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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第3篇 第2讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式


第2讲 同角三角函数的 基本关系式与诱导公式
[最新考纲] sin α 1.理解同角三角函数的基本关系式:sin α+cos α=1, cos α
2 2

=tan α. π 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± α,π±α 的正弦、 2 余弦、正切的诱导公式.

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知识梳理 1.同角三角函数的基本关系
2α+cos2α=1 (1)平方关系:sin ________________. sin α =tan α cos α (2)商数关系:_____________.

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2.三角函数的诱导公式

公式 角 正弦 余弦 正切 口诀

一 2kπ+α (k∈Z) sin α cos α tan α

二 π+α

三 -α

四 π-α
sinα -cosα -tanα

五 π 2-α
cosα sinα

六 π 2+α
cosα -sinα

-sinα -sinα -cosα tanα cosα -tanα

函数名不变,符号看象限

函数名改变, 符号看象限

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3.特殊角的三角函数值
角α 角α的 弧度数 sin α cos α tan α 0° 30° 0 0 1 0 π 6 1 2 3 2 3 3 45° π 4 2 2 2 2 1 60° 90° 120° 150° 180° π 3 3 2 1 2 3 π 2 1 0 2π 3 3 2 1 - 2 5π 6 1 2 - 3 2 π 0 -1 0

3 - 3 - 3

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辨析感悟 1.对三角函数关系式的理解

(1)若α,β为锐角,sin2 α+cos2β=1.
(2)若α∈R,则tan α=恒成立.

( ×)
( ×)

?π ? 4 3 ? ? (3)(教材练习改编)已知sin α= ,α∈ 2,π ,则cos α= . ( ×) 5 5 ? ?

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2.对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角α可以是任意角. ( √ )

(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其 π 中的奇、偶是指 2 的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称 的变化. (6)角π+α和α终边关于y轴对称. ( √) ( ×)

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3.诱导公式的应用 1 1 (7)若cos(nπ-θ)=3(n∈Z),则cos θ=3.
?5π ? 1 (8)(2013· 广东卷改编)已知sin? 2 +α?=5,则cos ? ?

(×) 1 × α=-5. ( )

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[感悟· 提升] 1.一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且 π 商数关系式中α≠ +kπ,k∈Z,如(1)、(2). 2 2.两个防范 一是利用平方关系式解决问题时,要注意开方运 算结果的符号,需要根据角α的范围确定,如(3);二是利用 诱导公式化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐 角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名 称和符号的确定.

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考点一 同角三角函数基本关系式的应用 2sin α-3cos α 【例 1】 (1)已知 tan α=2,则 =____________, 4sin α-9cos α 4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 西工大附中模拟)已知 sin θ· cos θ= ,且 <θ< , 8 4 2 则 cos θ-sin θ 的值为________.

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2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 解析 (1) = = =-1, 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2 2 4sin α - 3sin α cos α - 5cos α 2 2 4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2 α+cos2α

4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1

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π π (2)当 <θ< 时,sin θ>cos θ,∴cos θ-sin θ<0, 4 2 1 3 又(cos θ-sin θ) =1-2sin θcos θ=1- = , 4 4
2

3 ∴cos θ-sin θ=- . 2

3 答案 (1)-1 1 (2)- 2

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规律方法

(1)应用公式时注意方程思想的应用,对于sin

α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin
α±cos α)2=1±2sin αcos α可以知一求二. (2) 关于 sin α , cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式 子.

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1 【训练 1】 (1)已知 sin α+cos α= ,0<α<π,则 tan α= 5 ______. (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________.

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解析 (1)法一 联立方程 1 ? ?sin α+cos α= , 5 ? 2 2 ? ?sin α+cos α=1, ① ②

1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0. 4 ? ?sin α=5, 又 0<α<π,∴? ?cos α=-3, 5 ? 4 ∴tan α=-3.

