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定积分第二节


calculus

§7.2 定积分的基本性质
性 质 1: 定 积 分 的 值 与 积 分 变 量 的 记 号 无 关 , 即 a

?

b a

f ( x)dx ?

?

b a

f (t ) d t ?

?

b

f (u ) d u
a

性 质 2: 常 数 因 子 可 以 提 到 积 分 号 外 面 , 即 若 k 为 常 数

?

b a

kf ( x ) d x ? k ? f ( x ) d x
a

b

calculus

性 质 3: 两 个 函 数 代 数 和 的 定 积 分 等 于 它 们 的 定 积 分 的代数和,即

?

b a

[ f ( x ) ? g ( x )] dx ?

?

b a

f ( x ) dx ? ? g ( x ) dx
a

b

性 质 4: 交 换 定 积 分 的 上 下 限 , 定 积 分 的 值 变 号 , 即

?

b a

f ( x)dx ? ? ?

a

f ( x)dx
b

calculus

“性质3的证明”:由定积分的定义,

? ?

b a

f ( x ) d x ? lim g ( x ) d x ? lim

?x? 0

?
n i ?1

n

f (? i ) ? x i , ) ? xi ,

i ?1

b a

?x ? 0

? g (?

i

所以

?

b a

f ( x)dx ?

?
n

b a

g ( x ) d x ? lim

?x? 0

?

n

f ( ? i ) ? x i ? lim
b

i ?1

?x? 0

? g (?
i ?1

n

i

) ? xi

? lim

?x ? 0

? ? f (?
i ?1

i

) ? g ( ? i ) ?? x i ?

? ? f ( x ) ? g ( x ) ?d x
a

calculus

性 质 5: (定 积 分 的 区 间 可 加 性 )对 于 任 意 点 c, 均 有

?

b a

f ( x)dx ?

?

c a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx
c

b

y 性 质 6 : 如 果 在 区 间 [ a , b ]上 , f ( x ) ? 1, 则

?

b a

1d x ?

?

b a

dx ? b ? a

A 1

A3

a

c

A2

d

b x

y? f(x)

calculus

补充:不论 a , b , c 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 a ? b ? c,

?a

c

f ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx ?

?b

c

f ( x ) dx



?a

b

f ( x ) dx ?
?

?a

c

f ( x ) dx ?
f ( x ) dx ?

?b

c

f ( x ) dx
f ( x ) dx .

?a

c

?c

b

(定积分对于积分区间具有可加性)

calculus

性质7

如果在区间[ a , b ] 上 f ( x ) ? 0 ,
则 ? f ( x )dx ? 0 .
a b

(a ? b )



? f ( x ) ? 0, ? f (? i ) ? 0,

( i ? 1,2 ,? , n )

? ? xi ? 0,

?

?

n

f (? i )? x i ? 0,

i ?1

? ? max{ ? x 1 , ? x 2 , ? , ? x n }
? lim

? ??0

n

f (? i ) ? x i ?

i ?1

?a

b

f ( x ) dx ? 0 .

calculus

性质7的推论:

(1) 如果在区间[ a , b ] 上 f ( x ) ? g ( x ) ,
则 ? f ( x )dx ?
a b

?a g ( x )dx .

b

(a ? b )



? f ( x ) ? g ( x ),

? g ( x ) ? f ( x ) ? 0,

?

?a [ g ( x ) ? ?a g ( x ) dx
b

b

f ( x )]dx ? 0 , ?

?a

b

f ( x ) dx ? 0 ,

于是

?a

b

f ( x )dx ?

?a g ( x )dx .

b

calculus

性质5的推论:

(2) ?a f ( x )dx ? ?a f ( x ) dx


b

b

.

(a ? b )

? ? f (x) ? f (x) ? f (x),

? ?


?a

b

f ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx ?

?a

b

f ( x ) dx ,

?a

b

f ( x )dx ?

?a

b

f ( x ) dx .

说明:| f ( x ) |在区间[ a , b ] 上的可积性是显然的.

calculus

性 质 8 : ( 估 值 定 理 ) 设 M , m 分 别 是 函 数 f ( x )在 区 间 [ a , b ]上 的 最 大 值 和 最 小 值 , 则 m (b ? a ) ?

?

b a

f ( x ) d x ? M (b ? a )

calculus

例1.估计积分值: ? ( x ? 1 )dx
2 1

4

解 f ( x ) ? x 2 ? 1,在[1,4]上的最小值、最大值分别为:

m ? 2, M ? 42 ? 1 ? 17.
2( 4 ? 1 ) ?

? ?

4

( x ? 1 )dx ? 17( 4 ? 1 )
2 2

1 4

所以

6?

