

古典概型

广东高考考试大纲说明的具体要求: 广东高考考试大纲说明的具体要求: ① 理解古典概型及其概率计算公式。 ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

(一)基础知识梳理: 基础知识梳理:
1.基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件 基本事件: 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点: (1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2.等可能性事件:如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果都是等可能的, 等可能性事件: 这种事件叫等可能性事件 3.古典概型:具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4.古典概型的概率计算公式: 对于古典概型,若试验的所有基本事件数为n,随机事件A包含的基 古典概型的概率计算公式: 本事件数为m,那么事件A的概率定义为 P ( A) =

m 。 n

(二)典型例题分析: 典型例题分析:
例1.单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案。如果 考生掌握了考查的内容,他可以选择唯一正确的答案。假设考生不会做,他随机地选择一个答案, 问他答对的概率是_________. 例2.在6瓶饮料中,有2瓶已过了保质期。从中任取2瓶,取到已过保质期的饮料的概率是_______.

例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次,观察落地后的情形 (1)写出这个试验的所有的基本事件; (2)“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件? (3)求事件“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”的概率。

(2006福建 福建文 例4. (2006福建文)每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6) (I)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率; (II)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;

(三)基础训练: 基础训练:
1.下列试验中,是古典概型的是( ) 找家教上阳光家教网 家教上

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B.从规格直径为(250 0.6)mm 的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径 d C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 2.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为( A. )

±

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.1

3.某学生通过计算初级水平测试的概率为

1 ,他连续测试两次,则恰有 1 次获得通过的概率为____. 2

4. 甲、 乙两人做出拳游戏 (锤子、 剪刀、 布) 则平局的概率为 ________, 。 甲赢的概率为_________。 5. 一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5个小球,随即的选取两个小球,根据下列条件求两个小球上 的数字之和为偶数的概率。 (1)小球的选取是无放回的; (2)小球的选取是有放回的。

6.现有一批产品共有6件, 其中5件为正品, 1件为次品. (1) 如果从中取出1件, 然后放回, 再取1件, 求连续2次取出的都是正品的概率; (2) 如果从中一次取2件, 求2件都是正品的概率.

7.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1个,有放回地抽取3次。求: (1)3次全是红球的概率 (2)3次颜色全相同的概率 (3)3次颜色不全相同的概率

(四)巩固练习: 1.袋中有5个球,其中3个红球,2个白球,现每次取一个,无放回地抽取两次,则第二次取到红球 的概率是( ) A.

3 5

B.

3 4

C.

1 2

D.

3 10

2.在一次数学测验中,某同学有两个单选题(即四个答案选一个)不会做,他随意选了两个答案, 则这两道单选题都答对的概率为( ) A.

1 2

B.

1 4

C.

1 8

D.

1 16


3.甲, 乙两人随意入住2间空房, 则甲乙两人各住1间房的概率是( A.

1 3

B.

1 4

C.

1 2

D.无法确定

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4. 4本不同的语文书, 3本不同的数学书, 从中任意取出2本,能取出数学书的概率是________. 5.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标,则点P(m,n)落在圆 x 2 + y 2 = 16 内 的概率是_______________. 6.高一(1)班数学兴趣小组有男生和女生各3名,现从中任选2名学生去参加数学竞赛,则恰有一 名参赛学生是男生的概率是________;至少有一名参赛学生是男生的概率是________。 7.有A,B两个口袋,A袋中有6张卡片,其中1张写有0;2张写有1;3张写有2;B袋中有5张卡片,其 中2张写有0;1张写有1;2张写有2.。从A,B两个袋中各取1张卡片,求: (1)取出的2张卡片都写有0的概率; (2)取出的2张卡片数字之和为2的概率。

第03讲 03讲

随机数与几何概型

广东高考考试大纲说明的具体要求: 广东高考考试大纲说明的具体要求: ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率。 ② 了解几何概型的意义。

(一)基础知识梳理: 基础知识梳理:
几何概型的概念: 1. 几何概型的概念:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比,则 称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征:(1)无限性:指在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 几何概型试验的两个基本特征: 试验 (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式: 几何概型事件的概率计算公式: 事件 计算公式

P( A) =

构成事件A的区域长度(面积或体积) 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

(二)典型例题分析: 典型例题分析:
例 1. 如图,在墙上挂着一块边长为 16cm 的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分 别为 2cm,4cm,6cm,某人在在 3m 外向此板投镖,设投镖击中线上或没有投中 木板时都不算,可重投,问: (1)投中小圆内的概率是多少? (2)投中大圆与中圆形成的圆环的概率是多少? (3)投中大圆之外的概率是多少?

