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面面垂直的判定与性质_图文

平面与平面垂直的 判定与性质

复习回顾: 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 2.符号表示 (一)请同学们回忆“如何判定直线和平 1.图形表示 面垂直?” m ? ?,n ? ? ? a ? m?n?O ??a ?? m

?

O

n

a ? m, a ? n ? ?

关键:线不在多,相交则行

线线垂直

?

线面垂直

复习回顾:
(二)判断空间垂直关系的关键是线线垂直, 你能想起多少种判断线线垂直的方法?独立思考 后举手回答,其他同学可作补充。 一、平面几何知识: 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 勾股定理 圆直径所对的圆周角是直角 菱形对角线互相垂直 矩形邻边互相垂直 二、空间直线和平面垂直的定义。

一、直观感知,导入新课:
(一)、生活中面面垂直的例子无处不在, 你能举几个例子吗?请独立思考后举手发言, 其他同学可作补充。

实例感受 一、整体感知,导入新课 门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位 置关系.

一、整体感知,导入新课

墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置 关系.

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如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线,则这两个平面互相垂直

A

B

二、深入探究,形成规律
面面垂直的判定定理 :如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

1.图形表示:
? ?

2.符号表示:

l

l ?α? ? ?α?β l ?β ?
线面垂直 面面垂直

线线垂直

三、活学活用,提升能力 探究1:
(二)在如图正方体,请问正方体的哪些面与 面A1B垂直?
D1 C1 B1 A1

面A1B ? 面A1C1 面A1B ? 面AD1
C

D A B

面A1B ? 面BC1

面A1B ? 面AC

三、活学活用,提升能力
已知 (三) AB ? 面BCD, BC ? CD,判断在该 几何体中哪些面互相垂直?
A

AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B
C

D

三、活学活用,提升能力
例1 如图,AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的

平面,C是圆周上不同于A, B的任意一点。
求证:平面PAC⊥平面PBC.
P

(四)、在独立思考的基 础上,在练习本上写出 证明过程,注意符号准 确,逻辑合理。
A


B

O

三、活学活用,提升能力
证明: 设已知⊙O平面为α? PA ? 面? , BC ? 面?
? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC PA ? BC ? AC ? BC ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ?

? BC ? 面PAC
BC ? 面PBC

AC ? 面PAC ? ?
? ? ?

? 面PAC ? 面PBC

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1中 求证:
证明:

面AAC1C ? 面A1BD 1
A1

? AA1 ? 面ABCD
? AA1 ? BD ? BD ? AC 且AC ? AA1 ? A
? BD ? 面AAC1C 1 ? BD ? 面A1BD

D1 B1

C1

又? BD ? 面ABCD

D

C

A

B

?面AAC1C ? 面A1BD 1

练习3: ABCD是正方形,O是正方形的
中心,PO⊥平面ABCD,E是PC的中点,

求证:(1) AP∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C

证明面面垂直

找线面垂直,用判定定理 计算二面角为90? ,用定义

1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在 的平面,C是圆周上不同于A, B的任意一点, 求证:平面PAC ? 平面PBC . 2.如图,已知边长为a的正三角形ABC的中线 AF与中位线DE相交于点G,将此三角形沿 DE折成二面角A? ? DE ? B . 求证:平面A?FG ? 平面BCED .

证明面面垂直

找线面垂直,用判定定理 计算二面角为90? ,用定义

3.如图,在空间四边形ABDC中,AB ? BC , CD ? DA,E , F , G分别是DC , DA, AC的中点, 求证:平面BEF ? 平面BGD. 4.如图,在四面体ABCD中,BD ? 2a , AB ? AD ? CB ? CD ? AC ? a , 求证:平面ABD ? 平面BCD .

思考:
已知黑板面与地面垂直,你能在黑板面内找到一条 直线与地面平行、相交或垂直吗?这样的直线分别 有什么性质?

?

a
l

?

b l

?

c
l

?

?

?

类比:面面平行→线面平行, 面面垂直→线面垂直??

面面垂直性质定理
判定定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直. 简记:面面垂直,则线面垂直 符号语言:若? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l , 则m ? ? . 图形: ? m l

?

面面垂直性质定理运用
1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内 的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.

