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椭圆知识点总结及练习


椭圆知识点总结及典型方法
知识点一:椭圆的定义 平面内一个动点 P 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数 ( PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ) ,这个动点

P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

知识点二:椭圆的标准方程 1.当焦点在 x 轴上时,椭圆的标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 a2 b2

y2 x2 2 2 2 2.当焦点在 y 轴上时,椭圆的标准方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,其中 c ? a ? b ; a b

知识点三:椭圆的简单几何性质 椭圆:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的简单几何性质 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) : 说明: 把 x 换成 ? x 、 或把 y 换成 ? y 、 或把 x 、 a2 b2

(1) 对称性: 对于椭圆标准方程

y 同时换成 ? x 、 ? y 、原方程都不变,

(2)范围: 椭圆上所有的点都位于直线 x ? ? a 和 y ? ?b 所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足 x

? a,

y ? b。
(3)顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 a2 b2

A1 (?a,0) ,

1

A2 (a,0) , B1 (0,?b) , B2 (0, b)
③线段 A1 A2 , B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴, A1 A2 圆的长半轴长和短半轴长。 (4)离心率: ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用 e 表示,记 e ?

? 2a , B1 B2 ? 2b 。 a 和 b 分别叫做椭

2c c ? 。 2a a

知识点四:椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的区别和联系 与 a2 b2 a2 b2 x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2
(a ? b ? 0)

标准方程

图形

焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长

F1 (?c,0) , F2 (c,0)

F1 (0,?c) , F2 (0, c)

F1 F2 ? 2c x ? a, y ? b
关于 x 轴、 y 轴和原点对称

F1 F2 ? 2c x ?b, y ? a

(? a,0) , (0,?b)
长轴长= 2 a ,短轴长= 2b

(0,? a) , (?b,0)

离心率

e?

c (0 ? e ? 1) a

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

2

知识点五: 椭圆的第二定义: 平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数 e, (0<e<1)的点的轨迹为椭圆。 (

| PF | ? e) d

x2 y2 ①焦点在 x 轴上: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: x a b
②焦点在 y 轴上:

a2 ?? c
2

a y2 x2 ? 2 ? 1 (a>b>0)准线方程: y ? ? 2 c a b

知识点六: 椭圆的的内外部

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x y ? 2 2 a b

2

2

2 2 x0 y0 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b
2 2 x0 y0 ? ?1. a 2 b2

x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b

例题组 1:
一.椭圆定义: 1.方程

? x ? 2 ?2 ? y 2

?

? x ? 2 ?2 ? y 2

? 10 化简的结果是

2.若 ?ABC 的两个顶点 A? ?4,0? , B ? 4,0? , ?ABC 的周长为 18 ,则顶点 C 的轨迹方程是

3.已知椭圆

x2 y 2 + =1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3,则 P 到另一焦点距离为 16 9

二.利用标准方程确定参数 1.若方程

x2 y2 + =1(1)表示圆,则实数 k 的取值是 5?k k ?3
. . . ,短轴长等于

.

(2)表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (3)表示焦点在 y 型上的椭圆,则实数 k 的取值范围是 (4)表示椭圆,则实数 k 的取值范围是 2. 椭 圆 4 x ? 25 y ? 100 的 长 轴 长 等 于
2 2

, 顶点坐标 ,离心率等

是 于 ,

, 焦点的坐标是

, 焦距是

3

3.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2 ,则 m = 4 m



4.椭圆 5x 2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ? 三.待定系数法求椭圆标准方程



1.若椭圆经过点 (?4, 0) , (0, ?3) ,则该椭圆的标准方程为 2.焦点在坐标轴上,且 a ? 13 , c ? 12 的椭圆的标准方程为
2 2



3.焦点在 x 轴上, a : b ? 2 : 1 , c ? 6 椭圆的标准方程为 4. 已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) ,求以 F1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;

变式:求与椭圆 4x2 ? 9 y 2 ? 36 共焦点,且过点 (3, ?2) 的椭圆方程。

四.焦点三角形 1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 , AB 是椭圆过焦点 F1 的弦,则 ?ABF2 的周长是 9 25



2 .设 F1 , F2 为椭圆 16x 2 ? 25y 2 ? 400 的焦点, P 为椭圆上的任一点,则 ?PF 1 F2 的周长是多少?

?PF1 F2 的面积的最大值是多少?
3. 设点 P 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的一点,F1 , F2 是焦点, 若 ?F 则 ?F1 PF2 的面积为 1 PF 2 是直角, 25 16



变式:已知椭圆 9 x 2 ? 16y 2 ? 144 ,焦点为 F1 、 F2 , P 是椭圆上一点. 若 ?F1 PF2 ? 60? , 求 ?PF 1 F2 的面积.

五.离心率的有关问题 1.椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m ? 2 4 m
0

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120 ,则此椭圆的离心率 e 为
4

3.椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形, 求椭圆的离心率。 5.在 △ ABC 中, ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 .若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 离心率 e ? .

同步测试 1 已知 F1(-8,0),F2(8,0),动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16,则点 P 的轨迹为( A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 )

x2 y2 ? ? 1 左右焦点为 F1、F2,CD 为过 F1 的弦,则 ? CDF1 的周长为______ 2、椭圆 16 9
3 已知方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是( 1? k 1? k
B k>0 C k≥0

) D k>1 或 k<-1

A -1<k<1

4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10,短轴长为 6 (2)长轴是短轴的 2 倍,且过点(2,1) (3) 经过点(5,1),(3,2) 5、若⊿ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4,0),(4,0),AC、AB 边上的中线长之和为 30,则⊿ABC 的重心 G 的轨迹方程为______________________ 6.椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别是 F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。 a 2 b2

若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为_________ 7、已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_______ 椭圆方程为 ___________________. 8 已知椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,P 点是椭圆上的点且 ?F1PF2 ? 60? ,求 ?PF1 F2 的面积 4 3

例题组 2
例 1. 椭圆

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m = 2 4 m

5

[巩固]若方程:x2+ay2=a2 表示长轴长是短轴长的 2 倍的椭圆,则 a 的允许值的个数是 A 1个 B .2 个 C.4 个 D.无数个

x2 y2 例 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a >0, b >0)的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,若 a b
BF⊥BA,则称其为“优美椭圆” ,那么“优美椭圆”的离心率为 。

注:关于 a , b , c 的齐次方程是“孕育”离心率的温床。

例 3 已知椭圆

3 x2 y2 ? 2 ? 1( a >0, b >0)的离心率为 ,若将这个椭圆绕着它的右焦点按逆时针方向旋转 2 5 a b


? 16 后,所得的新的椭圆的一条准线的方程为 y = ,则原来椭圆的方程是 2 3

[巩固 1]一椭圆的四个顶点为 A1,A2,B1,B2,以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点,的椭圆的离心率 为 。

[巩固 2] 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心 率为 (A) 2 (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

6


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