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河北省衡水中学11-12学年高一下学期三调考试数学理试题

2011—2012 学年度第二学期三调考试 高一年级数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的

序号填涂在答题卡上) 1、cos600°的值等于( ). A.

3 2

B.-

1 2


C. ?

2 2

D.-

3 2

2、下列命题中,正确的是( A. a? b ? a b
? ?
? ? ? ?

? ?

?

B.对于任意向量 a , b , 有
? ? ? ?
? ?

a ? b ? a? b
? ? ?

?

?

?

C.若

a ? b ,则 a ? b 或 a ? ? b

?

D.对于任意向量 a , b , 有

a? b ? a? b

3、设 a ?

1 3 2 tan 13? 1 ? cos 50? cos 6? ? sin 6?, b ? ,c? ,则 a、b、c 的大小顺序是( ) 2 2 2 2 1 ? tan 13?
B. a ? c ? b ) C. b ? a ? c D. b ? c ? a

A. a ? b ? c

4、记 cos(?80?) ? k , 那么 tan 80? = (

A.

1? k 2 k

B. ?

1? k 2 k

C.

k 1? k 2

D. ?

k 1? k2

5、若 0<?<

?
2

? 1 ? ? ? ? 3 , - <?<0 , cos( ? ? ) ? , cos( ? ) ? ,则 cos(? ? ) ? ( 2 2 4 3 4 2 3



A.

3 3

B. ?

3 3

C.

5 3 9

D. ?
?

6 9
? ? ? ?

6、设平面上有四个互异的点 A、B、C、D,已知 ( DB ? DC ? 2 DA) ? ( AB ? AC ) ? 0, 则△ABC 的形 状是( ) A.直角三角形 形 7、已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0, | ? |? (部分)如图所示,则 f (x) 的解析式是 A. f ( x) ? 2 sin(?x ? C. f ( x) ? 2 sin(?x ?
?

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角

?
2

)的图象

(

)

? ?
6 3

)( x ? R) )( x ? R)
?

B. f ( x) ? 2 sin( 2?x ? D. f ( x) ? 2 sin( 2?x ?

? ?
6 3

)( x ? R) )( x ? R)
? ?

8、设向量 a ? (cos 55?, sin 55?), b ? (cos 25?, sin 25?), 若 t 是实数,则 a ? t b 的最小值为( )

A.

2 2

B. 2

C. 1
? ? ?

D.
?

1 2


9、设 O 为△ABC 的外心,平面上的点 P 使 OP ? OA? OB ? OC ,则点 P 是 △ABC 的( A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心

10、 扇形 OAB 的半径为 2, 圆心角 ?AOB ? 600 , D 是弧 AB 的中点, C 在线段 OA 上, OC ? 点 点 且 则 CD? OB 的值为( A. 2 3
? ?

3,

?

?

) B. 3 3
? ?

C. 3
? ? ? ? ?

D. 2 )

2 b c b 11、已知方程 a x ? b x ? c ? 0 , 其中 a 、 、 是非零向量,且 a 、 不共线,则该方程(

A.至少有一个解 C.至多有两个解

B.至多有一个解 D.可能有无数个解

12、如图,半径为 2 的⊙ M 切直线 AB 于 O 点,射线 OC 从

OA 出发绕着 O 点顺时针方向旋转到 OB .旋转过程中, OC 交⊙ M 于 P,记 ?PMO 为 x ,弓形 PNO 的面积为
S ? f (x) ,那么 f (x) 的图象是(


A

B

C

D 共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题
二、

填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上)

13、已知点 A(1,1)、B(2,3),在直线 AB 上取一点 P,使 AP ? 2 PB , 则 P 点坐标为_________.

n ? 14 、 已 知 t a ? , t a n 是 方 程 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的 两 根 , 且 0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? , 则

? ? ? ? _____.
15、观察以下各式: sin 2 10o ? cos 2 40o ? sin 10o cos 40o ?

3 4 3 sin 2 30o ? cos 2 60o ? sin 30o cos 60o ? 4 3 sin 2 45o ? cos 2 75o ? sin 45o cos 75o ? 4
.
?