已知 : ? ? ? , P ?? , P ? a, a ? ? .求证 : a ? ? . ? ?
P b a
b a

?

c

?

c P

2.已知平面? ? 平面?,直线a满足a ? ? , a ? ? , 判断直线a与平面?的位置关系, 并证明.

垂直关系综述
若l ? m , l ? n, m ? ? , n ? ? ,

线线垂直

m ? n ? P , 则l ? ? .

若? ? ?,l ? ? , 则l ? a
?
??
?

线面垂直
m 则 l,

?. ?

b ? ? , 则a 若? ? ?,

l? 若

,l ?

?

,则 ?
?

?

,m

?

面面垂直



?

?

?,

?

??

l, m

线线平行

// b

综合证明问题
1.过锐角?ABC的垂心H , 作PH ? 平面ABC, 且使?APB ? 90?,求证:?BPC和?APC都是 直角三角形. 2.如图,平面PAB ? 平面ABC , 平面PAC ? 平 面ABC , AE ? 平面PBC , E为垂足. (1)求证:PA ? 平面ABC ; ( 2)当E为?PBC的垂心时,求证:?ABC是 直角三角形.

综合证明问题
3.如图,PA ? 矩形ABCD所在平面,M , N分 别是AB , PC中点. (1)求证:MN ? CD; ( 2)若?PDA ? 45?, 求证:MN ? 面PCD. 4.如图,已知直四棱柱ABCD ? A1 B1C1 D1的底 面是菱形,且?DAB ? 60?, AD ? AA1 , F为棱 BB1的中点,M为线段AC1的中点. (1)求证:MF // 平面ABCD; ( 2)求证:平面AFC1 ? 平面ACC1 A1 .

综合证明问题
5.正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,EF与异面直线 AC , A1 D都垂直相交,求证:EF // BD1 . 6.如图,平面? ? 平面? ,在?与? 的交线 l上取线段AB ? 4cm, AC , BD分别在平面? 和平面? 内,AC ? l , BD ? l , AC ? 3cm, BD ? 12cm, 求线段CD的长.

面面垂直判定定理证明过程
已知:直线AB?平面?,直线AB?平面?。 求证:平面? ?平面?。

在平面β 内过B点作BE⊥CD。 证明:设? ? β =CD,则AB ? β =B ,

AB ?β ? ? ? AB ? CD ? ? ?ABE是二面角α? CD ?β CD ?β ? ? BE ? CD? 的平面角

α A
D

AB ?β ?
β
E

? ? AB ? BE BE ?β ?

? ? ? ?ABE ? 90? ?

? 二面角α ? CD ?β 为直二面角 。

B C

? 平面α ? 平面β 。

面面垂直性质定理证明过程
已知:平面? ⊥平面β ,平面? ∩平面β =CD, A?平面? ,AB⊥CD且AB交CD于B。 求证:直线AB⊥平面β 。 证明:在平面β 内过B点作BE⊥CD,
AB ? CD ?

α A

? ? ?ABE是二面角α? CD ?β ? BE ? CD ? ? ? ?ABE ? 90?。 的平面角

α ?β

?

D

β
E

? AB ? BE AB ? CD
BE ?β
? AB ?β 。

B
C

CD ?β

BE ? CD ? B

1

二面角及二面角的平面角

(1)半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分, 其中的每一部分都叫做一个半平面。 (2)二面角—— 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角。

α
按此继续

l

l

B

∠AOB
O

二面角?-AB- ?

A C

二 面 角 的 认 识

A

二面角C-AB- D
B
D

?

B

?

A

?
l

二面角?- l- ?
? ? ?

5

l

二 面 角 的 平 面 角

以二面角的棱上任意一点为端点,在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 二面角的平面角必须满足:

注 意

1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱 ? A O ? B

? A

l
O
10

? B

二 面 角 的 平 面 角 的 作 法
12

1、定义法

?
A

根据定义作出来

l
O B

?

2、垂面法

作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到

?

l
O

?
B

γ
3、三垂线定理法

A
A

借助三垂线定理或 其逆定理作出来

?
O

D

l

?

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

S

N M D C

A

A

B

B

D
中点

C

端点

寻找平面角
D1 B1 C1 A1

N M D C

E
A

G

F

B

中点

小结:求二面角大小的步骤为:

(1)找出或作出二面角的平面角;
(2)证明其符合定义垂直于棱; (3)计算.