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第一章 集合与常用逻辑用语


第一章 集合

第一节

集__合

1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)集合中元素与集合的关系: 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种,表示符号为∈和?. (3)集合的表示法:列举法、描述法、Venn 图. 2.集合间的基本关系 描述 关系 子集 集合间的 基本关系 真子集 相等 文字语言 A 中任意一元素均为 B 中的元素 A 中任意一元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一 个元素 A 中没有 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 符号语言 A?B 或 B?A A B或B A A=B

3.集合的基本运算 集合的并集 符号表示 A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为 U, 则集合 A 的 补集为?UA

图形表示 意义 {x|x∈A,或 x∈B} {x|x∈A,且 x∈B} {x|x∈U,且 x?A}

1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条 件. 2.要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系. 3.易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.
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4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心. 5.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误. [试一试] 1.(2013· 辽宁高考)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( A.(0,1) C.(1,2) B.(0,2] D.(1,2] ) )

2.i 是虚数单位,若集合 S={-i,0,i},则( A.i2∈S C.i2 012∈S

B.i2 010∈S D.i2 013∈S

1.判断集合关系的方法有三种 (1)一一列举观察; (2)集合元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元 素的特征判断集合关系; (3)数形结合法:利用数轴或 Venn 图. 2.解决集合的综合运算的方法 解决集合的综合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合是用列举法表示的数集时, 可以通过列举集合的元素进行运算;当集合是用不等式形式表示时,可运用数轴求解. 3.数形结合思想 数轴和 Venn 图是进行交、并、补集运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方 法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标 系或 Venn 图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思 想方法解题. [练一练] 1.已知集合 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},C={x|x 是正方形},D={x|x 是 菱形},则( A.A?B C.D?C ) B.C?B D.A?D

2.(2014· 安徽省“江南十校”联考)已知集合 A={x|x2-x≤0},函数 f(x)=2-x(x∈A)的 值域为 B,则(?RA)∩B=( A.(1,2] B.[1,2] C.[0,1] D.(1,+∞) )

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考点一

集合的基本概念

1.(2013· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A, y∈A}中元素的个数是 ( ) A.1 C.5 B.3 D.9

2.已知集合 M={1,m},N={n,log2n},若 M=N,则(m-n)2 013=________. 3.已知集合 A={m+2,2m2+m},若 3∈A,则 m 的值为________. [类题通法] 1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求 出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2. 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等, 分几种情况列出 方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.

考点二

集合间的基本关系

x-2 [典例] (1)(2013· 洛阳统考)已知集合 A={x| ≤0,x∈N},B={x| x≤2,x∈Z},则 x 满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 C.4 ) B.2 D.8

(2)已知集合 A={x|log2x≤2}, B=(-∞, a), 若 A?B, 则实数 a 的取值范围是(c, +∞), 其中 c=________. [类题通法] 1.已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化 为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析. 2.当题目中有条件 B?A 时,不要忽略 B=?的情况. [针对训练] 1.(2013· 福建高考)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

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考点三

集合的基本运算

[典例] (1)(2013· 山东高考)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)= {4},B={1,2},则 A∩?UB=( A.{3} C.{3,4} ) B.{4} D.?

(2)(2014· 武汉市武昌区联考)已知全集 U=R,集合 A={x|lg(x+1)≤0},B={x|3x≤1}, 则?U(A∩B)=( ) B.(0,+∞) D.(-1,+∞)

A.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-1]∪(0,+∞)

[类题通法] 集合的基本运算的关注点 (1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的前提. (2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于 解决. (3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图. [针对训练] 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)· x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

考点四

集合中的创新问题

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点, 此类题目常常 以“问题”为核心, 以“探究”为途径, 以“发现”为目的, 这类试题只是以集合为依托, 考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有: ?1?创新集合新定义; ?2?创新集合新运算; ?3?创新集合新性质.?

角度一 创新集合新定义 创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合,对集合的知识加以深入地创新,结合
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原有集合的相关知识和相应数学知识,来解决新定义的集合创新问题. 1 1 ? ? 1.若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=?-1,0,2,2,3?的所有非空 x ? ? 子集中具有伙伴关系的集合的个数是( A.1 C.7 角度二 创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则,并按照此集 合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问题的目的. 2.如图所示的 Venn 图中,A,B 是非空集合,定义集合 A B 为阴影部分表示的集合.若 x,y∈R,A={x|y= 2x-x2},B={y|y=3x,x>0},则 A B 为( A.{x|0<x<2} C.{x|0≤x≤1 或 x≥2} 角度三 创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题,通过创新性质, 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. 3.对于复数 a,b,c,d,若集合 S={a,b,c,d}具有性质“对任意 x,y∈S,必有 xy a=1, ? ? 2 ∈S”,则当?b =1, ? ?c2=b B.{x|1<x≤2} D.{x|0≤x≤1 或 x>2} ) ) B.3 D.31

时,b+c+d 等于(

).

