当前位置:首页 >> 高三数学 >>

2013高中数学二轮复习精选 专项突破《必考问题1 函数、基本初等函数的图象和性质 》


二轮专题复习· 学理(新课标)第一部分 数

22 个 必 考 问 题 专 项 突 破

必考问题 1 函数、基本初等函数的图象和性质

1.(2012· 江西)下列函数中,与函数 y=

1 3 x

定义域相同的函数为(

).

1 A.y= sin x

ln x sin x B.y= C.y=xex D.y= x x 1 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),而 y= 的定义域为{x|x∈ sin x 3 x 1

答案:D [函数 y=

R,x≠kπ,k∈Z},y=

ln x sin x 的定义域为(0,+∞),y=xex 的定义域为 R,y= 的定义域为 x x

(-∞,0)∪(0,+∞).] 2.(2012· 安徽)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 答案:C B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x ).

?0?x≥0? ? [对于选项 A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于选项 B,f(x)=x-|x|=? , ?2x?x<0? ?

当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x)=2f(x);对于选 项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1.] 3.(2012· 广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1 C.y=?2?x ? ? B.y=- x+1 1 D.y=x+ x ).

答案:A [结合初等函数的单调性逐一分析即可得到正确结论.选项 A 的函数 y=ln(x +2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.]
? ?2x+a,x<1, 4.(2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a ? ?-x-2a,x≥1.

的值为________. 解析 首先讨论 1-a,1+a 与 1 的关系, 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,

所以 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为 f(1-a)=f(1+a),所以-1-a=3a+2, 3 所以 a=- .当 a>0 时,1-a<1,1+a>1, 4 所以 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1. 3 因为 f(1-a)=f(1+a),所以 2-a=-3a-1,所以 a=- (舍去). 2 3 综上,满足条件的 a=- . 4 3 答案 - 4

高考对本内容的考查主要有:①利用函数的图象与性质求函数定义域、值域与最值,尤 其是考查对数函数的定义域、 值域与最值问题; ②借助基本初等函数考查函数单调性与奇偶 性的应用, 尤其是考查含参函数的单调性问题或借助单调性求参数的范围, 主要以解答题的 形式考查;③求二次函数的解析式、值域与最值,考查二次函数的最值、一元二次方程与不 等式的综合应用;④在函数与导数的解答题中,考查指数函数、对数函数的求导、含参函数 单调性的讨论、函数的极值或最值的求解等.

本部分的试题多围绕二次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个常见的函数来设 计,考查函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等,所以复习时一定要回归课本,重读教 材,只有把课本中的例题、习题弄明白,把基础夯扎实,才能真正掌握、灵活应用,达到事 半功倍的效果.

必备知识 ? 函数及其图象 (1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三个要素,是一个整体,研究函数问题时务 必要“定义域优先”. (2)对于函数的图象要会作图、识图、用图,作函数图象有两种基本方法:一是描点法; 二是图象变换法,其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换. ? 函数的性质 (1)函数单调性的判定方法 ①定义法:取值,作差,变形,定号,作答.

其中变形是关键,常用的方法有:通分、配方、因式分解. ②导数法. ③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则. (2)函数的奇偶性反映了函数图象的对称性,是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可 以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上,是简化问题的一种途 径. (3)求函数最值(值域)常用的方法 ①单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数; ②图象法:适合于已知或易作出图象的函数; ③基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的函数; ④导数法:适合于可求导数的函数. ? 函数图象的对称性 (1)若函数 y=f(x)满足 f(a+x)=f(a-x),即 f(x)=f(2a-x),则 f(x)的图象关于直线 x=a 对称. a+b (2)若 f(x)满足 f(a+x)=f(b-x),则函数 f(x)的图象关于直线 x= 对称. 2 (3)若 f(x+a)为奇函数?f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称;若 f(x+a)为偶函数?f(x)的 图象关于直线 x=a 对称. 必备方法 1.函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式,它们的实质是相同的,在解题时 经常要互相转化.在解决函数问题时,尤其是较为繁琐的(如分类讨论,求参数的取值范围 等)问题时,要注意充分发挥图象的直观作用. 2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,要深刻理解它们之 间的相互关系,能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问 题,高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中,并且大都出现在解答题 中.

函数性质及其应用的考查 常考查:①给定函数解析式求定义域;②给出分段函数表达式结合奇偶性、周期性求 值.熟练转化函数的性质是解题的关键,是高考的必考内容,常以选择题、填空题的形式考 查,多为基础题. 【例 1】 设定义域在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减, f(1-m)<f(m). ? 若 则 实数 m 的取值范围是________. [审题视点]

[听课记录] [审题视点] 利用已知条件,可将问题转化为|1-m|>|m|. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|), 又∵当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数,

?|1-m|>|m|, ? ∴?-2≤1-m≤2, ?-2≤m≤2, ?
1 答案 ?-1,2? ? ?

