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2012届高考数学一轮复习教案:8.6 圆锥曲线的应用

8.6

圆锥曲线的应用

●知识梳理 解析几何在日常生活中应用广泛,如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关 键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在 实际问题中的应用,说明数学建模的方法,理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思 想. ●点击双基 1.一抛物线型拱桥,当水面离桥顶 2 m 时,水面宽 4 m,若水面下降 1 m 时,则水面 宽为 A. 6 m B.2 6 m C.4.5 m D.9 m

解析:建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2Py(P>0) ,由题意知,抛物线 2 过点(2,-2) ,∴4=2p?2.∴p=1.∴x =-2y. 当 y0=-3 时,得 x02=6.∴水面宽为 2|x0|=2 6 . 答案:B 2.某抛物线形拱桥的跨度是 20 m,拱高是 4 m,在建桥时每隔 4 m 需用一柱支撑,其中 最长的支柱是 A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m 2 解析:建立适当坐标系,设抛物线方程为 x =-2py(p>0) ,由题意知其过定点(10, -4) ,代入 x2=-2py,得 p=
25 2

.
?4 25

∴x2=-25y.当 x0=2 时,y0=

,∴最长支柱长为 4-|y0|=4-

4 25

=3.84(m).

答案:B 3.天安门广场,旗杆比华表高,在地面上,观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲 线是 A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 解析:设旗杆高为 m,华表高为 n,m>n.旗杆与华表的距离为 2a,以旗杆与地面的交点和 华表与地面的交点的连线段所在直线为 x 轴、垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.设曲线上任一 点 M(x,y) ,由题意
( x ? a) ? y
2 2

=
2

m n

,即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+

( x ? a) ? y
2

(m2-n2)a2=0. 答案:B 4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点,已知灯口直径是 60 cm,灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm. 解析:设抛物线方程为 y2=2px(p>0) ,点(40,30)在抛物线 y2=2px 上, ∴900=2p?40.∴p=
45 4

.∴

p 2

=

45 8

.因此,光源到反射镜顶点的距离为

45 8

cm.

第 1 页(共 13 页)

答案:

45 8

5.在相距 1400 m 的 A、B 两哨所,听到炮弹爆炸声音的时间相差 3 s,已知声速 340 m/s. 炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________. 解析:设 M(x,y)为曲线上任一点,则|MA|-|MB|=340?3=1020<1400. ∴M 点轨迹为双曲线,且 a=
1020 2

=510,c=

1400 2

=700.

∴b2=c2-a2=(c+a) (c-a)=1210?190. ∴M 点轨迹方程为
x
2 2



y

2

510 x
2 2
2

1210 ? 190

=1.

答案:



y

510

1210 ? 190

=1

●典例剖析 【例 1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处, 当此彗星离地球相距 m 万千米和 分别为
π 2 4 3

m 万千米时,经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角



π 3

,求该彗星与地球的最近距离.

剖析:本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离,一般的思路:由直线与椭圆的关 系,列方程组解之;或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时,还要注意结合椭圆的几 何意义进行思考.仔细分析题意,由椭圆的几何意义可知:只有当该彗星运行到椭圆的较近 顶点处时,彗星与地球的距离才达到最小值即为 a-c,这样把问题就转化为求 a,c 或 a- c. 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点 F(-c,0)处,椭圆的方程为
x a
2 2

+

y b

2 2

=1,
π 3

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 能满足∠xFA=
π 3

时,由椭圆的几何意义可知,彗星 A 只

(或∠xFA′=

π 3

).

作 AB⊥Ox 于 B,则|FB|= 故由椭圆的第二定义可得

1 2

|FA|=

2 3

m,

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m=
4 3

c a


c a

a

2

-c) ,
a
2


2 3

c

m=



-c+ m=
c a

m).
2 3


1 2

c

两式相减得 ∴c=
2 3

1 3

?
2 3

m,∴a=2c.代入①,得 m=

(4c-c)=

3 2

c,

m.∴a-c=c=

m.
2 3

答:彗星与地球的最近距离为

m 万千米.