4.解决新定义问题应注意以下几点 (1)遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质; (2)按新定义的要求,“照章办事”逐步分析、验证、运算,使问题得以解决; (3)对于选择题,可以结合选项通过验证,排除、对比、特值等方法解决.

第二节

命题及其关系、充分条件与必要条件

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1.命题的概念 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为 真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件.

1.易混否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否 定命题的结论. 2.注意区别 A 是 B 的充分不必要条件(A?B 且 B ? / A);与 A 的充分不必要条件是 B(B ?A 且 A ? / B)两者的不同. [试一试] 1.(2013· 福建高考)设点 P(x,y),则“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

解析: 选 A “x=2 且 y=-1”满足方程 x+y-1=0, 故“x=2 且 y=-1”可推出“点 P 在直线 l:x+y-1=0 上”;但方程 x+y-1=0 有无数多个解,故“点 P 在直线 l:x+y -1=0 上”不能推出“x=2 且 y=-1”,故“x=2 且 y=-1”是“点 P 在直线 l:x+y-1 =0 上”的充分不必要条件. 2 . “ 在 △ ABC 中 , 若 ∠ C = 90°, 则 ∠ A 、 ∠ B 都 是 锐 角 ” 的 否 命 题 为 :
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____________________. 解析:原命题的条件:在△ABC 中,∠C=90° , 结论:∠A、∠B 都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角”. 答案:“在△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A、∠B 不都是锐角”

1.判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法: 设“若 p,则 q”为原命题,那么: ①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件; ③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件; ④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法: 从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}, 那么: ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A B 时,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B A 时,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件. (3)等价转化法: p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件. 2.转化与化归思想 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性,因而当判断一个命题的真假比较困难 时,可转化为判断它的逆否命题的真假. [练一练] 1.(2014· 济南模拟)设 x∈R,则“x2-3x>0”是“x>4”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析: 选 B 由 x2-3x>0 得 x>3 或 x<0,此时得不出 x>4,但当 x>4 时, 不等式 x2-3x>0 恒成立,所以正确选项为 B. 2.与命题“若 a∈M,则 b?M”等价的命题是________. 解析:原命题与其逆否命题为等价命题. 答案:若 b∈M,则 a?M

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考点一

命题及其相互关系 )

π 1.命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是( 4 π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4 π C.若 tan α≠1,则 α≠ 4

π B.若 α= ,则 tan α≠1 4 π D.若 tan α≠1,则 α= 4

π π 解析:选 C 命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 4 2.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若 log2a>0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a≠0,则 ab≠0”; ③命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆命题为真命题; ④命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M,则 a?M”等价. 解析:对于①, 若 log2a>0=log21,则 a>1, 所以函数 f(x)=logax 在其定义域内是增函数, 故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的 逆命题是“若 x+y 是偶数,则 x、y 都是偶数”,是假命题,如 1+3=4 是偶数,但 3 和 1 均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若 a∈M,则 b?M”与命题“若 b∈M, 则 a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④ [类题通法] 在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件 与结论之间的关系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应的 有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题 为假命题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手. 考点二 充分必要条件的判定

[典例] (1)(2013· 山东高考)给定两个命题 p,q.若綈 p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是 綈 q 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充要条件

(2)(2013· 北京高考)“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

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C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析] (1)由 q?綈 p 且綈 p?/ q 可得 p?綈 q 且綈 q ? / p,所以 p 是綈 q 的充分而不 必要条件. (2)由 sin φ=0 可得 φ=kπ(k∈Z),此为曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的充要条件,故“φ =π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分而不必要条件. [答案] (1)A [类题通法] 充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若 p,则 q”及其逆命题的真假进行 区分,在具体解题中,要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A 是 B 的什么条件”中, A 是条件,B 是结论,而“A 的什么条件是 B”中,A 是结论,B 是条件.有时还可以通过其 逆否命题的真假加以区分. [针对训练] 下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)在△ABC 中,p:A=B,q:sin A=sin B; (2)p:|x|=x,q:x2+x≥0. 解:(1)若 A=B,则 sin A=sin B,即 p?q. 又若 sin A=sin B,则 2Rsin A=2Rsin B,即 a=b. 故 A=B,即 q?p. 所以 p 是 q 的充要条件. (2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A, q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或 x≤-1}=B, ∵A B, ∴p 是 q 的充分不必要条件. (2)A

考点三

充分必要条件的应用

[典例] 已知 P={x|x2-8x-20≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}. (1)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的充要条件,若存在,求出 m 的范围; (2)是否存在实数 m,使 x∈P 是 x∈S 的必要条件,若存在,求出 m 的范围. [解] (1)由 x2-8x-20≤0 得-2≤x≤10,

∴P={x|-2≤x≤10}, ∵x∈P 是 x∈S 的充要条件,∴P=S,
? ? ?1-m=-2, ?m=3, ∴? ∴? ?1+m=10, ?m=9, ? ?

