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高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案理(数学教案)

专题 13 导数的概念及其运算 1.了解导数概念的实际背景; 2.通过函数图象直观理解导数的几何意义; 1 3.能根据导数的定义求函数 y=c(c 为常数),y=x,y= ,y=x2,y=x3,y= x的导数; x 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合 函数(仅限于形如 y=f(ax+b)的复合函数)的导数. 1.函数 f(x)在点 x0 处的导数 (1)定义 函数 y=f(x)在点 x0 的瞬时变化率Δ lim x→0 x0 处的导数,并记作 f′(x0),即Δ lim x→0 f?x0+Δ x?-f?x0? =l,通常称为 f(x)在点 Δx f?x0+Δ x?-f?x0? =f′(x0). Δx (2)几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0, f(x0))的切线的斜率 等于 f′(x0). 2.函数 f(x)的导函数 如果 f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 导数都存在,则称 f(x)在区间(a,b)可导.这样,对开 区间(a,b)内每个值 x,都对应一个确定的导数 f′(x).于是,在区间(a,b)内,f′(x)构 成一个新的函数,我们把这个函数称为函数 y=f(x)的导函数,记为 f′(x)(或 y′x、y′). 3.基本初等函数的导数公式 y=f(x) y=C y=xn y=xμ (x>0,μ ≠0) y=ax (a>0,a≠1) y=ex y=logax(a>0,a≠1,x>0) y=ln x y=sin x y=cos x y′=f′(x) y′=0 y′=nxn-1,n 为自然数 y′=μ xμ -1,μ 为有理数 y′=axln a y′=ex 1 y′= xln a 1 y′= x y′=cos x y′=-sin x 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); -1- ?f?x??′=f′?x?g?x?-f?x?g′?x? (3)? ? [g?x?]2 ?g?x?? (g(x)≠0). 5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 y′x=y′u·u′x, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 高频考点一 导数的运算 例 1、分别求下列函数的导数: 1 1? ? (1)y=exln x;(2)y=x?x2+ + ?; x x3? ? x x (3)y=x-sin cos ;(4)y=ln 1+2x. 2 2 1 解 (1)y′=(ex)′ln x+ex(ln x)′=exln x+ex· x 1? ? =ex?ln x+ ?. x? ? 1 2 (2)∵y=x3+1+ ,∴y′=3x2- . x2 x3 1 1 (3)∵y=x- sin x,∴y′=1- cos x. 2 2 1 (4)∵y=ln 1+2x= ln(1+2x), 2 1 1 1 ∴y′= · ·(1+2x)′= . 2 1+2x 1+2x 【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少 差错,常用求导技巧有: (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; (6)复合函数:由外向内,层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; cos x (2)y= ; ex π? ? π? ? (3)y=xsin?2x+ ?cos?2x+ ?; 2? ? 2? ? (4)y=ln(2x-5). 解 (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. -2- (2)y′=? ?cos x?′=(cos x)′ex-cos x(ex)′ ? (ex)2 ? ex ? sin x+cos x =- . ex 高频考点二 导数的几何意义 例 2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e-x-1-x,则曲线 y =f(x)在点 (1,2)处的切线方程是________. (2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的 方程为( ) A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0 解析 (1)设 x>0,则-x<0,f(-x)=ex-1+x. 又 f(x)为偶函数,f(x)=f(-x)=ex-1+x, 所以当 x>0 时,f(x)=ex-1+x. 因此,当 x>0 时,f′(x)=ex-1+1,f′(1)=e0+1=2. 则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为 f′(1)=2,所以切线方程为 y-2=2(x-1), 即 2x-y=0. (2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0). ? ?y0=x0ln x0, 又∵f′(x)=1+ln x,∴? ?y0+1=(1+ln x0)x0, ? 解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0. -3- 答案 (1)2x-y=0 (2)B 【方法规律】(1)求切线方程的方法: ①求曲线在点 P 处的切线,则表明 P 点是切点,只需求出函数在点 P 处的导数,然后利用点 斜式写出切线方程; ②求曲线过点 P 的切线,则 P 点不一定是切点,