例 2.在游乐场,有一种游戏是向一个画满均匀方格的大桌面上投硬币,若硬币刚巧落在任何一个方 格的范围内不与方格线重叠) ,便可获奖。如果硬币的直径为 2cm, 而方格的边长为 5cm,随机投掷一个硬币,获奖的概率有多大?

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例 3.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30—7:30 之间把报纸送到你家,你父亲离开家去 工作的时间在早上 7:00—8:00 之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸 (称为事件 A) 的概率是多少?

(三)基础训练: 基础训练:
1. 500mL 的水中有一个草履虫, 现从中随机取出 2mL 水样放到显微镜下观察, 则发现草履虫的概 在 率是( ) A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 2.有一半径为 4 的圆, 现将一枚直径为 2 的硬币投向其中(硬币与圆面有公共点就算是有效试验, 硬币完全落在圆外的不计),则硬币完全落入圆内的概率为( ) A.

4 9

B.

9 16

C.

4 25

D.

9 25

3.一轮船停靠在某港口, 只有在该港口涨潮时才能出港, 已知该港口每天涨潮的时间是早晨 5:00 到 7:00 和下午 5:00 到 7:00, 则该船在一昼夜内可以出港的概率为 .

4.一海豚在水池中自由游弋, 水池是半径为 20m 的圆,海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率是______.

5.取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆如图所示,随机向正方形内丢一粒豆子,则豆子落入圆内 概率是______________。

6.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时,假定它们在一昼夜的时间段中 随机到达,试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。

(三)巩固练习: 巩固练习:
1. 如下图, 设 M 是半径为 R 的圆周上一定点, 在圆周上等可能地任取一点 N, 连接 MN, 则弦 MN 的长超过 2 R 的概率为( )

1 A. 5

1 B. 4

1 C. 3

1 D. 2

2. 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,他等待的时间不多于 10 分钟的概 率是_________ 。 3.在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,试求正方形面积介于 36cm 到 找家教上阳光家教网 家教上
2

阳光家教网 81 cm 之间的概率是_____________。
2

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4.如图所示,取一根长度为 3m 的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段绳子的长度都不 小于 1m 的概率是___________. 3cm 5. 在△ABC 内任取一点 P,求△ABP 与△ABC 的面积之比大于

1 时的概率为 2

6.设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A,B 除外) ,将线段 AB 分成三条线段, (1)若分成三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率;

广东省各地市近两年高三模拟考试文科数学试卷中的 概率解答题 解答题选讲 概率解答题选讲
1. (2008 惠州一模文、2007 湛江一模文) 某商场举行抽奖活动,从装有编号为 0,1,2,3 四个小 惠州一模文、 湛江一模 一模文 球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中三等奖的概率; (Ⅱ)求中奖的概率.

深圳二模文 2. (2008 深圳二模文)现有编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五个不同的物理题和编号分别为 6 , 7 , 8 , 9 的四 个不同的化学题.甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符号 ( x , y ) 表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x < y ” . (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率.

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3.(2007 惠州三模文)甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2 红桃 3 红桃 4 方片 4)玩游戏,他们 2007 惠州三模文) 将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1) .设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况. (2) .若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3) .甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否 公平,说明你的理由.

4.(据 2007 山东理改编)设方程 x + bx + c = 0 的系数 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. ( 山东理改编) 2 2 (Ⅰ)求方程 x + bx + c = 0 有两个不等实根的概率; (Ⅱ)求方程 x + bx + c = 0 没有实根的概率;
2

5. 2007 广州水平测试文)同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的 (2007 广州水平测试文) 正方体),两颗骰子向上的点数之和记为 ξ . (Ⅰ)求 ξ = 5 的概率 P (ξ = 5 ) ; (Ⅱ)求 ξ < 5 的概率 P (ξ < 5 ) .

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6. 2007 广州二模文)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两 ( 广州二模文) 个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率.

第01讲 01讲
(二)典型例题分析: 典型例题分析:
例1. B.