评述: (1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一 个焦点,该椭圆的两个端点,一个是近地点,另一个则是远地点,这两点到恒星的距离一个 是 a-c,另一个是 a+c. (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分 体现了数形结合的思想.另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题, 善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质.

思考讨论
椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少?怎样证明? 提示:利用焦半径易求得最大值为 a+c,最小值为 a-c. 【例 2】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路 AP、BP 运 到 P 处(如下图所示).已知 PA=100 m,PB=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土最省工.

剖析:首先抽象为数学问题,半圆中的点可分为三类: (1)沿 AP 到 P 较近; (2)沿 BP 到 P 较近; (3)沿 AP、BP 到 P 同样远. 显然, 第三类点是第一、 二类的分界点, M 是分界线上的任意一点.则有|MA|+|PA| 设 =|MB|+|PB|. 于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50. 从而发现第三类点 M 满足性质:点 M 到点 A 与点 B 的距离之差等于常数 50,由双曲 线定义知,点 M 在以 A、B 为焦点的双曲线的右支上,故问题转化为求此双曲线的方程. 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系 xOy,设 M(x,y) 是沿 AP、BP 运土同样远的点,则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|, ∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB 中,由余弦定理得 |AB| 2=|PA| 2+|PB| 2-2|PA||PB|cos60°=17500, 50<|AB|.由双曲 且 线定义知 M 点在以 A、 为焦点的双曲线右支上, B 设此双曲线方程为 b>0).
x a
2 2



y b

2 2

=1 (a>0,

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2a=50, ∵ 4c2=17500, c2=a2+b2, a2=625, 解之得 b2=3750. ∴M 点轨迹是
x
2



y

2

=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线

625

3750

左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工. 评述: (1)本题是不等量与等量关系问题,涉及到分类思想,通过建立直角坐标系,利 用点的集合性质,构造圆锥曲线模型(即分界线)从而确定出最优化区域. (2)应用分类思想解题的一般步骤:①确定分类的对象;②进行合理的分类;③逐类 逐级讨论;④归纳各类结果. 【例 3】 根据我国汽车制造的现实情况,一般卡车高 3 m,宽 1.6 m.现要设计横断面为 抛物线型的双向二车道的公路隧道, 为保障双向行驶安全, 交通管理规定汽车进入隧道后必 须保持距中线 0.4 m 的距离行驶.已知拱口 AB 宽恰好是拱高 OC 的 4 倍,若拱宽为 a m,求 能使卡车安全通过的 a 的最小整数值. 剖析:根据问题的实际意义,卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线 0.4 m 到 2 m 间 的道路行驶为最佳路线,因此,卡车能否安全通过,取决于距隧道中线 2 m(即在横断面上 距拱口中点 2 m)处隧道的高度是否够 3 m,据此可通过建立坐标系,确定出抛物线的方程 后求得. 解:如下图,以拱口 AB 所在直线为 x 轴,以拱高 OC 所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 由题意可得抛物线的方程为 x2=-2p(y-
a 4

) ,

∵点 A(-

a 2

,0)在抛物线上,∴(-
a 4

a 2

)2=-2p(0-

a 4

) ,得 p=

a 2

.

∴抛物线方程为 x2=-a(y-

).
a 4

取 x=1.6+0.4=2,代入抛物线方程,得 22=-a(y- 由题意,令 y>3,得
a ? 16
2

) ,y=

a ? 16
2

.

