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2018-2019学年人教A版高中数学必修二同步学习讲义:1.2空间几何体的三视图和直视图 1.2.1~1.2.2

数学 1.2.1 1.2.2 学习目标 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图 1.了解中心投影和平行投影 .2.能画出简单空间图形的三视图 .3.能识别三视图所 表示的立体模型. 知识点一 投影的概念 思考 由下图你能说出影子是怎样得到的吗? 答案 光照射到不透明物体(比如手)上,在后面的屏幕上留下影子. 梳理 (1)定义:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种 现象叫做投影. (2)投影线:光线. (3)投影面:留下物体影子的屏幕. 知识点二 投影的分类 投影 中心投影 平行投影 定义 光由一点向外散射形成的投影 在一束平行光线照射下形成的投影 特征 投影线交于一点 投影线平行 正投影和斜投影 分类 知识点三 三视图 思考 如梦似幻! —— 这是无数来自全世界的游客对国家游泳中心“水立方”的第一印 数学 象.假如你站在水立方入口处的正前方或在“水立方”的左侧看水立方,你看到的是什么? 若你在“水立方”的正上方观察水立方看到什么? 根据上述三个方向观察到的平面,能否画出“水立方”的形状? 答案 “水立方”的一个侧面. “水立方”的一个表面. 可以. 梳理 三视图的概念 (1)定义 (2)三视图的画法规则 ①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”; ②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”; ③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”. (3)三视图的排列顺序:先画正视图,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边. 类型一 中心投影与平行投影 例 1 (1)①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中 心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线;③几何体在平行投影与中心投 影下有不同的表现形式.其中正确说法的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D 解析 由平行投影和中心投影的定义知,平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相 ) 数学 交于一点,故①正确;空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线有可能变成相交 线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点,故②正确;几何体在平 行投影与中心投影下有不同的表现形式,故③正确.故选 D. (2)如图所示,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,E,F 分别是 A′A,C′C 的中点,则 下列判断正确的是________.(只填序号) ①四边形 BFD′E 在底面 ABCD 内的投影是正方形; ②四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是菱形; ③四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影与在面 ABB′A′内的投影是全等的平行四边 形. 答案 ①③ 解析 ①四边形 BFD′E 的四个顶点在底面 ABCD 内的投影分别是 B,C,D,A,所以投影 是正方形,即①正确;②设正方体的棱长为 2,则 AE=1,取 D′D 的中点 G,连接 AG,则 四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E, 由 AE∥D′G, 且 AE=D′G, 知四边形 AGD′E 是平行四边形,但 AE=1,D′E= 5,所以四边形 AGD′E 不是菱形, 即②不正确;对于③,由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形,从而③正确. 反思与感悟 (1)判断一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投 影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断. (2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点,如顶点、端点等,方法 是先画出这些关键点的投影,再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影. 跟踪训练 1 (1)已知△ABC,选定的投影面与△ABC 所在平面平行,则经过中心投影后所得 ) B.相似 的△A′B′C′与△ABC 的关系是( A.全等 数学 C.不相似 答案 B 解析 根据题意画出图形如图. D.以上都不对 AB OB BC OC AC 由图易得 = = = = ,则△ABC∽△A′B′C′. A′B′ OB′ B′C′ OC′ A′C′ (2)如图,E,F 分别是正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心,则四边形 BFD1E 在该正方 体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把所有可能的序号都填上) 答案 ②③ 解析 其中②可以是四边形 BFD1E 在正方体的面 ABCD 或面 D1DCC1 上的正投影.③可以 是四边形 BFD1E 在正方体的面 BCC1B1 上的正投影.四边形 BFD1E 在正方体任何一个面上 的正投影都不是①④. 类型二 三视图的画法与识别 命题角度1 三视图的识别 例 2 一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的三视图为( ) 数学 答案 C 解析 从该几何体可以看出,正视图是一个矩形内有一斜向上的对角线;俯视图是一个矩形 内有一斜向下的对角线,没有斜向上的对角线,故排除 B、D 项;侧视图是一个矩形内有一 斜向下的对角线,且都是实线,因为没有看不到的轮廓线,所以排除 A 项. 跟踪训练 2 将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与 俯视图如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 答案 B 解析 由几何体的正视图和俯视图可知该几何体如图所示,故其侧视图为 B 中的图象. 命题角度2 画几何体的三视图 例 3 画出如图所示的几何体的三视图. 解 如图所示. 数学 (1) (2) 引申探究 例 3(2)中的组合体改为如下图形,画出其三视图. 解 图中几何体实际为组合体,下部是三个正方体,上部是一个圆柱,按正方体和圆柱的三 视图画法画出该组合体的三视图,如图所示. 反思与感悟 画三视图的注意事项: (1)务必做到长对正,宽相等,高平齐. (2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视 图在正视图的正