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【步步高】高三数学大一轮复习 2.6对数与对数函数教案 理 新人教A版

§2.6 2014 高考会这样考 对数与对数函数 1.考查对数函数的图象、性质;2.对数方程或不等式的求解;3.考查 和对数函数有关的复合函数. 复习备考要这样做 1.注意函数定义域的限制以及底数和 1 的大小关系对函数性质的影 响;2.熟练掌握对数函数的图象、性质,搞清复合函数的结构以及和对数函数的关系. 1. 对数的概念 如果 a =N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中__a__ 叫做对数的底数,__N__叫做真数. 2. 对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN;②loga =logaM-logaN; ③logaM =nlogaM (n∈R);④logamM = logaM. (2)对数的性质 ①alogaN=__N__;②logaa =__N__(a>0 且 a≠1). (3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab 1 ②logab= ,推广 logab·logbc·logcd=logad. logba 3. 对数函数的图象与性质 N n n x M N n m a>1 0<a<1 图象 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 性质 (4)当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 4. 反函数 指数函数 y=a 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线__y=x__对称. [难点正本 疑点清源] 1. 对数值取正、负值的规律 当 a>1 且 b>1 或 0<a<且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时,logab<0. 2. 对数函数的定义域及单调性 对数函数 y=logax 的定义域应为{x|x>0}.对数函数的单调性和 a 的值有关,因而,在 研究对数函数的单调性时,要按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3. 关于对数值的大小比较 (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间量(0 或 1); (4)化同真数后利用图象比较. x (5)当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减 函数 1. (2011·江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是__________. ? 1 ? 答案 ?- ,+∞? ? 2 ? ? 1 ? 解析 函数 f(x)的定义域为?- ,+∞?, ? 2 ? 令 t=2x+1 (t>0). ? 1 ? 因为 y=log5t 在 t∈(0,+∞)上为增函数,t=2x+1 在?- ,+∞?上为增函数,所 ? 2 ? 以函 ? 1 ? 数 y=log5(2x+1)的单调增区间为?- ,+∞?. ? 2 ? 2. 函数 y=loga(x+3)-1 (a>0 且 a≠1)的图象恒过点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 1 2 上(其中 mn>0),则 + 的最小值为________. m n 答案 8 解析 y=loga(x+3)-1 (a>0 且 a≠1)的图象恒过点 A(-2,-1),A(-2,-1)在直 线 mx+ny+1=0 上, 即 2m+n=1. 1 2 ?1 2? n 4m ∴ + =? + ?(2m+n)=4+ + ≥4+2 4=8, m n ?m n? 2 m n 当且仅当 4m =n 时取等号. 3 ( ) A. 1 4 1 B. 2 C.2 D.4 . (2012· 安 徽 )(log29)·(log34) 等 于 2 答案 D lg 9 lg 4 2lg 3·2lg 2 解析 方法一 原式= · = =4. lg 2 lg 3 lg 2·lg 3 log24 方法二 原式=2log23· =2×2=4. log23 4. (2012·重庆)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c=log32,则 a,b,c 的大 小关 系是 A.a=b<c C.a<b<c 答案 B 解析 ∵a=log23+log2 3=log23 3,b=log29-log2 3=log23 3, ∴a=b. 又∵函数 y=logax(a>1)为增函数, ∴a=log23 3>log22=1,c=log32<log33=1,∴a=b>c. 5 . (2011·安徽 ) 若点 (a , b) 在 y = lg x 图象上, a≠1,则下列点也在此图象上的是 ( ) B.a=b>c D.a>b>c ( ) ?1 ? A.? ,b? ?a ? C.? B.(10a,1-b) D.(a 2b) 2, ?10,b+1? ? ?a ? 答案 D 解析 由点(a,b)在 y=lg x 图象上,知 b=lg a. 1 1 ?1 ? 对于 A,点? ,b?,当 x= 时,y=lg =-lg a=-b≠b,∴不在图象上. ?a ? a a 对于 B,点(10a,1-b),当 x=10a 时,y=lg(10a)=lg 10+lg a=1+b≠1-b,∴不 在图 象上. 对于 C,点? ?10,b+1?,当 x=10时,y=lg 10=1-lg a=1-b≠b+1,∴不在图象上. ? a a ?a ? 2, 2 2 对于 D,点(a 2b),当 x=a 时,y=lg a =2lg a=2b, ∴该点在此图象上. 题型一 对数式的运算 例1 计算下列各式: (1)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) ; (2) ?lg 3? -lg 9+1·?lg 27+lg 8-lg 1 000? ; lg 0.3·lg 1.2 2 2 (3)