4a

>3,

4a

∵a>0,∴a2-12a-16>0.∴a>6+2 13 . 又∵a∈Z,∴a 应取 14,15,16,?. 答:满足本题条件使卡车安全通过的 a 的最小正整数为 14 m. 评述: 本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义,确定解题途径,得 到距拱口中点 2 m 处 y 的值;二是由 y>3 通过解不等式,结合问题的实际意义和要求得到 a 的值,值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的. ●闯关训练
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夯实基础 1.1998 年 12 月 19 日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星” 系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点为 m km,远地点为 n km,地球的半径为 R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于 A.2 (m ? R )(n ? R ) B.
( m ? R )(n ? R )

C.2mn D.mn
m ? n ? 2R

-c=m+R, +c=n+R,

① ②

解析:由题意

2 m ? n ? 2R 2

∴c=

n?m 2


n?m 2

2b=2 (

m ? n ? 2R 2

) ?(
2

)

2

=2 (m ? R )(n ? R ) .

答案:A 2.如下图,花坛水池中央有一喷泉,水管 OP=1 m,水从喷头 P 喷出后呈抛物线状先向 上至最高点后落下,若最高点距水面 2 m,P 距抛物线对称轴 1 m,则在水池直径的下列可 选值中,最合算的是

A.2.5 m B.4 m C.5 m D.6 m 解析:以 O 为原点,OP 所在直线为 y 轴建立直角坐标系(如下图) ,则抛物线方程 可设为

y=a(x-1)2+2,P 点坐标为(0,1) ,∴1=a+2.∴a=-1.∴y=-(x-1)2+2. 令 y=0,得(x-1)2=2,∴x=1± 2 . ∴水池半径 OM= 2 +1≈2.414(m).因此水池直径约为 2?|OM|=4.828(m).
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答案:C 3.一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是 x2=2y(0≤y≤20).在杯内放入一 个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径 r 的范围为____________. 解析:玻璃球的轴截面的方程为 x2+(y-r)2=r2,由 x2=2y, 得 y2+2(1-r)y=0,由Δ =4(1-r)2=0,得 r=1. x2+(y-r)2=r2, 答案:0<r≤1 4.河上有一抛物线型拱桥, 当水面距拱顶 5 m 时, 水面宽为 8 m, 一小船宽 4 m, 2 m, 高 载货后船露出水面上的部分高
3 4

m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距____________m 时,

小船不能通航. 解析:建立直角坐标系,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0). 将点(4,-5)代入求得 p=
8 5

.∴x2=-
5 4

16 5

y. +|y1|=
3 4

将点(2,y1)代入方程求得 y1=-

.∴

3 4

+

5 4

=2(m).

答案:2 5.下图是一种加热水和食物的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形的反光镜,镜的轴截 面是抛物线的一部分, 盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处, 容器由若干根等长的铁筋焊 接在一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为 12 m,镜深 2 m,

(1)建立适当的坐标系,求抛物线的方程和焦点的位置; (2)若把盛水和食物的容器近似地看作点,试求每根铁筋的长度. 解: (1)如下图,在反光镜的轴截面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的 顶点)与原点重合,x 轴垂直于镜口直径.

由已知,得 A 点坐标是(2,6) ,设抛物线方程为 y2=2px(p>0) , 则 36=2p?2,p=9.所以所求抛物线的标准方程是 y2=18x,焦点坐标是 F( (2)∵盛水的容器在焦点处,∴A、F 两点间的距离即为每根铁筋长. |AF|= (2 ? ) 2 ? 6 2 =
2 9
13 2

9 2

,0).

(或|AF|=

9 2

+2=

13 2

).

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故每根铁筋的长度是 6.5 m. 6.有一种电影放映机的放映灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明窗用作通光孔,它的反 射面是一种曲线旋转而成的曲面的一部分, 灯丝定在某个地方发出光线反射到卡门上, 并且 这两物体间距离为 4.5 cm,灯丝距顶面距离为 2.8 cm,为使卡门处获得最强烈的光线,在加 工这种灯泡时,应使用何种曲线可使效果最佳?试求这个曲线方程. 分析:由于光线从灯丝发出,反射到卡门上光线应交于一点,这就是光线聚焦,只要把 灯丝、 卡门安在椭圆的 2 个焦点上, 反射面采用旋转椭球面就可以使光线经反射后聚焦于卡 门处,因而可获得强光. 解:采用椭圆旋转而成的曲面,如下图建立直角坐标系,中心截口 BAC 是椭圆的一部 分,设其方程为
x a
2 2

