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浙江省杭州市七校2015-2016学年高二下学期期中考试数学试卷

2015 学年第二学期期中杭州地区七校联考 高二年级数学学科 试题
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

1.
( )





线

y 2 ? 8x

的 C (2,0)











A(—2,0)

B(0,—2)

D (0,2)

2 、 已 知 点 A(? 3 ? 则) 点 A 关 于 原 点 对 称 的 点 的 坐 标 为 , 1 ,, 4 ( ) A. (?3,?1,4) B. (?3,?1,?4) C. (3,1,4) D. (3, ?1, 4)

3 (

、 ) A.4





x2 y2 ? ?1 m2 ? 12 m2 ? 4
C.8









B.2 2

D.与 m 有关

4、下列有关命题的说法正确的是 ( ) A.命题“若 x ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为: “若 x ? 1, 则x ? 1 ” ;
2 2

B. “ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件; C.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为假命题;
2

D.命题“若 x ? y ? 0 ,则 x 、 y 不全为零”的否命题为真命题.
2 2

x2 y 2 5、设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,过点 F2 的直线交双曲 a b
线右支于不同的两点 M 、 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.

N .若△ MNF 1 为正三角形,则该双曲线的离心率为

3 3

6 、 不 等 式 | 2 x ? 5 |? 7 成 立 的 一 个 必 要 而 不 充 分 条 件 是 ( ) A. x ? 0 B. x ? ?6 C. x ? ?6或x ? 1 D. x ? 1

E 是棱 A1B1 的中点,则 A1B 与 D1E 所成角的余弦值 7 、正方体 ABCD? A 1 B 1C 1 D 1 中,
( )
1

A.

5 10

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

8、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正 弦 值 为 ( ) A.

6 3
D1

B.

2 6 5
C1

C.

15 5
D1 A1

D.

10 5
C1

B1

A1

B1

D A B

C
A

D P M B

C

(第 8 题)

(第 9 题)

9、 如图, 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 2, 点 P 是平面 ABCD 上的动点, 点 M 在棱 AB 上, 且 AM ?

1 ,且动点 P 到直线 A1 D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 4,则动点 3

P 的轨迹是
( ) A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线

x2 10、过 M(-2,0)的直线 m 与椭圆 +y2=1 交于 P1,P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 2 m ( 的 斜 率 为 ) 1 A.- 2 B.-2 1 C. 2 D.2 k1(k1≠0) , 直 线 OP 的 斜 率 为 k2 , 则 k1k2 的 值 为

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11 、 命 题 “ 存 在 实 数 x , 使 x ? 1 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。” 的 否 定 是 . 12 、已知点 P 到点 F (3, 0) 的距离比它到直线 x ? ?2 的距离大 1 ,则点 P 满足的方程 为 .
2

13、M 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点,F1 、F2 是椭圆的两个焦点,?F1MF2 ? 60 , 则 ?F 1MF 2 25 9


的面积等于
2

14、已知椭圆 C:

x 3 2 ? y 2 ? 1,斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,且 AB ? , 3 2
. .

则直线 l 的方程为

15、 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 若 AB=2, A A1=1, 则点 A 到平面 A1BC 的距离为 16、已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) , | ? a ? b |?

29 且 ? ? 0 ,则

?=

.

2 17 、 抛 物 线 y ? 2 x 上 两 点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 关 于 直 线

y ? x?m

对称,且

1 x1 ? x 2 ? ? ,则 m 等于 2
三、解答题(本题共 5 小题,共 52 分)

18、(本题满分 8 分)已知双曲线与椭圆 线方程.

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲 3 49 24

19、(本题满分 10 分)设命题 p : “对任意的 x ? R, x ? 2 x ? a ” ,命题 q : “存在 x ? R ,
2
2 使 x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” 。如果命题 p ? q 为真,命题 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。

20、(本题满分 10 分)已知 a ? (1, 2,3), b ? (1,01) , c ? a ? 2b, d ? ma ? b, 求实数 m 的值,

3

使得(1) c ? d

(2) c / / d

21、 (本题满分 10 分)已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F(1,0), O 为坐标原点, A、 B 是抛物线 C 上异于 O 的两点。 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若 OA ? OB ,求证直线 AB 过定点。

22、 (本题满分 14 分) 如图所示, 在四棱锥 P ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AD⊥AB, AB∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点 E 为棱 PC 的中点. (1)证明:BE⊥DC; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF⊥AC,求二面角 F AB P 的余弦值.

