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一次函数应用题的解题方法


一次函数应用题的解题方法
核心提示:一次函数应用题语言叙述较多,数据量较大,给同学们的审题、解题 带来很多不便,造成的解题失误较多。但是只要掌握了以下 3 种解题方法,任何 与一次函数应用题有关的问题都能迎刃而解。

一.使用直译法求解一次函数应用题 使用直译法求解一次函数应用题
所谓直译法就是将题中的关键语句“译”成代数式,然后找出函数关系、列出一次 函数解析式,从而解决问题的方法。 例题 1.东风商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元,书法练习本每本售价 5 元。 该商场为促销制定了甲、乙两种优惠办法。 甲:买 1 支毛笔就赠送 1 本书法练习本; 乙:按购买金额打 9 折付款。 某校书法兴趣小组打算购买这种毛笔 10 支,这种书法练习本 x(x>=10)本。 (1)分别写出按甲、乙两种优惠办法实际付款金额 y 甲(元)、y 乙(元)与 x 之间的函数关系式。 (2)比较购买不同数量的书法练习本时,按哪种优惠办法付款最省钱。 (3) 如果商场允许既可以选择一种优惠办法购买, 也可以用两种优惠办法购买, 请你就购买这种毛笔 10 支和这种书法练习本 60 本设计一种最省钱的购买方案。 分析:只需根据题意,按要求将文字语言翻译成符号语言,再列出一次函数关系 分析 式即可。 解:(1)y 甲=10×25+5(x-10)=5x+200(x>=10) y 乙=10×25×0.9+5×0.9×x=4.5x+225(x>=10) (2)由(1)有:y 甲-y 乙=0.5x-25 若 y 甲-y 乙=0 解得 x=50 若 y 甲-y 乙>0 解得 x>50

若 y 甲-y 乙<0 解得 x<50 当购买 50 本书法练习本时,按两种优惠办法购买实际付款一样多, 即可任选一种优惠办法付款;当购买本数不小于 10 且小于 50 时, 选择甲种优惠办法付款省钱;当购买本数大于 50 时,选择乙种优惠 办法付款省钱。 (3)设按甲种优惠办法购买 a(0<=a<=10)支毛笔,则获赠 a 本书法练习 本。则需要按乙种优惠办法购买 10-a 支毛笔和(60-a)支书法练习本。 总费用为 y=25a+25×0.9×(10-a)+5×0.9×(60-a)=495-2a。故当 a 最大(为 10)时,y 最小。所以先按甲种优惠办法购买 10 支毛笔 得到 10 本书法练习本,再按乙种优惠办法购买 50 本书法练习本, 这样的购买方案最省钱。 说明:本题属于“计算、比较、择优”型,它运用了一次函数、方程、不等式等知 说明 识,解决了最优方案的设计问题。

二.使用列表法求解一次函数应用题 使用列表法求解一次函数应用题
列表法就是将题目中的各个量列成一个表格,从而理顺它们之间的数量关系,以 便于从中找到函数关系的解题方法。 例题 2.某工厂现有甲种原料 360kg,乙种原料 290kg,计划利用这两种原料生 产 A、B 两种产品,共 50 件。已知:生产一件 A 种产品需用甲种原料 9kg、乙 种原料 3kg,可获利润 700 元;生产一件 B 种产品需用甲种原料 4kg、乙种原料 10kg,可获利润 1200 元。 (1)若安排 A、B 两种产品的生产,共有哪几种方案?请你设计出来。 (2)设生产 A、B 两种产品获得的总利润是 y 元,其中一种产品的生产件数是 x,试写出 y 与 x 之间的函数关系式,并利用函数的性质说明(1)中的哪种生产 方案可以获得最大总利润。最大的总利润是多少? 分析:本题中共出现了 9 个数据,其中涉及甲、乙两种原料的质量,生产 A、B 分析 两种产品的总件数及两种产品所获得的利润等。 为了清楚地整理题目所涉及的各 种信息,我们可采用列表法。 解:(1)设安排生产 A 种产品 x 件,则生产 B 种产品是(50-x)件
产品 每件产品需要甲种原料(kg) 每件产品需要乙种原料(kg) 每件产品利润(元) 件数 A B 9 4 3 10 700 1200 x 50-x

根据题意得: 解不等式组,得 30<=X<=32 因为 x 是整数,所以 x 只可取 30、31、32,相应的(50-x)的值是 20、 19、18。所以,生产的方案有三种:生产 A 种产品 30 件,B 种产 品 20 件;生产 A 种产品 31 件,B 种产品 19 件;生产 A 种产品 32 件,B 种产品 18 件。 (2)设生产 A 种产品的件数是 x,则生产 B 种产品的件数是 50-x。 由题意得:y=700x+1200*(50-x)=-500x+60000(其中 x 只能取 30、31、32) 因为-500<0 所以 y 随 x 的增大而减小,当 x=30 时,y 的值最大 因此,按(1)中第一种生产方案安排生产,获得的总利润最大 最大的总利润是:-500×30+60000=45000(元) 说明:本题是先利用不等式的知识,得到几种生产方案,再利用一次函数性质得 说明 出最佳生产方案。

三.使用图示法求解一次函数应用题 使用图示法求解一次函数应用题
所谓图示法就是用图形来表示题中的数量关系,从而观察出函数关系的解题方 法。此法对于某些一次函数问题非常有效,解题过程直观明了。 例题 3.某市的 C 县和 D 县上个月发生水灾,急需救灾物资 10t 和 8t。该市的 A 县和 B 县伸出援助之手, 分别募集到救灾物资 12t 和 6t, 全部赠给 C 县和 D 县。 已知 A、B 两县运资到 C、D 两县的每吨物资的运费如下表所示:
A县 B县 C 县 40 D 县 50 30 80

(1)设 B 县运到 C 县的救灾物资为 xt,求总运费 w(元)关于 x(t)的函数关 系式,并指出 x 的取值范围; (2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案。 分析:本题的信息量大,数据也较多,为梳理各个量之间的关系,我们可以采用 分析 如下的图示整理信息。

解:(1)w=30x+80(6-x)+40(10-x)+50[12-(10-x)]=-40x+980 自变量 x 的取值范围是:0<=x<=6 (2)由(1)可知,总运费 w 随 x 的增大而减小,所以当 x=6 时,总运费最低。 最低总运费为-40×6+980=740(元)。 此时的运送方案是:把 B 县的 6t 全部运到 C 县,再从 A 县运 4t 到 C 县,A 县 余下的 8t 全部运到 D 县。 说明:本题运用函数思想得出了总运费 w 与 x 的一次函数关系。 说明


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