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化思想深化函数单调性与奇偶性学习


# $ $ B年第 2期 !!" !!!!!!" 方法技巧 !!!" 与 思 维

中学数学

# 4

运用转化思想深化函数单调性与奇偶性学习
# # # $ $ % 江苏省新海高级中学 王弟成 舒 燕

!!!!!" > 由 得 由

等 价 转 化 思 想 是 一 种 最 重 要& 最基本的 是高中数学教学重点培养的 数学 思 想 方 法 ’ 数学 思 想 方 法 之 一 ( 函数的单调性与奇偶性 是函 数 的 重 要 性 质 ’ 也是高考重点考查的内 容( 学习中若能自觉运用转化思想指导函数 则有利于深化对 的单 调 性 与 奇 偶 性 的 学 习 ’ 函数 单 调 性 与 奇 偶 性 的 认 识 与 理 解 ’ 有利于 灵活 运 用 函 数 单 调 性 与 奇 偶 性 解 决 问 题 ’ 有 利于提高自身解题能力 ( ) 自变量与函数值相互转化 函 数单 调性的 定义明 确 体 现 了 函 数 自 变 量 间的不等关系与 函数值间不 等关 系 相 互 转 理解它们 之间的 相 互 转 化 关 系 ’ 有 化的思想 ’ 利于灵活运用函数的单调性解题 ( 例) 设* + , -是定义在 + $ ’. /-上的 且对 定义域内任 意 , 都有 单 调递 增函数 ’ & 0 ’ 求使不等 * + , 0 -1 * + , -. * + 0 ’ * + # -1 2 ’ 式* 成立的 + , -. * + ,3 4 -5 # ,的取值范 围( 分析 这类抽象函数求解是学生初学函 数时 较 难 掌 握 的 内 容 ’ 解题的关键需实现三 种 转 化6 将 函 数 值 间 的不等关系转化为自 7 变 量 间 的 不 等 关 系8 9 根据函数的单调性定 义只能比较两个值的大小 ’ 因此需将 * + , -. 根据等式转化为 * + ,3 4 * : , + , 34 ; 8 <需 转化为某自变量的函数值 ’ 从而建立关于 将# 的不等关系 求解 的范围 , ’ , ( 解 = * + , -的定义域是 + $ ’. /’

由 7& 9得

4C ,5 B (

D 自变量间相互转化

函数 的 奇 偶 性 是 指 ’ 若* + , -是 偶 函 数 ’ 则对定义域内任意 ,都有 * 若 + 3, 1* + , 8 则 对 定 义 域 内 任 意 ,都 有 * + , -是 奇 函 数 ’ 由 函 数 的 奇 偶 性 知 * + 3, 13 * + , ’ 与 可以相互转化 * + 3, - * + , ( 例D 设* 为定义在 + 上 + , 3 /’ . /的偶函数 ’ 且* 在 上为增函数 + , - : $ ’. /’ 则 * + 3 E & * + 4 & * + 3 # -的 大 小 顺 序 是 +

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7

* + , 0 -1 * + , -. * + 0 ’ * + , -. * + ,3 4 -1 * : , + ,3 4 ; ’ * + # -1 2 ’ 得 #1 2. 21 * + # -. * + # 1* + #A # -1 * + B ’ # 由题设条件应有 * + , 34 , -5 * + B ’ 又* + , -在 + $ ’. /-上是单调递增函数 ’ # > , 34 ,5 B ’ 即 3 25 ,5 B 9

( + F* + 3E -? * + 4 -? * + 3# + G * + 3E -? * + 3# -? * + 4 + H * + 3E -C * + 4 -C * + 3# + I * + 3E -C * + 3# -C * + 4 分析 已知 * 在: 上为增函 + , $ ’ . /数’ 不在同一个单调区间 因此需 3E ’ 3# ’ 4 ’ 将3E 即 ’3 # ’ 4转化到同一个单调区间上 ’ 转化为 转化为 将* + 3E * + E & * + 3# * + # ’ 由 #C 4C E 得 从而 ’ * + # -C * + 4 -C * + E ’ 故选 + * + 3E -? * + 4 -? * + 3# ’ F( 例 J 定义在 : 上的偶函数 K 3# ’ # ; + , ’ 当 ,L $时 ’ 若K K + , -单调递减 ’ + 23 M-C 求 M 的取值范围 ( K + M-成立 ’ 分析 已知条件给出函数值间不等关 系’ 要 求 M 的 范围 ’ 需利用 函数 K + , -单 调 递 减的 性 质 ’ 将函数值间不等关系转化为自变 量间的不等关系 ’ 由于 2 3 M与 M可位于不同 区间’ 因 此 有 多 种 情 况’ 采 取 分 类 讨 论’ 过程 相当繁 琐 ’ 若 能 利 用 偶 函 数 的 性 质’ 即* + , 则可避开分类讨论 ( 1* + 3, -1 * + N , N ’ 解 = K 对于任 意 ,O + , -为偶函数 ’ 总有 K 于 : 3# ’ # ; ’ + 3, 1K + , 1K + N , N ’ 是不等式 K + 23 M-C K + M-等价于 K + N 23 MN -C K + N MN ’ 3 #C 23 M C # ’ Q P3 #C M C # ’ RN 23 MN? N MN (