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?1? 1 2 法二 ∵sin α+cos α=5,∴(sin α+cos α) =?5?2, ? ? 1 24 即 1+2sin αcos α=25,∴2sin αcos α=-25, 24 49 2 ∴(sin α-cos α) =1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=- <0 且 0<α<π, 25

∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α= , 5 1 ? ?sin α+cos α=5, 由? ?sin α-cos α=7, 5 ? 4 ? ?sin α=5, 得? ?cos α=-3, 5 ?
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4 ∴tan α=-3.
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(2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β, tan2α=9tan2β, 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β, ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos α+sin α=1,∴cos α= ,即 cos α=± . 8 4 4 6 答案 (1)-3 (2)± 4
2 2 2

① ② ③

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考点二 【例 2】

利用诱导公式化简三角函数式

(1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° ) =________. 2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? (2)设 f(α)= ?3π ? ? ? 2 2 π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ? (1+2sin α≠0),则
? 23π? f?- 6 ?=________. ? ?

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解析 (1)原式=-sin 1 200° cos 1 290° -cos 1 020° sin1 050° =- sin(3×360° + 120° )cos(3×360° + 210° ) - cos(2×360° +300° )sin(2×360° +330° ) =-sin 120° cos 210° -cos 300° sin 330° = - sin(180° - 60° )cos(180° + 30° ) - cos(360° - 60° )· sin(360° -30° )=sin 60° cos 30° +cos 60° sin 30° 3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2=1.

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?-2sin α??-cos α?+cos α (2)∵f(α)= 1+sin2α+sin α-cos2α 2sin αcos α+cos α cos α?1+2sin α? 1 = = = , 2sin2α+sin α sin α?1+2sin α? tan α
? 23π? ∴f?- 6 ?= ? ? ? 23π?= ? π? tan?- 6 ? tan?-4π+6? ? ? ? ?

1

1

= π= 3. tan 6
答案 (1)1 (2) 3

1

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规律方法 (1)诱导公式应用的原则:负化正、大化小,化 到锐角为终了. (2)诱导公式应用的步骤: 任意负角的三角函数 → 任意正角的三角函数 → 0~2π的角的三角函数 → 锐角三角函数 注意:诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的 符号.

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【训练 2】 (1)sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+ tan(-1 089° )tan(-540° )=________.
? 3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ?

(2)化简:

cos?-α-3π?sin?-3π-α?

=________.

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解析 (1)原式=(-sin 1 071° )· sin 99° +sin 171° · sin 261° +tan 1 089° · tan 540° =-sin(3×360° -9° )sin(90° +9° )+sin(180° -9° )· sin(270° -9° )+tan(3×360° +9° )· tan(360° +180° ) =sin 9° cos 9° -sin 9° cos 9° +tan 9° · tan 180° =0+0=0.

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tan αcos (2)原式=

? ? π ?? αsin?-2π+?α+2?? ? ? ??

cos?3π+α?[-sin?3π+α?]
?π ? αsin?2+α? ? ?

tan αcos = ?-cos α?sin α

tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α

tan αcos α sin α cos α =- sin α =-cos α· sin α =-1.
答案 (1)0 (2)-1

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考点三 利用诱导公式求值 【例 3】 (1)已知 (2)已知
?π ? 1 sin?3-α?= ,则 ? ? 2 ?π ? cos?6+α?=______; ? ?

?π ? tan?6-α?= ? ?

?5 ? 3 ? π+α?=________. ,则 tan 3 ?6 ?

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解析

?π ? ?π ? π (1)∵?3-α?+?6+α?=2, ? ? ? ?

?π ?π ?? ?π ? ?π ? 1 ? ? ∴cos?6+α?=cos?2-?3-α??=sin?3-α?=2. ? ?? ? ? ? ? ? ?π ? ?5π ? ?5 ? (2)∵?6-α?+? 6 +α?=π,∴tan?6π+α?= ? ? ? ? ? ? ? ?5 ?? ?π ? -tan?π-?6π+α??=-tan?6-α?=- ? ? ?? ? ?