事件与概率(参考答案) 事件与概率(参考答案)
1 ,4 1 ,2 1 ,2

1 例2.C. 例3。__18%__.例4. 4 例 4 4. 9 .
.



(三)基础训练: 基础训练:
1.C. 2.B. 3.A. 5. 200 . 6. 0.95

(四)巩固练习: 巩固练习:
1.C. 2.D. 3.

2 3

4. 0.52 , 6.

0.13

.

5. ___至少有一件是2级品_ .

1 4

.

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第02讲 02讲
(二)典型例题分析: 典型例题分析
例1.

古典概型(参考答案) 古典概型(参考答案)

1 . 4

例2.

3 . 5

(1)基本事件有: (正,正,正)(正,正,反)(正,反,正)(正,反,反)(反, , , , , 例3. 解: 正,正)(反,正,反)(反,反,正)(反,反,反) , , , (2)“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”这一事件包含了3个基本事件: (正,反,反)(反,正, , 反)(反,反,正) , ; (3)由古典概率的计算公式,事件“出现一枚正面朝上,两枚反面朝上”的概率是 (I)设 A 表示事件“抛掷 2 次,向上的数不同” ,则 P ( A) = 例 4. 解: 答:抛掷 2 次,向上的数不同的概率为 . (II)设 B 表示事件“抛掷 2 次,向上的数之和为 6” 。 ∵ 向上的数之和为 6 的结果有 (1,5) 、 (2, 4) 、 (3,3) 、 (4, 2) 、 (5,1) 5 种,

6×5 5 = . 6× 6 6

3 . 8

5 6

∴ P( B) =

5 5 = . 6 × 6 36 5 . 36

答:抛掷 2 次,向上的数之和为 6 的概率为

(三)基础训练: 基础训练:
1.C. 2.C. 3.

1 1 , . 3 3 25 2 6.提示:表格法.(1) ;(2) 。 36 3
4.

1 . 2

5.提示:表格法。(1)

2 13 ; (2) 。 5 25 1 1 3 7.提示:树形图法。(1) ;(2) ;(3) 。 8 4 4

(四)巩固练习: 1.A. 2.D. 3. C. 4.

5 . 7

5.

2 . 9

6.

3 5

,

4 5

.

7.(1)取出的2张卡片都写有0的概率是

1 1 ; (2)取出的2张卡片数字之和为2的概率 。 15 3

第03讲 03讲
(二)典型例题分析: 典型例题分析:
2

随机数与几何概型
小圆的面积为 S = π × 2 = 4π ,
2 1

例1.解:记A={投标击中小圆内},B={投标击中大圆与中圆形成的圆环},C={投标击中大圆之外} 1. 正方形的面积为 S = 16 = 256 , 中圆的面积为 S = π × 4 = 16π ,
2 2

大圆的面积为 S = π × 6 = 36π 。
2 3

所以(1)投中小圆内的概率是 P ( A) =

π
64



(2)投中大圆与中圆形成的圆环的概率是 P ( B ) =

36π 16π 5π = 256 64

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阳光家教网 (3)投中大圆之外的概率是 P (C ) =

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64 9π 64

例2.解:若要使硬币成功落入方格内,则硬币的中心必须距方格边界一个硬币 半径的长度,即 1cm,所以硬币中心应落在图中阴影部分的小正方形区域内, 这个小正方形边长为 3,故随机投掷一个硬币,获奖的概率为 例3.解:见人教版教材《必修3》第144页例2。 P ( A) = 3.

9 = 0.36 . 25

7 。 8

(三)基础训练: 基础训练:
4 6.解:设甲到达时间为x,乙到达时间为y,则 0 < x, y < 24 ,若至 少一艘船在停靠泊位时必须等待,则 0 < x y < 6 或 0 < y x < 6 ,
必须等待的概率为 1 1.C. 2.D. 3.

1 . 6

4.__0.19__.

5.

π



18 9 7 = 1 = 。 2 16 16 24

2

(三)巩固练习: 巩固练习:
1.D. 2.

1 . 6

3.

1 . 4

4.

1 3

.

5.