+

y b

2 2

=1,灯丝距顶面距离为 p,由于△BF1F2 为直角三角形,因而,
1 2
x
2 2

|F2B|2=|F1B|2+|F1F2|2=p2+4c2,由椭圆性质有|F1B|+|F2B|=2a,所以 a=
1 2

(p+

p ? 4c
2

2

) ,a=

(2.8+ 2.8 2 ? 4.5 2 )≈4.05 cm,b= a 2 ? c 2 ≈3.37 m.∴所求方程为

+

y

2 2

=1.

4.05

3.37

培养能力 7.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示, 已知上部呈抛物线形, 跨度为 20 m, 拱顶距水面 6 m,桥墩高出水面 4 m,现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过 18 m, 目前吃水线上部分中央船体高 5 m,宽 16 m,且该货船在现在状况下还可多装 1000 t 货物, 但每多装 150 t 货物,船体吃水线就要上升 0.04 m,若不考虑水下深度,该货船在现在状况 下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

解:如下图,建立直角坐标系,设抛物线方程为 y=ax2,则 A(10,-2)在抛物线上,

∴-2=ax2,a=-

1 50

,方程即为 y=-
1 50

1 50

x2 让货船沿正中央航行.

∵船宽 16 m,而当 x=8 时,y=-

?82=1.28 m,

∴船体在 x=±8 之间通过.由 B(8,-1.28) , ∴B 点离水面高度为 6+(-1.28)=4.72(m) ,而船体水面高度为 5 m,
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∴无法直接通过.又 5-4.72=0.28(m) ,0.28÷0.04=7,而 150?7=1050(t) , ∴要用多装货物的方法也无法通过,只好等待水位下降. 8.(文) (2004 年春季北京,文 18)2003 年 10 月 15 日 9 时, “神舟”五号载人飞船发 射升空,于 9 时 9 分 50 秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心 F2 为 一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点 A 距地面 200 km,远地点 B 距地面 350 km.已知地球半径 R=6371 km.(如下图)

(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程; (2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于 16 日 5 时 59 分返回舱与推进舱分离,结束巡天 飞行,飞船共巡天飞行了约 6?105 km,问飞船巡天飞行的平均速度是多少?(结果精确到 1 km/s) (注:km/s 即千米/秒) 解: (1)设椭圆的方程为
x a
2 2

+

y b

2 2

=1.

由题设条件得 a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+200=6571, a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+350=6721. 解得 a=6646,c=75,所以 a2=44169316, b2=a2-c2=(a+c) (a-c)=6721?6571=44163691. ∴所求椭圆的方程为
x
2

+

y

2

=1.
x
2 2

44169316

44163691

(注:由 44163691 ≈6645.5768 得椭圆的方程为

+

y

2 2

=1,也是正确的)

6646

6645.6

(2)从 15 日 9 时到 16 日 6 时共 21 个小时,即 21?3600 s. 减去开始的 9 分 50 s, 9?60+50=590 即 (s) 再减去最后多计的 1 分钟, , 共减去 590+60= 650(s) ,得飞船巡天飞行的时间是 21?3600-650=74950(s) , 平均速度是
600000 74950

≈8(km/s).