这样的 m 不存在.
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(2)由题意 x∈P 是 x∈S 的必要条件,则 S?P.
? ?1-m≥-2, ∴? ∴m≤3. ?1+m≤10, ?

综上,可知 m≤3 时,x∈P 是 x∈S 的必要条件.

保持本例条件不变,若綈 P 是綈 S 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

解:由例题知 P={x|-2≤x≤10}, ∵綈 P 是綈 S 的必要不充分条件, ∴P?S 且 S ? / P. ∴[-2,10] [1-m,1+m].
?1-m≤-2, ?1-m<-2, ? ? ∴? 或? ?1+m>10 ?1+m≥10. ? ?

∴m≥9,即 m 的取值范围是[9,+∞).

[类题通法] 利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定 义,其思维方式是: (1)若 p 是 q 的充分不必要条件,则 p?q 且 q ? / p; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,则 p ? / q,且 q?p; (3)若 p 是 q 的充要条件,则 p?q. [针对训练] m 1 (2013· 浙江名校联考)一次函数 y=- x+ 的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充 n n 分条件是( ) B.mn<0 D.m<0,且 n<0

A.m>1,且 n<1 C.m>0,且 n<0

m 1 m 1 解析:选 B 因为 y=- x+ 经过第一、三、四象限,故- >0, <0,即 m>0,n<0, n n n n 但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为 mn<0.

第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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1.简单的逻辑联结词 命题中的“且”、“或”、“非”叫做逻辑联结词. 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词 “所有的”“任意一个”,用符号“?”表示. (2)存在量词 “存在一个”“至少有一个”,用符号“?”表示. (3)全称命题 含有全称量词的命题,叫做全称命题;“对 M 中任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简 记为:?x∈M,p(x). (4)特称命题 含有存在量词的命题,叫做特称命题;“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号 简记为:?x0∈M,p(x0). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 命题的否定 ?x0∈M,綈 p(x0) ?x∈M,綈 p(x)

1.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写 出命题的否定. 2.p 或 q 的否定易误写成“綈 p 或綈 q”;p 且 q 的否定易误写成“綈 p 且綈 q”. [试一试] 1.(2013· 四川高考)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p:?x∈A,2x ∈B,则( )

A.綈 p:?x∈A,2x∈B B.綈 p:?x?A,2x∈B C.綈 p:?x∈A,2x?B D.綈 p:?x?A,2x?B 解析:选 C 由命题的否定易知选 C,注意要把全称量词改为存在量词. 2.若 ab=0,则 a=0 或 b=0,其否定为________. 答案:若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0

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1.含逻辑联结词命题真假判断: (1)p∧q 中一假即假. (2)p∨q 中一真必真. (3)綈 p 真,p 假;綈 p 假,p 真. 2.含量词的命题的否定方法是“改量词,否结论”,即把全称量词与存在量词互换,然 后否定原命题的结论. 3.判断命题的真假要注意:全称命题为真需证明,为假举反例即可;特称命题为真需举 一个例子,为假则要证明全称命题为真. [练一练] 1.(2013· 重庆高考)命题“对任意 x∈R,都有 x2≥0”的否定为( A.对任意 x∈R,都有 x2<0 B.不存在 x∈R,使得 x2<0
2 C.存在 x0∈R,使得 x 0 ≥0 2 D.存在 x0∈R,使得 x 0 <0

)

解析:选 D 全称命题的否定为特称命题,所以答案为 D. 1 2 2.已知命题 p:?x0∈R,x 0 + 2 ≤2,命题 q 是命题 p 的否定,则命题 p、q、p∧q、p x0 ∨q 中是真命题的是________. 解析:p 是真命题,则 q 是假命题. 答案:p、p∨q

考点一

全称命题与特称命题的真假判断

1.(2014· 皖南八校联考)下列命题中,真命题是( x0 x0 1 A.存在 x0∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 B.任意 x∈(0,π),sin x>cos x C.任意 x∈(0,+∞),x2+1>x D.存在 x0∈R,x2 0+x0=-1

)

x x 解析:选 C 对于 A 选项:?x∈R,sin2 +cos2 =1,故 A 为假命题;对于 B 选项:存 2 2

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1? π 1 3 在 x= ,sin x= ,cos x= ,sin x<cos x,故 B 为假命题;对于 C 选项:x2+1-x=? ?x-2? 6 2 2
2

1 3 3 x+ ?2+ >0 恒成立,不存在 x0∈R, + >0 恒成立,C 为真命题;对于 D 选项:x2+x+1=? 2 ? ? 4 4

2 使 x0 +x0=-1 成立,故 D 为假命题.