1 解得-1≤m< . 2

(1)函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称 性. (2)求函数最值常用的方法有单调性法、图象法、基本不等式法、导数法和换元法. 【突破训练 1】 (2012· 济南 2 月月考)已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足以下三个条件: ①对于任意的 x∈R,都有 f(x+4)=f(x);②对于任意的 x1,x2∈R,且 0≤x1≤x2≤2,都有 f(x1)<f(x2);③函数 y=f(x+2)的图象关于 y 轴对称.则下列结论正确的是( A.f(4.5)<f(7)<f(6.5) C.f(7)<f(6.5)<f(4.5) B.f(7)<f(4.5)<f(6.5) D.f(4.5)<f(6.5)<f(7) ).

答案:A [由①知,f(x)的周期为 4, 由②知,f(x)在[0,2]上单调递增. 由③知,f(x)的对称轴为 x=2. ∴f(4.5)=f(0.5),f(7)=f(3)=f(1). f(6.5)=f(2.5)=f(1.5). ∴f(4.5)<f(7)<f(6.5).] 函数图象及其应用的考查 常考查:①由函数的性质(如单调性、对称性、最值)及图象的变换选图象;②在解方程 或不等式问题时,利用图象求交点个数或解集的范围,是高考考查的热点,常以选择题形式 考查,难度中档. x 【例 2】? 函数 y= -2sin x 的图象大致是( 2 ).

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] 利用导数的正负与函数在某一区间内的单调性的关系求解. C 1 [由 f(-x)=-f(x)知,函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f′(x)= -2cos x,当 x 2

在 y 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴右边接近原点处为减函数,当 x=2π 1 3 时,f′(2π)= -2cos 2π=- <0,所以 x=2π 应在函数的减区间上,所以选 C.] 2 2 函数的图象在研究函数性质中有着举足轻重的作用. (1)识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势,具有的性质,找准 解析式与图象的对应关系. (2)用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系, 结合图象研究. (3)掌握基本初等函数的图象(一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、三角函数),它们是图象变换的基础. 1 【突破训练 2】 (2012· 新课标全国)已知函数 f(x)= ,则 y=f(x)的图象大致为 ln?x+1?-x ( ).

x 答案:B [g(x)=ln(x+1)-x?g′(x)=- , 1+x 当 g′(x)>0 时,-1<x<0.当 g′(x)<0 时,x>0. 故 g(x)<g(0)=0,即 x>0 或-1<x<0 时均有 f(x)<0,排除 A、C、D.] 二次函数综合问题的考查 高考很少单独考查二次函数, 往往与导数结合来命题, 可涉及到二次函数的许多基础知 识的考查,如含参函数根的分布问题,根与系数的关系问题,要求考生熟练应用有关的基础 知识. a 【例 3】? 设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根分别为 3 1,4. (1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围.

[审题视点]

[听课记录] [审题视点] (1)借助根与系数的关系,曲线过原点等条件进行求解;(2)问题可转化为 f′(x)≥0 在(-∞,+∞)内恒成立. a 解 由 f(x)= x3+bx2+cx+d,得 f′(x)=ax2+2bx+c. 3 因为 f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两个根分别为 1,4,
?a+2b+c-9=0, ? 所以? (*) ? ?16a+8b+c-36=0, ? ?2b+c-6=0, (1)当 a=3 时,由(*)式得? ? ?8b+c+12=0.

解得 b=-3,c=12. 又因为曲线 y=f(x)过原点,所以 d=0, 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0, 所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f′(x) 3 =ax2+2bx+c≥0 在(-∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又 Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9).
? ?a>0, 解? 得,a∈[1,9], ? ?Δ=9?a-1??a-9?≤0

即 a 的取值范围是[1,9]. 高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题,涉及函数零点问题,比 较方程根的大小问题,函数值的求解,函数图象的识别等问题,考查学生分析、解决问题的 能力. 【突破训练 3】 已知函数 f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x. 1 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值; 6 (2)若 f(x)在(-1,1)上是增函数,求 a 的取值范围. 解 (1)f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1).

1 当 a= 时,f′(x)=2(x+2)(x-1)2, 6 f(x)在(-∞,-2)内单调递减,在(-2,+∞)内单调递增, 在 x=-2 时,f(x)有极小值. 所以 f(-2)=-12 是 f(x)的极小值.

(2)在(-1,1)上,f(x)单调递增,当且仅当 f′(x)=4(x-1)· 2+3ax-1)≥0,即 3ax2+ (3ax 3ax-1≤0,① (i)当 a=0 时,①恒成立; (ii)当 a>0 时,①成立,当且仅当 3a·2+3a· 1 1-1≤0. 1 1 解得 a≤ .∴0<a≤ . 6 6 1 3a (iii)当 a<0 时,①成立,即 3a?x+2?2- -1≤0 成立, ? ? 4 3a 4 4 当且仅当- -1≤0.解得 a≥- .∴- ≤a<0. 4 3 3 4 1 综上,a 的取值范围是?-3,6?. ? ?

