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千题百炼——高考数学100个热点问题(一):第25炼 定积分 Word版含解析


第 25 炼 定积分 一、基础知识 1、相关术语:对于定积分 ? f ? x ? dx a b (1) a, b : 称为积分上下限,其中 a ? b (2) f ? x ? :称为被积函数 (3) dx :称为微分符号,当被积函数含参数时,微分符号可以体现函数的自变量是哪个,例 如: ? ?x b a 2 中 的 被 积 函 数 为 f ? x ? ? x2 ? tx , 而 ? tx ? dx ? ?x b a 2 ? tx ? d t的 被 积 函 数 为 f ?t ? ? xt ? x2 2、定积分 ? f ? x ? dx 的几何意义:表示函数 f ? x ? 与 x 轴, x ? a, x ? b 围成的面积( x 轴上 b a b 方部分为正, x 轴下方部分为负)和,所以只有当 f ? x ? 图像在 ? a, b? 完全位于 x 轴上方时, ? b a f ? x ? dx 才表示面积。? f ? x ? dx 可表示数 f ? x ? 与 x 轴,x ? a, x ? b 围成的面积的总和, a 但是在求定积分时,需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法:高中阶段求定积分的方法通常有 2 种: (1)微积分基本定理:如果 f ? x ? 是区间 ? a, b? 上的连续函数,并且 F ? x ? ? f ? x ? ,那么 ' ? f ? x ? dx ? F ? x ? | ? F ?b ? ? F ? a ? a b a b 使用微积分基本定理,关键是能够找到以 f ? x ? 为导函数的原函数 F ? x ? 。所以常见的初等函 数的导函数公式要熟记于心: f ? x? ? C f ? x ? ? sin x f ? x? ? ax f ? x ? ? loga x f ' ? x? ? 0 f ' ? x? ? c o s x f ' ? x ? ? a x ln a f ' ? x? ? 1 x ln a f ? x ? ? x? f ? x ? ? cos x f ? x ? ? ex f ? x ? ? ln x f ' ? x ? ? ? x? ?1 f ' ? x? ? ? s i n x x f ' ? x? ? e f ' ? x? ? 1 x ① 寻找原函数通常可以“先猜再调” ,先根据导函数的形式猜出原函数的类型,再调整系数, 3 例如: f ? x ? ? x ,则判断属于幂函数类型,原函数应含 x ,但 x 4 ? ? ? 4 x ,而 f ? x ? ? x 4 ' 3 3 , 所以原函数为 F ? x ? ? 1 4 x ? C ( C 为常数) 4 2 ② 如果只是求原函数, 则要在表达式后面加上常数 C , 例如 f ? x ? ? 2x , 则 F ?x ? ?x ? C , 但在使用微积分基本定理时, 会发现 F ?b? ? F ? a ? 计算时会消去 C , 所以求定积分时,F ? x ? 不需加上常数。 (2)利用定积分的几何含义:若被积函数找不到原函数,但定积分所对应的曲边梯形面积易 于求解,则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于 x 轴的下方,则面积 与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质:假设 (1) ? f ? x ? dx, ? g ? x ? dx 存在 a a b b ? b a kf ? x ? dx ? k ? f ? x ? dx a b 作用:

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