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2012级数学分析第1学期期中考试答案

上 海 交 通 大 学 试 卷
( 2012 至 2013 学年 第 1 学期 2012 年 11 月 28 日 ) 姓名 成绩 六 8 七 6 总 分 100 班级号_________________ 课程名称 题 号 应得分 得 分 一 20 学号

《数学分析》 (电院、管院期中考试) 二 15 三 10 四 33 五 8

一. 填空题 (每小题 4 分,共 20 分) 1. 函数 f ( x) ?
x2 ? x 1 1 ? 2 的间断点是 x ? 0, 1, ? 1 , 2 x ?1 x

它们的类型为第一类跳跃,第一类可去,第二类无穷 2. 设函数 f 在 x0 处可导,且 f ?( x0 ) ? 1,则 lim
h ?0

.

f ( x0 ? 4h) ? f ( x0 ? 3h) ? 7. h

3.

? x ? l n ct o s ? dy 设 y ? y ( x) 由 方 程 ? 确 定 , 则 , ? ? ?t tc o s dx t ? ? 4 2 ?y ? s it n 4

d2 y 1 ? ? (1 ? ) . 2 dx t ? ? 4 2
4

? ?π? 4. 设 f ( x) ? x 2 sin x ,则 f (6) ? ? ? 30 ? 4 ?2?

2

.

5. 已知 y ? f ( 1 ? x ), f ?( x) ? arctan(1 ? x 2 ) ,则 dy x ?1 ? ? 二. 单项选择题 (每小题 3 分,共 15 分)

?
8 2

dx .

( x ? x0 ) f ?( x) ? 0 , 1.设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可导,x0 为 (a, b) 内一定点, 且 f ( x0 ) ? 0 ,

则 f ( x ) 在 [ a , b] 上 (A)恒负. (B)不保号. (C)非负. (D)恒正.

…… ( D )

2. 设 f ( x) 在 (a, b) 上可导,且 x0 ? (a, b) ,则下列结论正确的是
共3张6页 第1页

…… ( C )

(A) f ( x) 在 (a, b) 上一致连续. (C) x0 不是 f ?( x) 的第一类间断点.

(B) f ?( x) 在 (a, b) 上连续. (D) x0 不是 f ?( x) 的第二类间断点.

3. 已知 f ( x) 具有任意阶导数, 且 f ?( x) ? f 2 ( x) , 则当 n ? 2 时,f ( n ) ( x) 为 ( A ) (A) n![ f ( x)]n?1 . (B) n[ f ( x)]n?1 . (C) [ f ( x)]2 n . (D) n![ f ( x)]2 n . …… ( B )

4. 下列函数在指定区间上一致连续的有

1 ?1 ? cos x ? , x ? 0, ? ? x sin , x ? 0, 2 (1) f ( x) ? ? x x ? [?1,1] . (2) f ( x) ? ? x ? [?1,1] . x ? ? x ? 0, x ? 0, ? 0, ? 0,
(3) f ( x) ? e , x ? (0,1) . (A)1 个. (B) 2 个. (C)3 个.
1 x

(4) f ( x) ? (D)4 个.

sin x , x ? [1, ??) . x

5. 当 x ? 0 时, etan x ? e x 与 x k 是同阶无穷小,则 k 等于 (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4.

…… ( C )

三. 判断题 (正确的给出证明,错误的举出反例说明. 每小题 5 分,共 10 分) 1. 设函数 f ( x) 在 (a, b) 上连续,又 a ? c ? d ? b ,则 f ( x) 在 (c, d ) 上一致连续. 命题正确 2. 若函数 f ( x) 在 (a, b) 内可导,且 f ?( x) 单调,则 f ?( x) 在 (a, b) 内连续. 命题正确 四、计算题 (第 1 小题 9 分,其它每小题 8 分,共 33 分)

e x ? ln(1 ? x) ? 1 1. 计算 lim . x ?0 x ? arctan x
?? 1 2

?(1 ? x) x , x ? 0, 2. 设 f ( x) ? ? x ? 0. ? x ? 1,
解: f ( x) 在 0 点不可导

1) 判断 f ( x) 在 0 点的可导性;2) 求 f ?( x) .

x ? x ] x?0 ?(1 ? x) [ln(1 ? x) ? f ?( x) ? ? 1? x ? 1 x?0 ?
3. 设 y ?

1 ,求 y ( n ) . (2 x ? 1)( x ? 1)
共3张6页 第2页

1 1 2n?1 ? (?1)n n ![ ? ] 3 ( x ? 1)n?1 (2 x ? 1) n?1

? ? 1 ?? 4. 设函数 f ( x) 在 0 点有二阶导数,且 f (0) ? 1, f ?(0) ? 0 ,计算 lim ? f ? ?? . x ??? ? ? x ??
=e
f ?? (0) 2

x

五(本题 8 分)设函数 f 在 [a, b] 上连续,用致密性定理证明: f 在 [a, b] 上有界. 提示:采用反证 六 (本题 8 分) 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可导,且 f ?( x) ? L ? 1 . 又对 ?x ?[a, b] 有
a ? f ( x) ? b . 令 g ( x ) ?

1 ? x ? f ( x)? ,证明: 2

(1) 存在唯一的点 x0 ? (a, b) ,使得 g ( x0 ) ? x0 ; (2) 对 ?x1 ? (a, b) ,令 xn?1 ? g ( xn ) (n ? 1, 2, ???) ,则数列 {xn } 收敛于 x0 . 提示:(1) 用零点定理;(2) 用定义证明 lim xn ? x0 ? 0
n ??

七 (本题 6 分) 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可导. 试证 f ?( x) 在 [a, b] 上连续的充要条件是:
?? ? 0, ?? ? 0, 对 ?x?, x?? ?[a, b] ,当 0 ? x? ? x?? ? ? 时,有

f ( x??) ? f ( x?) ? f ?( x?) ? ? . x?? ? x? 证 必要性:因为 f ?( x) 在 [a, b] 上连续,故 f ?( x) 在 [a, b] 上一致连续,所以 ?? ? 0, ?? ? 0, 对 ?x?, x?? ?[a, b] ,当 0 ? x? ? x?? ? ? 时,有

f ?( x??) ? f ?( x?) ? ?



f ( x??) ? f ( x?) ? f ?( x?) ? f ?(? ) ? f ?( x?) ,且 0 ? ? ? x? ? ? x?? ? x? f ( x??) ? f ( x?) ? f ?( x?) ? ? x?? ? x?

故有

充分性:由条件, ?? ? 0, ?? ? 0, 对 ?x?, x?? ?[a, b] ,当 0 ? x? ? x?? ? ? 时,
f ?( x?) ? f ?( x??) ? f ?( x?) ? f ( x?) ? f ( x??) f ( x?) ? f ( x??) ? ? f ?( x??) ? 2? x? ? x?? x? ? x??

故 f ?( x) 在 [a, b] 上一致连续,从而 f ?( x) 在 [a, b] 上连续.

共3张6页 第3页


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