1 4 1 。 3

解: 则三条线段的长度的所有可能为: 1,1,4; 1,2,3; 2,2,2 6. (1)若分成三条线段的长度均为正整数, 共三种情况,其中只有三条线段为 2,2,2 时能够构成三角形,故构成三角形的概率 P1 =

(2)若分成三条线段的长度均为正实数,设其中两条线段的长度分别为 x,y,则第三条线段的长

0 < x < 6 度为 6-x-y,则全部结果所构成的区域为 ( x, y ) | 0 < y < 6 , 0 < 6 x y < 6
即如图所示的区域△OAB 。 若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形,

x + y > 6 x y x + y > 3 则还要满足 x + 6 x y > y > 0 ,即 0 < y < 3 , y + 6 x y > x > 0 0 < x < 3
所表示的平面区域为△DEF,由几何概型知,三条线段可以构成三角形的概率为

P2 =

S DEF 1 = 。 S AOB 4

广东省各地市近两年高三模拟考试文科数学试卷中的 概率解答题选讲(参考答案 解答题选讲 参考答案) 概率解答题选讲 参考答案
1. (2008 惠州一模文、2007 湛江一模文) 某商场举行抽奖活动,从装有编号为 0,1,2,3 四个小 惠州一模文、 湛江一模 一模文 球的抽奖箱中同时抽出两个小球,两个小球号码相加之和等于 5 中一等奖,等于 4 中二等奖,等于 3 中三等奖. (Ⅰ)求中三等奖的概率; (Ⅱ)求中奖的概率. 1. 解:两个小球号码相加之和等于 3 中三等奖,两个小球号码相加之和不小于 3 中奖, 设“三等奖”事件为 A, “中奖”的事件为 B, 找家教上阳光家教网 家教上

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从四个小球任选两个共有(0,1)(0,2)(0,3)(1,2)(1,3)(2,3)六种不同的方法。 , , , , , (1)两个小球号码相加之和等于 3 的取法有 2 种: (0,3)(1,2) , 。 故 P ( A) =

2 1 = 。 6 3

(2)两个小球号码相加之和等于 1 的取法有 1 种: (0,1) 两个小球号码相加之和等于 2 的取法有 1 种: (0,2) 。 所以不中奖的概率为 P ( B ) =

2 1 1 2 = , 故 P( B) = 1 P( B) = 1 = 6 3 3 3

深圳二模文 2. (2008 深圳二模文)现有编号分别为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 的五个不同的物理题和编号分别为 6 , 7 , 8 , 9 的四 个不同的化学题.甲同学从这九个题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符号 ( x , y ) 表示事件“抽到的两题的编号分别为 x 、 y ,且 x < y ” . (1)共有多少个基本事件?并列举出来; (2)求甲同学所抽取的两题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率. 2.解:(Ⅰ)共有 36 个等可能性的基本事件,列举如下: (1, 2) ,(1, 3) ,(1, 4) ,(1, 5) ,(1, 6) ,(1, 7) ,(1, 8) , (1, 9) ,(2, 3) ,(2, 4) ,(2, 5) ,(2, 6) ,(2, 7) ,

(2, 8) , (2, 9) , 3, 4) , 3, 5) , 3, 6) , 3, 7) , 3, 8) , (3, 9) , 4, 5) , 4, 6) , 4, 7) , 4, 8) , (4, 9) , ( ( ( ( ( ( ( ( ( (5, 6) , (5, 7) , (5, 8) , (5, 9) , (6, 7) , (6, 8) , (6, 9) , (7, 8) , (7, 9) , (8, 9) (Ⅱ)记事件“甲同学所抽取的两题的编号之和小于 17 但不小于 11 ”为事件 A . 即事件 A 为“ x, y ∈ {1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9} ,且 x + y ∈ [11,17 ) ,其中 x < y ” , 由(1)可知事件 A 共含有 15 个基本事件,列举如下: ( 2, 9) , (3, 8) , (3, 9) , ( 4, 7) , ( 4, 8) , (4, 9) , (5, 6) , (5, 7) , (5, 8) , (5, 9) , (6, 7) , (6, 8) , (6, 9) , (7, 8) , (7, 9) 15 5 ∴ P ( A) = = . 36 12 5 答:共有 36 个基本事件; G 同学所抽取的两题的编号之和不小于 11 且小于 17 的概率为 . 12
3.(2007 惠州三模文)甲乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2 红桃 3 红桃 4 方片 4)玩游戏,他们 2007 惠州三模文) 将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张. (1) .设 (i, j ) 分别表示甲、乙抽到的牌的数字,写出甲乙二人抽到的牌的所有情况. (2) .若甲抽到红桃 3,则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少? (3) .甲乙约定:若甲抽到的牌的牌面数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否 公平,说明你的理由. 3. 解:(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4 ’表示)为: (2,3)(2,4)(2,4 ’)(3,2)(3,4)(3,4 ’)(4,2)(4,3)(4,4 ’) 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ( 4 ’,2)(4 ’,3) ’,4) 、 (4 ,共 12 种不同情况. (没有写全面时:只写出 1 个不给分,2—4 个给 1 分,5—8 个给 2 分,9—11 个给 3 分) (2)甲抽到 3,乙抽到的牌只能是 2,4,4.因此乙抽到的牌的数字大于 3 的概率为 (3)由甲抽到牌比乙大有(3,2)(4,2)(4,3)(4 ’,2)(4 ’,3)5 种, 、 、 、 、 甲胜的概率 p1 = ∵