4

2015 学年第二学期期中杭州地区七校联考 高二年级数学学科参考答案
一、选择题(本题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)

题 号 答 案

1 C

2 A

3 C

4 D

5 B

6 A

7 B

8 D

9 B

10 A

二、填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11、对任意的 x ,都有 x ? 1 15、
3 2

12、 y 2 ? 12 x

13、 3 3

14、 y ? x ? 1.

16、3

17、1

三、解答题(本题共 5 小题,共 52 分) 18、(本题满分 8 分) 解:由椭圆

x2 y2 ? ? 1 ? c ? 5 .…………………………………………………………2' 49 24

设双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,…………………………………………………3' a 2 b2

4 2 2 由渐近线为 y ? ? x ,则 b ? 4 , 又 a ? b ? 25 ……………………………………………5' 3
a 3

得 a 2 ? 9, b2 ? 16

……………………………………………………………………………7'

2 2 故所求双曲线方程为 x ? y ? 1 ……………………………………………………………8' 9 16 19、(本题满分 10 分)

2 解:P: x ? 2 x ? a 对任意的 x ? R 恒成立,

令 t ? x 2 ? 2x ? ?x ? 1? ? 1
2

? t min ? ?1 ………………………………………2'
? a ? ?2或a ? 1……………………………5'

? a ? ?1 …………………………………………………………………………………3'

q : ? ? 4a 2 ? 4 ? ?2 ? a? ? 0

命题p ? q为真,p ? q为假, 则p, q中 一 真 一 假 ………………………………7'

? p真 ? a ? ?1 ?? ? ?2 ? a ? ?1 …………………………………………………8' ? ? q假 ?? 2 ? a ? 1

5

或?

? p假 ? a ? ?1 ?? ? a ? 1 …………………………………………………9' ? q真 ?a ? ?2或a ? 1

? a的取值范围为? 2 ? a ? ?1或a ? 1 ………………………………………………10'

20、 (本题满分 10 分) 解: (1) c ? ?1,2,3? ? 2?1,0,1? ? ?? 1,2,1? ………………………………………………2'

d ? m?1,2,3? ? ?1,0,1? ? ?m ? 1,2m,3m ? 1? ……………………………………4' c ? d ? ?? 1??m ? 1? ? 4m ? 3m ? 1 ? 0
……………………………………6'

? m ? 0 ………………………………………………………………………7'
(2) c // d

d ? ?c

?

m ? 1 2m 3m ? 1 ? ? ………………………………9' ?1 2 1

?m ?

1 …………………………………………………………………………10' 2

21、 (本题满分 10 分) 解: (1)依题意知

p ? 1 , p ? 2, 抛物线方程为 y 2 ? 4x. ………………………………4' 2

(2) 依题意知,设AB:x ? ty ? m , A?x1 , y1 ?, B( x2 y2 ) ……………………………5' 由 OA ? OB ,则 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

(1) …………………………………6'

? y 2 ? 4x 由? , 则y 2 ? 4ty ? 4m ? 0 ,………………………………………………………7' ? x ? ty ? m
y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?4m, x1 x2 ? ? ? m2 ……………………………………………………8' 4 4

代入( 1 )式,得m2 ? 4m ? 0,? m ? 0或4. ……………………………………………9'

6

因此m ? 4. ? A, B是抛物线上异于 O的两点, ? m ? 0不合题意。

? AB : x ? ty ? 4,?直线AB过定点( 4, 0) . ……………………………………………10'

22、解:方法一:依题意,以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图所示),可得 B(1,0,0), C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).C 由 E 为棱 PC 的中点,得 E(1,1,1).

(1)证明:向量 BE =(0,1,1), DC =(2,0,0), 故 BE ? DC =0, 所以 BE⊥DC. ………………………………………………………………………………4' (2)向量 BD =(-1,2,0), PB =(1,0,-2). 设 n=(x,y,z)为平面 PBD 的法向量,

则?