2.已知函数 f(x)=x2+bx(b∈R),则下列结论正确的是( A.?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 B.?b∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 C.?b∈R,f(x)为奇函数 D.?b∈R,f(x)为偶函数 解析:选 D 注意到 b=0 时,f(x)=x2 是偶函数. [类题通法]

)

全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 全称命题 真假 真 假 真 假 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真

特称命题

考点二

含有一个量词的命题的否定

[典例] (2012· 辽宁高考)已知命题 p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈 p 是 ( ) A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 [解析] 全称命题的否定为存在性命题,即若 p 为“?x∈M,q(x)”,则綈 p 为“?x∈ M,綈 q(x)”,故选 C. [答案] C [类题通法] 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时, 一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论, 而一般命题的否定只需直接否定结论即可.

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[针对训练] 写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论 m 取何实数值,方程 x2+mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:?x0∈N,x2 0-2x0+1≤0. 解:(1)綈 p:存在一个实数 m0,使方程 x2+m0x-1=0 没有实数根.
2 因为该方程的判别式 Δ=m0 +4>0 恒成立,故綈 p 为假命题.

(2)綈 p:所有的三角形的三条边不全相等. 显然綈 p 为假命题. (3)綈 p:有的菱形的对角线不垂直. 显然綈 p 为假命题. (4)綈 p:?x∈N,x2-2x+1>0. 显然当 x=1 时,x2-2x+1>0 不成立,故綈 p 是假命题. 考点三 含有逻辑联结词的命题 5 ;命题 q:?x∈R,都有 2

[典例] (1)(2013· 安阳一模)已知命题 p:?x∈R,使 sin x=

x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈 q”是假命题;③命题 “綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题,其中正确的是( A.②④ C.③④ B.②③ D.①②③ )

(2)(2014· 济宁模拟)已知命题 p:关于 x 的方程 x2-ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的 函数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-12,-4]∪[4,+∞) B.[-12,-4]∪[4,+∞) C.(-∞,-12)∪(-4,4) D.[-12,+∞) [解析] (1)因为对任意实数 x,|sin x|≤1,而 sin x= =0 的判别式 Δ<0,所以 q 为真.因而②③正确. a (2)命题 p 等价于 Δ=a2-16≥0,即 a≤-4 或 a≥4;命题 q 等价于- ≤3,即 a≥-12. 4 由 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题知,命题 p 和 q 一真一假.若 p 真 q 假,则 a<-12;若 p 假 q 真,则-4<a<4.故 a 的取值范围是(-∞,-12)∪(-4,4).
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5 >1,所以 p 为假;因为 x2+x+1 2

[答案] (1)B (2)C

保持本例(2)条件不变,若 p∧q 为真,则 a 的取值范围为________.

解析:p∧q 为真,∴p 和 q 均为真. ∴a 的取值范围为[-12,-4]∪[4,+∞). 答案:[-12,-4]∪[4,+∞) [类题通法] 1.判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”形式命题真假的步骤 (1)准确判断简单命题 p、q 的真假; (2)依据[必会 3 个方法中的第一个方法]判断“p∧q”、“p∨q”、“綈 p”命题的真假. 2.根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围. [针对训练] 1.(2013· 安徽“江南十校”联考)对于下述两个命题,p:对角线互相垂直的四边形是菱 形;q:对角线互相平分的四边形是菱形.则命题“p∨q”、“p∧q”、“綈 p”中真命题的 个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:选 B 容易判断 p、q 均为假命题.所以“p∨q”为假命题,“p∧q”为假命题, “綈 p”为真命题,故真命题的个数为 1.
2 2.(2014· 江西盟校联考)已知命题 p:“?x∈[0,1],a≥ex”,命题 q:“?x0∈R,x 0 +

4x0+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.(4,+∞) C.[e,4] B.[1,4] D.(-∞,1]

)

解析: 选 C “p∧q”是真命题, 则 p 与 q 都是真命题. p 真则?x∈[0,1], a≥ex, 需 a≥e; q 真则 x2+4x+a=0 有解,需 Δ=16-4a≥0,所以 a≤4.p∧q 为真,则 e≤a≤4.

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