所以飞船巡天飞行的平均速度是 8 km/s. (理) (2003 年上海)如下图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽 22 m,要求通行车 辆限高 4.5 m,隧道全长 2.5 km,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

(1)若最大拱高 h 为 6 m,则隧道设计的拱宽 l 是多少? (2)若最大拱高 h 不小于 6 m,则应如何设计拱高 h 和拱宽 l,才能使半个椭圆形隧道 的土方工程量最小? (半个椭圆的面积公式为 S=
π 4

lh,柱体体积为底面积乘以高.本题结果均精确到 0.1 m)

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(1)解:如下图建立直角坐标系,则点 P(11,4.5) ,

椭圆方程为
88 7 7

x a

2 2

+

y b

2 2

=1.将 b=h=6 与点 P 坐标代入椭圆方程,得 a=

44 7 7

,此时

l=2a=

≈33.3.因此隧道的拱宽约为 33.3 m.
x a
2 2

(2)解法一:由椭圆方程

+

y b

2 2

=1,得

11 a

2

2

+

4 .5 b
2

2

=1.

因为

11 a

2

2

+

4 .5 b
2

2



2 ? 11 ? 4.5 ab
2

,即 ab≥99,且 l=2a,h=b,所以 S=

π 4

lh=

π ab 2



99π 2

.

当 S 取最小值时,有

11 a

2

=

4 .5 b
2

2

=

1 2

,得 a=11 2 ,b=

9 2 2

.

此时 l=2a=22 2 ≈31.1,h=b≈6.4. 故当拱高约为 6.4 m、拱宽约为 31.1 m 时,土方工程量最小. 解法二:由椭圆方程
x a
81 4
2 2

+

y b

2 2

=1,得

11 a

2

2

+

4 .5 b
2

2

=1.

于是 b2=

?

a
2

2

a ? 121

.

a2b2=

81 4

(a2-121+

121
2

2

a ? 121

+242)≥

81 4

(2 1212 +242)=81?121,

即 ab≥99,当 S 取最小值时,有 a2-121=
9 2 2

121
2

2

a ? 121

.

得 a=11 2 ,b=

,以下同解法一.

探究创新 9.中国跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线为 如下图所示坐标系下经过原点 O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件).

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在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 10

2 3

m,入水处

距池边的距离为 4 m,同时,运动员在距水面高度为 5 m 或 5 m 以上时,必须完成规定的翻 腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这条抛物线的解析式. (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空 中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 3
3 5

m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说

明理由. (3)要使此次跳水不至于失误,该运动员按(1)中抛物线运行,且运动员在空中调整 好入水姿势时,距池边的水平距离至多应为多少? 解: (1)在给定的直角坐标系下,设最高点为 A,入水点为 B,抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c. 由题意知,O、B 两点的坐标依次为(0,0)(2,-10) 、 ,且顶点 A 的纵坐标为 c=0, 所以有
4ac ? b 4a
2

2 3



=

2 3



4a+2b+c=-10. a=- 解之得 b=
10 3 25 6





c=0 a=- 或
3 2



b=-2, c=0.
b 2a

∵抛物线对称轴在 y 轴右侧,∴- 又∵抛物线开口向下,∴a<0. ∴b>0,后一组解舍去.∴a=- ∴抛物线的解析式为 y=-
25 6 25 6

>0.

,b= x.

10 3

,c=0.

x2+

10 3

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3

3 5

m 时,即 x=3

3 5

-2=

8 5

时,

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y=(-

25 6

)?(

8 5

)2+

10 3

?

8 5

=-
16 3

16 3

, <5.

∴此时运动员距水面的高为 10-

=

14 3

因此,此次跳水会出现失误. (3)当运动员在 x 轴上方,即 y>0 的区域内完成动作并做好入水姿势时,当然不会失 误,但很难做到. ∴当 y<0 时,要使跳水不出现失误, 则应有|y|≤10-5,即-y≤5. ∴有
25 6