? ?n ? BD ? 0 ? ?n ? PB ? 0

?? x ? 2 y ? 0 即? ?x ? 2z ? 0

不妨令 y=1,可得 n=(2,1,1)为平面 PBD 的一个法向量.于是有
7

cos n, BE =

n ? BE n BE



2 3 = , 6× 2 3 3 .………………………………………8' 3

所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为

(3) 向量 BC =(1,2,0), CP =(-2,-2,2), AC =(2,2,0), AB =(1,0,0). → 由点 F 在棱 PC 上,设 CF =λCP,0≤λ≤1. → 故 BF = BC + CF = BC +λCP=(1-2λ,2-2λ,2λ).由 BF⊥AC,得 BF ? AC =0, 1 1 3 3 - , , ?.设 n1=(x,y,z)为平面 FAB 因此 2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得 λ= ,即 BF =? ? 2 2 2? 4

?x ? 0 ? ?n1 ? AB ? 0 ? 的法向量, 则 ? 即? 1 不妨令 z=1,可得 n1=(0,-3,1)为平 3 ? x? y? z ?0 ? ?n1 ? BF ? 0 ? ? 2 2
面 FAB 的一个法向量.取平面 ABP 的法向量 n2=(0,1,0),则 n1·n2 -3 3 10 cos〈n1,n2〉= = =- . 10 |n1|·|n2| 10×1 3 10 易知二面角 F -AB -P 是锐角,所以其余弦值为 .…………………………………… 10 14' 方法二:(1)证明:如图所示,取 PD 中点 M,连接 EM,AM.由于 E,M 分别为 PC,PD 1 的中点,故 EM∥DC,且 EM= DC.又由已知,可得 EM∥AB 且 EM=AB,故四边形 ABEM 2 为平行四边形,所以 BE∥AM. 因为 PA⊥底面 ABCD,故 PA⊥CD,而 CD⊥DA,从而 CD⊥平面 PAD.因为 AM?平面 PAD,所以 CD⊥AM.又 BE∥AM,所以 BE⊥CD.

…………………………………………4' (2)连接 BM,由(1)有 CD⊥平面 PAD,得 CD⊥PD.而 EM∥CD,故 PD⊥EM.又因为 AD

8

=AP, M 为 PD 的中点, 所以 PD⊥AM, 可得 PD⊥BE, 所以 PD⊥平面 BEM, 故平面 BEM⊥ 平面 PBD, 所以直线 BE 在平面 PBD 内的射影为直线 BM.而 BE⊥EM, 可得∠EBM 为锐角, 故∠EBM 为直线 BE 与平面 PBD 所成的角. 依题意,有 PD=2 2,而 M 为 PD 中点,可得 AM= 2,进而 BE= 2.故在直角三角 EM AB 1 3 形 BEM 中,tan∠EBM= = = ,因此 sin∠EBM= , BE BE 3 2 所以直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值为 3 .…………………………………………8' 3

(3)如图所示,在△PAC 中,过点 F 作 FH∥PA 交 AC 于点 H.因为 PA⊥底面 ABCD,所 以 FH⊥底面 ABCD,从而 FH⊥AC.又 BF⊥AC,得 AC⊥平面 FHB,因此 AC⊥BH.在底面 ABCD 内,可得 CH=3HA,从而 CF=3FP.在平面 PDC 内,作 FG∥DC 交 PD 于点 G,于 是 DG=3GP.由于 DC∥AB, 故 GF∥AB, 所以 A, B, F, G 四点共面. 由 AB⊥PA, AB⊥AD, 得 AB⊥平面 PAD,故 AB⊥AG,所以∠PAG 为二面角 F AB P 的平面角. 1 2 10 在△PAG 中,PA=2,PG= PD= ,∠APG=45°.由余弦定理可得 AG= ,cos 4 2 2 ∠ PAG = 3 10 , 所 以 二 面 角 10 F - AB - P 的 余 弦 值 为

3 10 .…………………………………………………14' 10

9


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