分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的一个等式 16、如图,点 O 为△ ABC 的边 BC 的中点,若 AP ?
?

3 ? AO , 4
?

过 P 任作一直线交 AB , AC 分别于 M , N ,且 AB ? u AM ,

AC ? ? AN , 则 ? ? u ?

?

?

三、

解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,17 题 10 分,其余每个均 12 分,解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤,写在答题纸的相应位置) 17、 (满分 10 分) (1)求 sin 50o (1 ? 3 tan10o ) 值; (2)求证 cos 2 ? ? cos 2 (? ? ? ) ? 2 cos ? cos ? cos(? ? ? ) 的值与 ? 无关。

18、 (满分 12 分) 已知 O(0,0) ,A(3,0),B(0,3), C (cos ? , sin ? ) (1) AC ? BC ? ?1 ,求 sin 2? 的值; (2)若 | OA ? OC |? 13 ,有 ? ? (0, ? ) ,求 OB 与 OC 的夹角.

19、 (满分 12 分) 如图:在平面直角坐标系中 C(-3,4),点 B 在第三象限,

C

y

BC 交 x 轴于点 A, ?BOC ? 120? , | BC |? 7 ,
(1)求 |OB | ; (2)记 ?AOC ? ? , , ?BOA ? ? .( ? , ? 为锐角),求 sin ? 的值. A B o x

20、 (满分 12 分) 如图,在Δ ABC 中, | AB |? 3,| AC | ? 1, l 为 BC 的垂直平分线且交 BC 于点 D,E 为 l 上异于 D 的任 意一点,F 为线段 AD 上的任意一点。 (1)求 AD ? ( AB ? AC ) 的值; (2)判断 AE ? ( AB ? AC ) 的值是否为一常数,并说明理由; (3)若 AC ? BC , 求 AF ? (FB ? FC ) 的最大值。

????

???? ??? ???? ?

??? ??? ???? ? ?

??? ??? ??? ? ? ?

21、 (满分 12 分) 已知向量 a ? (cos

?

? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2
? ?

(Ⅰ) a ? b 及 | a ? b | ; (Ⅱ)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

22、 (满分 12 分) 已知向量 a ? (sin x, cos x), b ? ( 3 cos x, cos x) 且 b ? 0 ,函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1 (1)求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间; (2)若 a // b ,分别求 tan x 及

cos 2 x 的值 f ( x) ? 1

2011—2012 学年度第二学期三调考试 高一年级数学(理科)试卷答案
一、B B B A C B AD BC B A 14、

二、13、 ( , ) 或(3,5) ;

5 7 3 3

5? ; 6

3 , 4 (形式不唯一)本题是开放型问题,反应一般规律的等式还可以是 3 sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? , 其中? - ? ? 30o 4 3 sin 2 (30o ? ? ) ? cos 2 ? ? sin(30o ? ? ) cos ? ? 等等 4
15、答案: sin 2 ? ? cos 2 (? ? 30o ) ? sin ? cos(? ? 30o ) ? 16、

8 3

17、解:

sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? sin 50o
(1)

(cos10o ? 3 sin 10o ) cos 10o
…………5 分

?

sin 50o 2 sin 40o sin 80o ? ?1 cos 10o cos 10o

(2) cos 2 ? ? cos 2 (? ? ? ) ? 2 cos ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin 2 ? (提示:利用公式化为单角的三角函 数)…………10 分. 18、解

19、解(1)∵C(-3,4),∴|OC|=5,在三角形 OBC 中, BC ? OC ? OB ,所以 | BC |?| OC ? OB | ,即

| BC | 2 ?| OC | 2 ? | OB | 2 ?2 | OB | ? | OC | cos 120o
解得 | OB |? 3 ,……………6 分

4 3 , cos ? ? ,又 ? ? 1200 ? ? , 5 5 4?3 3 所以 sin ? ? sin(120 0 ? ? ) ? sin 120 0 cos ? ? cos 120 0 sin ? ? . ………12 分 10
(2)由三角函数定义知 sin ? ? 20、 (1) AD ? ( AB ? AC ) ?