x2-

10 3

x≤5,

解得 2- 34 ≤x≤2+ 34 . ∴运动员此时距池边的距离至多为 2+2+ 34 =4+ 34 m. ●思悟小结 解决圆锥曲线应用问题时,要善于抓住问题的实质,通过建立数学模型,实现应用性问 题向数学问题的顺利转化;要注意认真分析数量间的关系,紧扣圆锥曲线概念,充分利用曲 线的几何性质,确定正确的问题解决途径,灵活运用解析几何的常用数学方法,求得最终完 整的解答. ●教师下载中心 教学点睛 解应用题时涉及到两个基本步骤,即将实际问题抽象成数学问题和解决这个数学问题, 为此要注意以下三点: 1.阅读理解.数学应用题给出的方式是材料的陈述,而不是客体的展示.也就是说,所考 的应用题通常已进行过初步加工,并通过语言文字、符号或图形展现在考生面前,要求考生 读懂题意,理解实际背景,领悟其数学实质. 2.数学建模, 即将应用题的材料陈述转化成数学问题.这就要抽象、 归纳其中的数量关系, 并把这种关系用数学式子表示出来. 3.数学求解.根据所建立数学关系的知识系统,解出结果,从而得到实际问题的解答. 本节就是通过圆锥曲线在现实生活中的应用,培养学生解决应用问题的能力. 拓展题例 【例 1】 一摩托车手欲飞跃黄河,设计摩托车沿跑道飞出时前进方向与水平方向的仰 角是 12°,飞跃的水平距离是 35 m,为了安全,摩托车在最高点与落地点的垂直落差约 10 m,那么,骑手沿跑道飞出时的速度应为多少?(单位是 km/h,精确到个位) (参考数据:sin12°=0.2079,cos12°=0.9781,tan12°=0.2125) 分析:本题的背景是物理中的运动学规律,摩托车离开跑道后的运动轨迹为抛物线,它 是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向上的上抛运动合成的,它们运行的位移都是时间 t 的函数,故应引入时间 t,通过速度 v 的矢量分解来寻找解决问题的途径. 解: 摩托车飞离跑道后,不考虑空气阻力,其运动轨迹是抛物线,轨迹方程是 x=vtcos12°, y=vtsin12°-
1 2

?9.8t2.

其中 v 是摩托车飞离跑道时的速度,t 是飞行时间,x 是水平飞行距离,y 是相对于起始
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点的垂直高度,将轨迹方程改写为 y=-
1
1

2 (cos 12? ? v) 2

?9.8x2+tan12°?x,即 y=-5.1219

x v

2 2

+0.2125x.

当 x≈0.0207v2 时,取得 ymax≈0.0022v2. 当 x=35 时,y 落=-6274.3275 ∵ymax-y 落=10, 0.0022v2+6274.3275
1 v
2

1 v
2

+7.4375.

-17.4375=0,解得 v≈19.44 m/s 或 v≈86.88 m/s.

若 v≈86.88 m/s,则 x=156.246 m,与题目不符, 而 v≈19.44 m/s,符合题意,为所求解. 故 v≈19.44 m/s=69.984 km/h≈70 km/h. 答:骑手沿跑道飞出时的速度应为 70 km/h. 评述:本题直接构造 y 是 x 的函数解析式很困难,应引入适当的参数(时间 t)作媒介, 再研究 x 与 y 是怎样随参数变化而变化的,问题往往就容易解决了.这种辅助变量的引入要 具体问题具体分析,以解题的简捷为原则. 【例 2】 A、B、C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 km,C 在 B 正北偏西 30°,相 距 4 km,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于 B、C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B、C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km/s,A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. 解:如下图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则

B(-3,0) 、A(3,0) 、C(-5,2 3 ). 因为|PB|=|PC|,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 因为 kBC=- 3 ,BC 中点 D(-4, 3 ) , 所以直线 PD 的方程为 y- 3 =
1 3

(x+4).



又|PB|-|PA|=4,故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上. 设 P(x,y) ,则双曲线方程为 联立①②,得 x=8,y=5 3 , 所以 P(8,5 3 ).因此 kPA=
5 3 8?3 x
2



y

2

=1(x≥0).



4

5

= 3.

故炮击的方位角为北偏东 30°.
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