1

( x ? 1 )dx ? 51

calculus

性 质 9: (积 分 中 值 定 理 )设 函 数 f ( x ) 在 闭 区 间 [ a , b ]上 连 续 , 则 在 积 分 区 间 上 至 少 存 在 一 点 ?, 使 下 式 成 立

?

b a

f ( x ) dx ? f (? )( b ? a )     ( a ? ? ? b )

f ( x ) 在区间 [ a , b ]

上的平均值

? b?a

1

b

f ( x)dx
a

calculus

积分中值定里的几何解释:

y

在区间[ a , b ] 上至少存在一 个点? , 使得以区间[ a , b ] 为
底 边 , 以曲线 y ? f ( x )

为曲边的曲边梯形的面积

等于同一底边而高为 f ( ? )

o

a

b

x

的一个矩形的面积。

calculus



? m (b ? a ) ?

?a
b

b

f ( x )dx ? M ( b ? a )

? m ?

? b?a a

1

f ( x ) dx ? M

由闭区间上连续函数的介值定理知
介值定理:设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,且设

M , m 分别为函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上的最大值和 最小值,则对于任意的 m ? c ? M , 存在 ? ? [a, b], 使得

f (? ) ? c

calculus

例2.比较大小: (1).

?

2

x dx,
2

2

1

?

2

x dx

3

1

(2).? ln xdx,
1

?

2

(ln x ) dx

2

1

解(1)因为在[1,2]上, x ? x ,
2 3

? ? x dx
2 1

2

?? ??

2

x dx
2

3

1

(2)因为在[1,2]上, ln x ? (ln x ) ,
? ? ln xdx
1 2 2

(ln x ) dx

2

1

calculus

例3.利用积分中值定理求极限 lim ?
n ??

n? p

sin x x

dx ?

n

解:由积分中值定理知,在闭区间 [n, n ? p] 上存在 ?
使得
sin ?

?

n? p

sin x x

dx ?

n

?

p

当 n ? ?时 ? ? ? 故必有
lim ?
n ?? n? p

sin x x

dx ? lim

sin ?

n

? ??

?

p?0

calculus

练习 估计积分 ?

? 0

1 3 ? sin
3

dx 的值. x



f (x) ?
0 ? sin
3

1 3 ? sin
x ? 1,
3

, x 1 4

? x ? [ 0 , ? ],

?

1 3 ? sin
3

? x

1 3

,

?0
?

?

1 4 ? 4

dx ?
?

?0

?

1 3 ? sin 1
3

dx ? x ? 3 .

?0

?

1 3

dx ,

?

?0

3 ? sin

3

dx ? x

calculus

例 7 设 f ( x ) 可导,且 lim 求 lim

x ? ??

f ( x) ? 1,

? x ? ?? x

x?2

t sin

3 t

f ( t )dt .
? ? [ x , x ? 2 ],



由积分中值定理知有 使

?x

x?2

t sin
x?2

3 t

f ( t )dt ? ? sin 3 t

3 ?

f ( ? )( x ? 2 ? x ), 3 f (? )

? x ? ?? x
lim

t sin

f ( t )dt ? 2 lim ? sin
? ? ??

?

? 2 lim 3 f ( ? ) ? 6 .
? ? ??

calculus
?

lim

n? ?

?

4 0

sin xd x ?
n

解:由积分中值定理知,存在
?

? ? [0,

?
4

]

使得
n

?

4 0

?? ? ? ? 1 ? sin xd x ? sin ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 4 4 ? 2 ? ? ?
n n

另一方面,注意到上式左边是非负的,而右边的项趋于0, 由夹逼定理知

y n ? x n ? z n ? lim y n ? lim z n ? c ? lim x n ? c , n 4 n? ? n 0 n? ? lim ? sin xd x ? ? ?
n? ? 0

P72. 第4题

calculus

证明:由于 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续,故必有最大值和最小值, 不妨设 M , m 分别是 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的最大值和最小值,

则 m g ( x ) ? f ( x ) g ( x ) ? M g ( x ), 由此立刻得到
m ? g ( x )d x ?
a b

?

b a

f ( x) g ( x)dx ? M

?

b

g ( x)dx
a

? m ?? ? ? ?

?

b a

f ( x) g ( x)dx ? ?? M b ? ? a g ( x )d x ? ?

由闭区间上的连续函数的介值定理知,存在 ? ? [ a , b ] 使得

calculus

? f (? ) ? ? ? ? ?

?

b a

f ( x) g ( x)dx ? ? b ? ? g ( x )d x ?a ?



?

b a

f ( x ) g ( x ) d x ? f (? ) ? g ( x ) d x
a

b


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