3 3.

1 3 答案 (1)2 (2)- 3

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规律方法 巧用相关角的关系会简化解题过程.常见的互 π π π π π π 余关系有3-α 与6+α;3+α 与6-α;4+α 与4-α 等,常 π 2π π 3π 见的互补关系有3+θ 与 3 -θ;4+θ 与 4 -θ 等.

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【训练 3】 (1)已知

?7π ? 2 sin?12+α?=3, 则 ? ?

? 11π? cos?α- 12 ?=________; ? ?

1 (2)若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________.

解析

? ?11π ? ? ?π ?? 11π? (1)cos?α- 12 ?=cos? 12 -α?=cos?π-?12+α?? ? ? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?12+α?, ? ?



?π ? π ?? ?7π ? ?π ? 2 ? ? sin?12+α?=sin?2+?12+α??=cos?12+α?= , ? ?? ? ? ? ? 3 ? ? 11π? 2 cos?α- 12 ?=-3. ? ?

所以

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1 (2)因为 tan(π+α)=tan α=-2, 1 所以 tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α= . 2

2 1 答案 (1)-3 (2)2

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1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影 响,尤其是利用平方关系在求三角函数值时,进行开方时要根 据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时, sin x 常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan x= 化成正 cos x 弦、余弦函数;(2)和积转换法:如利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2 θ+ π cos θ=cos θ(1+tan θ)=tan =?. 4
2 2 2
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方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 【典例】 (2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π), 则 tan α= A.-1 2 C. 2 2 B.- 2 D.1 ( ).

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[一般解法]

? ?sin α-cos α= 2, 由? 2 2 ? ?sin α+cos α=1,

得:2cos2α+2 2cos α+1=0,
?2 ? =0,∴cos α=- 2cos α + 1 即 ? ? ? ?

2 . 2

3π 3π 又α∈(0,π),∴α= ,∴tan α=tan =-1. 4 4

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[优美解法] 法一 所以
? π? 2sin?α-4?= ? ?

因为sin α-cos α= 2,
? π? 2,所以sin?α-4?=1. ? ?

3π 因为α∈(0,π),所以α= 4 ,所以tan α=-1. 法二 因为sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 3π sin 2α=-1.因为α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以2α= ,所以 2 3π α= 4 ,所以tan α=-1.

答案 A
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[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式,特别

是要注意公式中的符号问题;
(2) 注意公式的变形应用,如 sin2α = 1 - cos2α , cos2α = 1 - sin2α,1=sin2α+cos2α及sin α=tan α·cos α等.这是解题中 常用到的变形,也是解决问题时简化解题过程的关键所 在.

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【自主体验】 π? 4? (2013· 宝鸡中学模拟)已知 sin θ+cos θ= ?0<θ<4?, 则 sin 3? ? θ-cos θ 的值为 2 A. 3 1 C. 3 2 B.- 3 1 D.- 3 ( ).

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π 解析 法一 ∵0<θ<4,∴cos θ>sin θ, 16 又(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ= 9 ,
2

7 ∴2sin θcos θ=9, 7 2 ∴(sin θ-cos θ) =1-2sin θcos θ=1-9=9,
2

2 ∴sin θ-cos θ=- . 3

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? π? 4 法二 ∵sin θ+cos θ= ,且 θ∈?0,4?. 3 ? ? ? π? 4 π ?π π ? ∴θ+4∈?4,2?,sin θ+cos θ= 2sin ?θ+4?=3, ? ? ? ?

即 又

? π? 2 2 sin?θ+4?= , 3 ? ? ? π? cos?θ+4?= ? ?

1-sin

2

? π? ?θ+ ?= 4? ?

?2 2? ? ?2 1 1-? ? =3, 3 ? ? ? π? 2cos?θ+4?=- ? ?

∴sin θ-cos θ=-(cos θ-sin θ)=-
答案 B

2 . 3

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