函数基础知识在综合问题中的应用 函数是高考永远不变的主题, 二次函数更是热点. 对二次函数的考查主要以二次函数的 图象为载体,利用数形结合思想,解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值 以及与此相关的参数范围的问题.下面介绍函数基础知识在综合问题中的应用. 1 【示例】? (高考改编题)设函数 f(x)=- x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若对任意的 x∈[x1,x2], f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围. 1 [满分解答] (1)当 m=1 时,f(x)=- x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故 f′(1)=1.所以曲线 3 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1.(3 分) (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1-m 或 x=1+m. 因为 m>0,所以 1+m>1-m.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,1-m) - ? 1-m 0 极小值 (1-m,1+m) + ? 1+m 0 极大值 (1+m,+∞) - ?

所以 f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)上是减函数,在(1-m,1+m)上是增函数.函数 2 1 f(x)在 x=1-m 处取得极小值 f(1-m),且 f(1-m)=- m3+m2- .函数 f(x)在 x=1+m 处取 3 3 2 1 得极大值 f(1+m),且 f(1+m)= m3+m2- .(7 分) 3 3

1 2 1 1 2 (3)由题设,f(x)=x?-3x +x+m -1?=- x(x-x1)(x-x2),所以方程- x2+x+m2-1 ? ? 3 3 4 1 =0 有两个相异的实根 x1,x2,故 x1+x2=3,且 Δ=1+ (m2-1)>0,解得 m<- (舍去)或 3 2 1 3 m> .因为 x1<x2,所以 2x2>x1+x2=3,故 x2> >x1.(9 分) 2 2 1 若 x1≤1<x2,则 f(1)=- (1-x1)(1-x2)≥0,而 f(x1)=0,不合题意. 3 1 若 1<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x>0,x-x1≥0,x-x2≤0,则 f(x)=- x(x- 3 x1)(x-x2)≥0.又 f(x1)=0,所以 f(x)在[x1,x2]上的最小值为 0.于是对任意的 x∈[x1,x2],f(x) 1 3 3 >f(1)恒成立的充要条件是 f(1)=m2 - <0,解得- <m< .综上,m 的取值范围是 3 3 3

?1, 3?.(12 分) ?2 3 ?
老师叮咛:该题综合考查了导数知识与函数的基础知识,是一道不错的试题.?1??2?问较 易得分,第?3?问因找不到问题的突破口而得分率很低,原因是二次函数的相关基础知识掌 握不牢固,不会利用数形结合的思想. 【试一试】 设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若 不存在,说明理由. 解 f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.

2a (1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1,所以 a=9. 18 (2)由于 Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.


赞助商链接
相关文章:
...专题复习学案-1.2函数、基本初等函数的图象与性质
2011版高中数学二轮专题复习学案-1.2函数基本初等函数的图象与性质 - 函数与导数专题 【最新考纲透析】 1.函数 (1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义...
...专题复习学案-1.2函数、基本初等函数的图象与性质
2011版高中数学二轮专题复习学案-1.2函数基本初等函数的图象与性质。2011版...x 2 3 【核心要点突破】要点考向一:基本初等函 数问题 考情聚焦:1.元二...
...第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质 理(含2014年...
2015届高考数学二轮复习 专题突破训练二 第1讲 函数基本初等函数的图象与性质 理(含2014年高考真题)_数学_高中教育_教育专区。第1讲考情解读 函数、基本初等...
...知识点总结 函数、基本初等函数的图象与性质
(典型题)2014高考数学二轮复习 知识点总结 函数基本初等函数的图象与性质_数学_高中教育_教育专区。函数基本初等函数的图象与性质 1.高考对函数的三要素, 函数...
...复习精品学案:12函数、基本初等函数的图象与性质
2011年高考数学二轮复习精品学案:12函数基本初等函数的图象与性质_高考_高中教育_教育专区。专题一:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲 函数、基本初等...
...二轮复习 函数、基本初等函数的图象和性质》(命题方...
高中新课程数学(人教新课标)二轮复习 函数基本初等函数的图象和性质》(命题方向把握+命题角度分析) 隐藏>> 必考问题 1 函数基本初等函数的图象和性质 1 1.(...
...专题配套练习:专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质_...
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题二 第1讲 函数基本初等函数的图象与性质_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第1讲 函数基本初等函数的图象与性质 ...
高一数学必修1基本初等函数的教材分析与建
并分别研究它们的图象及性质,另外还要学习幂函数 的图象性质. 幂函数、指数函数、对数函数是重要的基本初等函数,高中数学函数部分的主体内容,是函数理论的 ...
...函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数基本初等函数的图象与性质(含答案)_数学_高中教育_教育专区。数学大师 www.eywedu.net【全站免费】 第1讲考情解读 函数、...
...第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
二轮复习-专题二 第1讲 函数基本初等函数的图象与性质_数学_高中教育_教育...(2013· 重庆)已知函数 f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210)...
更多相关标签: