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高一新生入学分班考试--数学1


高一新生入学分班考试 高一新生入学分班考试 新生入学分班

数 学 模 拟 试 题
总分:150 分 时量:120 分钟

第 Ⅰ卷
选择题( 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 ) 目要求的。 1.下列运算正确的是( ) 。 2 3 6 8 B、a ÷a4=a2 A、a ·a =a

C、a3+a3=2a6

D、(a3)2=a6 ( )

2.一元二次方程 2x2-7x+k=0 的一个根是 x1=2,则另一个根和 k 的值是 A.x2=1 ,k=4 B.x2= - 1, k= -4 C .x2=
2

3 ,k=6 2

D.x2= ?

3 ,k=-6 2

3.如果关于 x 的一元二次方程 x ? kx + 2 = 0 中,k 是投掷骰子所得的数字(1,2,3,4,5,6) ,则该 二次方程有两个不等实数根的概率 P= ( A. ) C.

2 3

B.

1 2

1 3
)

D.

1 6

4.二次函数 y=-x2-4x+2 的顶点坐标、对称轴分别是(
A.(-2,6),x=-2 B.(2,6),x=2 C.(2,6),x=-2

D.(-2,6),x=2

5.已知关于 x的方程 5 x ? 4 + a = 0无解, 4 x ? 3 + b = 0有两个解, 3x ? 2 + c = 0 只有一个解,则化简

a ? c + c ? b ? a ? b 的结果是
A、2a B、2b



) C、2c D、0

6. 在物理实验课上,小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,直至铁块完全露出 水面一定高度,则下图能反映弹簧称的读数 y(单位 N)与铁块被提起的高度 x(单位 cm)之间的函 数关系的大致图象是 ( )

(N)

(N) (cm)

(N)

(N)

A
第 6 题图

(cm)

(cm)

(cm)

A

B

C

D

7. 下列图中阴影部分的面积与算式 | ?

3 1 | + ( ) 2 + 2 ?1 的结果相同的是 4 2





y y (1,1) 0 x y y=2x 0 1 x 0 y y=x2-1
y= 3 x

x

0

x

A

B

C

D

8.已知四边形 S1 的两条对角线相等,但不垂直,顺次连结 S1 各边中点得四边形 S 2 ,顺次连结 S 2 各边中 点得四边形 S 3 ,以此类推,则 S 2006 为( A.是矩形但不是菱形; C.既是菱形又是矩形; ) B. 是菱形但不是矩形; D.既非矩形又非菱形. A α

9.如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= α ,∠ABC= β . 若 α = 10°, 则β 的度数是 A.40 ° C. 60 ° B.

50°

β B D C

D.不能确定

10.如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图,则该立方体露在外

面部分的表面积是________

cm2。

正视图 B.15 A. 11

左视图 C.18

俯视图 D.22

第Ⅱ卷(答卷) 答卷)
填空题( 小题, 二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.函数 y =

x ?1 中,自变量 x 的取值范围是 x?2



12.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD ⊥ AB于D ,AC=10, CD=6,则 sinB 的值为_____。 13.如图 ,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,OA=2,则 AC 的长为_________。 A
C

O .
A D B

D C

B 图4

14.同室的 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡, 则 4 张贺年卡不同的拿法有__________种。

1 x 3 3 1 1 15. 对于正数 x,规定 f(x)= ,例如 f(3)= = ,f( )= 3 = , 1 4 1+ x 1+ 3 4 3 1+ 3 1 1 1 1 1 )+ f( )+ f( )+ …f( )+ f( )+ f(1)+ f(1)+ 计算 f( 2006 2005 2004 3 2
f(2)+ f(3)+ … + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)=
.

解答题( 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三. 解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
5? x ? 2x ? 4 > 1? ? 16. (1)解不等式组: ? 3 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ? 2 ( x + 1) ? 6 ≤ x ?

x ? x +1 ? 1 (2)先化简,再求值:已知 x = 2 + 1 ,求 ? 2 ? 2 ? ÷ 的值. ? x ? x x ? 2x + 1 ? x

17. (本小题满分 10 分) 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作圆,交 AB 于 D,交 BC 于 E, (1) 求证:EC=ED (2) 已知:AB=5,BC=6,求 CD 长。

18. (本小题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;

2

1 )=0. 2

⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长.

19. (本小题满分 14 分) 在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售; 从第 12 周开始,当季节即将过去时,每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式; ⑵若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125( x ? 8) + 12 (1≤ x ≤16) ,
2

且 x 为整数,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12 14 16
周次

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y =

1 2 x + 3mx + 18m 2 ? m 与 x 轴交于 A( x1 , 0), B( x2 , 0) ( x1 < x2 ) 两点, y 轴交于 与 8

点 C(0,b) 为原点. ,O (1)求 m 的取值范围; (2)若 m >

1 且 OA+OB=3OC,求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标. 18

(3)在(2)的情形下,点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动,联结 PQ 与 BC 交于 M,设 AP=k,问是否存在 k,使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在,求所有的 k 值,若不存在说明理由.

21. (本小题满分 14 分)若干个 1 与 2 排成一行:1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,------ ,规则是: 第 1 个数是 1,第 2 个数是 2,第 3 个数是 1,一般地,先写一行 1,再在第 k 个 1 与第 k+1 个 1 之间插入 k 个 2(k=1,2,3,---).试问: (1)第 2006 个数是 1 还是 2? (2)前 2006 个数的和是多少?前 2006 个数的平方和是多少? (3)前 2006 个数两两乘积的和是多少?

参考答案 选择题( 一. 选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题次 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 B 10 C

填空题( 小题, 二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分)
11.函数 y =

x ?1 中,自变量 x 的取值范围是 x?2

x ≥ 1且x ≠ 2



12.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, CD ⊥ AB于D ,AC=10, CD=6,则 sinB 的值为__ 13.如图 ,在⊙O 中,∠ACB=∠D=60°,OA=2,则 AC 的长为______ 2 3 ___。 A
C

4 ___。 5

O .
A D B

D C

B 图4

14.同室的 4 人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的 贺年卡, 则 4 张贺年卡不同的拿法有______________9__________________种。

1 x 3 3 1 1 15. 对于正数 x,规定 f(x)= ,例如 f(3)= = ,f( )= 3 = , 1 4 1+ x 1+ 3 4 3 1+ 3 1 1 1 1 1 计算 f( )+ f( )+ f( )+ …f( )+ f( )+ f(1)+ f(1)+ 2006 2005 2004 3 2 f(2)+ f(3)+ … + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)= 2006 .
解答题( 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 三. 解答题(共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

5? x ? 2x ? 4 > 1? ? 16. (本题满分 16 分) (1)解不等式组: ? 3 2 ,并把解集在数轴上表示出来. ? 2 ( x + 1) ? 6 ≤ x ? 5? x ? 2x ? 4 > 1? ? 解: ? 3 2 ? 2 ( x + 1) ? 6 ≤ x ?
由(1)得:x>-1 由(2)得: x ≤ 4

(1) (2)
所以原不等式组的解集为: ?1 < x ≤ 4

-5

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

5

x

x ? x +1 ? 1 (2)先化简,再求值:已知 x = 2 + 1 ,求 ? 2 ? ? ÷ 的值. x ? x x2 ? 2x + 1 ? x ?
解:当 x = 2 + 1 时,

x ? x +1 ? 1 ? 2 ? 2 ?÷ ? x ? x x ? 2x +1 ? x x +1 x =( ? )? x x( x ? 1) ( x ? 1)2 x2 ? 1 ? x2 ?x x( x ? 1) 2 ?1 = ( x ? 1) 2 1 =? 2 =

17. (本小题满分 10 分) 如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC,以 AC 为直径作圆,交 AB 于 D,交 BC 于 E, (3) 求证:EC=ED (4) 已知:AB=5,BC=6,求 CD 长。 (1) 证明:
A

Q AC为直径, ∴ AE ⊥ BC,
O

Q AB=AC, ∴ EC=ED

∴∠BAE=∠CAE

D

(2)解:由 AB=5,BC=6 得:BE=3,AE=4
E C

B

Q AC为直径, CDA = ∠AEB = 90°,∠B = ∠B ∴∠
∴?BDC 6 CD 即: = 5 4
2

?BEA

BC CD = AB AE 24 ∴ CD = 5 ∴
1 )=0. 2

18. (本小题满分 12 分)已知关于x的方程 x -(2k+1)x+4(k-

⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰 好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长. 解: (1)

1 ? = (2k + 1) 2 ? 16(k ? ) 2 2 = 4k ? 12k + 9 = (2k ? 3) 2 恒大于等于0
所以:无论 k 取何值,这个方程总有实数根。-------5 分 (2)三角形 ABC 为等腰三角形,可能有两种情况: 1)b 或 c 中至少有一个等于 a= 4,即:方程 x -(2k+1)x+4(k可得 k=
2

1 )=0 有一根为 4, 2

5 2 ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2,此时三角形 ABC 周长为 10;------9 分 2 1 2 2)b=c 时, ? = (2k + 1) ? 16( k ? ) = 0 2 3 2 得 k= ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形; 2
综上,三角形 ABC 周长为 10。 --------------------12 分

19. (本小题满分 14 分) 在芦淞服装批发市场,某种品牌的时装当季节将来临时,价格呈上升趋势,设这种时装开始时定价为 20 元/件(第 1 周价格) ,并且每周价格上涨,如图示,从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售; 从第 12 周开始,当季节即将过去时,每周下跌,直到第 16 周周末,该服装不再销售。 ⑴求 销售价格 y (元/件)与周次 x 之间的函数关系式; ⑵若这种时装每件进价 Z(元/件)与周次 x 次之间的关系为 Z= ? 0.125( x ? 8) + 12 (1≤ x ≤16) ,
2

且 x 为整数,试问该服装第几周出售时,每件销售利润最大?最大利润为多少?
价格

30

20

0

11 1 2 4 6 8 10 12 14 16
周次

解:⑴依题意,可建立的函数关系式为:

?2 x + 18 ? y = ?30 ?? 2 x + 52 ?

(1 ≤ x ≤ 6 ) (6 ≤ x ≤ 11) ------------------------------------6 分 (12 ≤ x ≤ 16)

⑵设销售利润为 W,则 W=售价-进价

1 ? 2 ?20 + 2 x + 8 ( x ? 8) ? 14 ? 1 ? 2 故 W= ?30 + ( x ? 8) ? 12 8 ? ?1 2 ? 8 ( x ? 8) ? 2 x + 40 ?

(1 ≤ x ≤ 6) (6 ≤ x ≤ 11) (12 ≤ x ≤ 16)

?1 2 ? 8 x + 14 (1 ≤ x ≤ 6 ) ? ?1 2 化简得 W= ? x ? 2 x + 26 (6 ≤ x ≤ 11) ………………10 分 ?8 ?1 2 ? 8 x ? 4 x + 48 (12 ≤ x ≤ 16 ) ?
①当 W=

1 2 x + 14 时,∵ x ≥0,函数 y 随着 x 增大而增大,∵1≤ x ≤6 8 ∴当 x = 6 时,W 有最大值,最大值=18.5 1 2 1 2 ②当 W= x ? 2 x + 26 时,∵W= ( x ? 8) + 18 ,当 x ≥8 时,函数 y 随 x 8 8
增大而增大 ∴在 x = 11 时,函数有最大值为 19 ③当 W=

1 8

1 2 1 2 x ? 4 x + 48 时,∵W= ( x ? 16 ) + 16 ,∵12≤ x ≤16,当 x ≤16 时,函数 y 随 x 增大 8 8

而减小, ∴在 x = 12 时,函数有最大值为 18 综上所述,当 x = 11 时,函数有最大值为 19

1 ………………14 分 8

20.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 y =

1 2 x + 3mx + 18m 2 ? m 与 x 轴交于 A( x1 , 0), B( x2 , 0) ( x1 < x2 ) 两点, y 轴交于 与 8

点 C(0,b) 为原点. ,O (1)求 m 的取值范围; (2)若 m >

1 且 OA+OB=3OC,求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标. 18

(3)在(2)的情形下,点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动,联结 PQ 与 BC 交于 M,设 AP=k,问是否存在 k,使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在,求所有的 k 值,若不存在说明理由. 解: (1)利用判别式 ? > 0 解得 m > 0 (2)注意条件 m. > (4 分)
2

1 18

可得 18m ? 1 > 0 ,从而 18m ? m > 0 ,

18m 2 ? m 所有 x1 x2 = = 8(18m 2 ? m) > 0 , 1 8

x1 + x2 = ?

3m = ?24m < 0 ∴ x1 < x2 < 0 1 8

所以 满足条件的抛物线图象如图所示 依题意∴ ? ( x1 + x2 ) = 3b
2

24m = 3b ,而 18m 2 ? m = b ,

所以有 18m ? m = 8m ,解得 m = 0 (舍去) m = 从而 y =

1 2

1 2 3 x + x + 4 为所求的抛物线解析式 18 2 1 2 3 x + x + 4 = 0 得 A(-8,0) 、B(-4,0) 、C(0,4) 分) (8 令 18 2
(3)⊿PBM 与⊿ABC 相似有两种情况: 1) 当 PQ∥AC,AP=OQ=k,由

AO CO = , PO QO
(10 分)
D



8 4 8 = ,解得 k = 8?k k 3

2)当 PQ 与 AC 不平行,设有∠ACB=∠MPB, 过 B 作 AC 的垂线,垂足为 D, 利用 sin A =

BD CO 4 5 = ,求得 BD= AB AC 5

4 5 BD BC 由 Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ, 则有 = , 即 5 = OQ PQ k

4 2
k + (8 ? k )
2 2

, 化简得 k + 2k ? 8 = 0 ,解得 k = ?4
2

或 k = 2 ,但由 CQ=4-k,知 0<k<4,所以只有 k=2 ,综上 1)2)所求的 k 值是 k = 分

8 或 k=2. 3

14

21. (本小题满分 14 分)若干个 1 与 2 排成一行:1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,------ ,规则是: 第 1 个数是 1,第 2 个数是 2,第 3 个数是 1,一般地,先写一行 1,再在第 k 个 1 与第 k+1 个 1 之间插入 k 个 2(k=1,2,3,---).试问: (1)第 2006 个数是 1 还是 2? (2)前 2006 个数的和是多少?前 2006 个数的平方和是多少? (3)前 2006 个数两两乘积的和是多少? 解:

(1) 把该列数如下分组: 1 第1组 2 1 第2组 2 2 1 第3组 2 2 2 1 第4组 2 2 2 2 1 第5组 ------2 2 2 2 2 1 第 n 组 (有 n-1 个 2) 易得,第 2006 个数为第 63 组,第 53 个数,为 2;---------4 分 (2) 前 2006 个数的和为 62+1944 ×2 =3950, 前 2006 个数的平方和是: 62 × 1 + 1950 × 2 = 7862
2 2

------------------10 分

(3)记这 2006 个数为

a1,a2, , a2006 L 记R = a1 + a2 + L + a2006 = 3950
2 T = a12 + a 22 + L + a 2006 = 62 × 12 + 1950 × 22 = 7862

S = a1a2 + a1a3 + L + a1a2006 + a2 a3 + a2 a4 + L + a2 a2006 + L + a2005 a2006
2 ∴ 2 S = (a1 + a2 + L + a2006 ) 2 ? (a12 + a 22 + L + a 2006 )

= R2 ? T = 3950 2 ? 7862 1 S = (3950 2 ? 7862) = 7797319 2
---------------------------------14 分


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