? ? ? 1 ??? ???? ??? ???? 1 ??? 2 ???? 2 ( AB ? AC ) ? ( AB ? AC ) ? (| AB | ? | AC | ) ? 4 2 2 ??? ??? ???? ? ? ???? ???? ??? ???? ? (2) AE ? ( AB ? AC ) ? ( AD ? DE ) ? ( AB ? AC ) ???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? ??? ???? ? ? ? ? AD?? ( AB?? AC ) ? DE ? ( AB ? AC??? AD ? ( AB ? AC ) ? 4 ??? ??? ???? ???? ???? ) ? ???? ? (2) AE ? ( AB ? AC ) ? ( AD ? DE ) ? ( AB ? AC ) (3)当AC ? BC时, BC ? 2 ??? AD ? 3???? ??? ???? ???? ??? ???? ???? 2, ???? ? ? ? ??? ? ( ? ? AC ? DE ( AB ???) ? AD ? ? ? ? ? AD ??? ??? ) ??? ???? ? AC? ? ?? ? ( AB ? AC ) ? 4 AB ? AF ? ( FB ? FC ) ? AF ? 2 FD ? 2( AF ? FD ) ? ? ? (3)当??? ? BC时, BC ? 2??? AD?? 3 AC ??? 2, ??? ? 2 | AF?|| FD? cos???? 2 |??? || FD |? ??? 0? AF ??? ??? ???| ? ? ??? ? ??? ? ??? ? AF ? ( FB ? FC ) ? AF ? 2 FD ? 2( AF ? FD ) 设 | AF?|? ??? | FD |? 3???x ??? ?? ??? x, 则 ? ? ? 2 | ? ???FD??? 0 ? 2 | AF || FD | AF || ? | cos ??? ? ? 3 2 3 ??? ? AF ??( FB ?则 | ??? |2 x( 33 ? x) ? ?2( x ? )? ) ? 设 | AF |? x, FCFD ? ?x 2 2 ??? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ? ??? ? ? 3 3 AF ( 3 时, AF ? FB ? 的最大值为 3) 2 ? ?当x ?? FB ? FC ) ? (2 x( ?3FCx)) ? ?2( x ? 22 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? 3 3 ?当x ? 时, AF ? ( FB ? FC )的最大值为 2 2

???? ??? ???? ?

(评分标准(1)3 分(2)4 分(3)5 分) 21、解: (Ⅰ) a·b= cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x, 2 2 2 2

………2 分

| a+b|= (cos

3 x 3 x x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos 2 x ? 2 cos2 x 2 2 2 2

∵ x ? [0,

?
2

] , ∴ cos x ? 0, ∴|a+b|=2cosx.

………5 分

(Ⅱ) f ( x) ? cos2 x ? 4? cos x, 即 f ( x) ? 2(cos x ? ? ) ? 1 ? 2? .
2 2

--------------7 分

∵ x ? [0,

?
2

] , ∴ 0 ? cos x ? 1.

1?、 当? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0时, f ( x) 取得最小值-1,这与已知矛盾.
1??、 当0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ?时, f ( x) 取最小值 ? 1 ? 2?2 .
由已知得 ? 1 ? 2? ? ?
2

3 1 ,解得 ? ? . 2 2

1???、 当? ? 1时,当且仅当 cos x ? 1时, f ( x) 取得最小值 1 ? 4? ,
由已知得 1 ? 4? ? ?

3 5 ,解得 ? ? ,这与 ? ? 1 相矛盾. 2 8

综上所述, ? ?

1 为所求.--------------12 分 2
?
6 ) ?1

22、解(1) f (x ) ? 2a ? b ? 1 ? 2( 3 cos x sin x ? cos 2 x ) ? 1 ? 2 sin(2x ? 所以最小正周期是 ? ,单调增区间

? ?? ? k? ? , k? ? ? ? 3 6? ?
? 3,
?? 1 4

(2) 由 a // b 得 sin x cos x ? 3 cos 2 x ,所以 cos x ? 0 (舍)或 tan x 所原式以 =

cos 2x 2( 3 cos x sin x ? cos x )
2

?

cos 2 x ? sin 2 x 2( 3 cos x sin x ? cos x )
2

?

1 ? tan 2 x 2( 3 tan x ? 1)


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