由此有

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中学数学

’ 4 4 @年第 "期

即 解得

/ 数与形转化 数 形 结 合& 实质上是将抽象的语言与直 观图形结合起来 & 以便化抽 象 为 直 观 & 达到化 难为易 & 化繁为简的目的 . 当函数的奇偶性与 单调 性 相 结 合 时 & 其大致的图像能直观地反 映出来 & 便于从图像中捕捉解题思路 . 例 0 已知 1 ( 2 )是 实 数 集 3 上 的 奇 函 数& 且在区间 ( 若1 4 &5 6)上是增函数 & ( " ) 解不等式 74 & 8* " & 1 ( 9 : ; 2 )# 4 . 8 分析 由已知 & 1 ( 2 )是 3 上 的 奇 函 数 & 且在区间 ( 上是增函数 & 由1 4 & 5 6) ( " ) 74 & 则 可得 1 如图 "所 示 ) 且知 ( 2 )的大致图像 ( & 又 由 图 像 知& 1 ( ! " )7 4 . 1 ( 9 : ; 2 )# 47 8 所以有 或1 2 )# 47 1 ( !" ) & 1 ( " ) & ( 9 : ; 8 & ,2* 4 2* 4 & : ; +9 8 : ; 2# " . -9 8 & ,2* 4 或 +9 : ; 2# 4 & 8 : ; 2#! " . -9 8

是定义在实数集 3 上的奇函数 & 则1 ( 2 )的解 析式是 . 分析 求 函 数 的 解 析 式 只 需 求 出 8的 值. 因 此只需建立一个关于 8的 方 程 & 解之即 可. 若利用一般方程 1 ( !2 )7! 1 ( 2 )求 8 & 则较繁琐 & 注意到特殊性寓 于 一 般 性 之 中 & 又 奇函数 1 故可将问题 ( 2 )在 27 4处有定义 & 特殊化 . 考虑方程 1 解得 ( 4 )7 4 & 87 " & 1 ( 2 )7
2 ’ !" . 2 ’ 5"

C 未知向已知转化 明 确 目 标& 揭示条件中给出的等式或不 等式的功能 & 从已知与目标 的 差 异 中 & 寻求思 路& 不断地化未知为已知 . 例E ( ’ 4 4 %年 北 京 市 高 考 题 )设 F7 且满 1 ( 2 )是 定 义 在 区 间 G !" & " H上 的 函 数 & 足条件 I ( J ) 1 ( !" )7 1 ( " )7 4 K ( J J )对任意的 L & MN G !" & " H都有 = 1 ( L )! 1 ( M ) =O = L! M = . 对于任意 2N G 都有 ( P)证明 I !" & " H & 2! "O 1 ( 2 )O "! 2 K 对于任意 L 都 ( Q)证明 I & MN G !" & " H & 有 = 1 ( L )! 1 ( M ) =O " . ( R)略 . 分析 ( P)所证不等式 2! "O 1 ( 2 )O "! 2 & 可化为 ! ( "! 2 )O 1 ( 2 )O "! 2 & 即 = 1 ( 2 ) =O "! 2 & 进一步转化为 = 1 ( 2 )! 4 =O "! 2 & 又 1 ( !" )7 1 ( " )7 4 & "! 2* 4 & 所以 = 1 ( 2 )! 1 ( " ) =O = 2! " = . 由条件 ( J J )知此不等式成立 . 由( ( Q)证明 P)的思路得 & = 1 ( L )! 1 ( M ) = 7= 1 ( L )! 1 ( " )5 1 ( !" )! 1 ( M ) = O= 1 ( L )! 1 ( " ) =5 = 1 ( !" )! 1 ( M ) = O "! L5 "5 M7 ’! ( L! M ) & 若 L! M* " 则 ’! ( & L! M )# " & 有 = 1 ( L )! 1 ( M ) =# " . 若 L! MO " 有 & = 1 ( L )! 1 ( M ) =O = L! M =O " . 即对于任意的 L 总有 S MN G !" & " H & = 1 ( L )! 1 ( M ) =O " .
收稿日期 I ( ’ 4 4 % 4 A " B )

图"

又 8* " 所以不等式的 & 解集为 " < 2 = " # 2# 8或 4 # 2# > . 8

0 隐含条件向显化条件转化 例 ? 实数集 3 上的偶函数 1 ( 2 )在 ’ 上是增函数 若 ( ! 6& 4 ) & 1 ( ’ 8 5 85 " )# ’ 求 8的取值范围 . 1 ( % 8 !’ 85 " ) & 分析 利用偶函数的性质可避免分类讨 论& 但求解起来又比较困难 & 若能发现 "’ A )5 *4 & @ B "’ @ ’ !’ 85 "7 % ( 8! ) 5 % 8 *4 & % % 问题的求解则简洁得多 . ? 一般向特殊转化 一 般 中 蕴 含 着 特 殊& 对于一般都成立则 对于特殊一定成立 & 用特殊 代 替 一 般 & 实现由 一般 向 特 殊 转 化 & 可迅速求出某些参数的值 或具体的函数值 .
’ ’ 8 5 85 "7 ’ ( 85 2 8D’ 5 8! ’ 例 C 已知函数 1 ( 2 )7 2 5" ’

运用转化思想深化函数单调性与奇偶性学习
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 王弟成, 舒燕 222006,江苏省新海高级中学 中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2004,""(1) 1次

引证文献(1条) 1.张学兵 用元认知提示语增强防范逻辑错误的意识[期刊论文]-数学教学通讯 2004(21)

本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_zxsx200401010.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw),授权号:3ac5181e-d3c5-4bdd-91d6-9dce011c7ddd 下载时间:2010年8月10日


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