2 ; 3

5 7 ,乙获胜的概率为 p21 = . 12 12

5 7 < ,∴此游戏不公平. 12 12 2 4.(据 2007 山东理改编)设方程 x + bx + c = 0 的系数 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数. 山东理改编) ( 2 2 (Ⅰ)求方程 x + bx + c = 0 有两个不等实根的概率; (Ⅱ)求方程 x + bx + c = 0 没有实根的概率; 4.【答案】:(I)基本事件总数为 6 × 6 = 36 , 【答案】
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2

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若使方程有两个不等实根,则 = b 4c > 0 ,即 b > 2 c 。 当 c = 1 时,b=3, 4, 5, 6; 当 c = 2 时, b = 3, 4,5, 6 ; 当 c = 3 时, b = 4, 5, 6 ; 当 c = 4 时,b=5, 6; 当 c = 5 时, b = 5, 6 ;
2

当 c = 6 时, b = 5, 6 ,

目标事件个数为 4+4+3+2+2+2=17. 因此方程 x + bx + c = 0 有两个不等实根的概率为
2

17 . 36

(II) 若方程 x + bx + c = 0 有两个相等实根,则 = b 4c = 0 ,即 b = 2 c 。 又 b, c ∈ {1,2,3,4,5,6} ,所有满足该条件的 b,c 只有两组,当 c = 1 时,b=2;当 c = 4 时,b=4;
2

2 . 36 17 2 17 2 所以,方程 x + bx + c = 0 没有实根的概率是 1 + = 36 36 36
因此方程 x + bx + c = 0 有两个相等实根的概率为
2

5. 2007 广州水平测试文)同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1,2,3,4,5,6 的 ( 广州水平测试文) 正方体),两颗骰子向上的点数之和记为 ξ . (Ⅰ)求 ξ = 5 的概率 P (ξ = 5 ) ; (Ⅱ)求 ξ < 5 的概率 P (ξ < 5 ) . 5.解: (Ⅰ) 掷两颗质地均匀的骰子,两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示: 1点 2点 3点 4点 5点 6点 2 3 4 5 6 7 1点 3 4 5 6 7 8 2点 4 5 6 7 8 9 3点 5 6 7 8 9 10 4点 6 7 8 9 10 11 5点 7 8 9 10 11 12 6点 显然, ξ 的取值有 11 种可能,它们是 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. 点数和为 5 出现 4 次, P (ξ = 5 ) =

4 1 = . 36 9 1 2 3 1 + + = . 36 36 36 6

(Ⅱ) ∵ 点数和为 2 出现 1 次, 点数和为 3 出现 2 次, 点数和为 4 出现 3 次,

∴ P (ξ < 5 ) = P (ξ = 2 ) + P ( ξ = 3) + P (ξ = 4 ) =

6. 2007 广州二模文)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两 ( 广州二模文) 个盒子中各取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率. 6.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 解法一: 解法一 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3

4 4 4 4 可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2, 2-1, 2-3, 3-2, 3-4, 4-3,共 6 种. 故所求概率 P =

6 3 = . 16 8 5 . 16
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(Ⅱ)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1-2,2-1,2-4,3-3,4-2,共 5 种. 故所求概率为 P =


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