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高中数学必修二-圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程
例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关
系. 解法一:(待定系数法) 解法二:(直接求出圆心坐标和半径)
例 2 求半径为 4,与圆 x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程.
说明:圆相切有内切、外切两种.
例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 分析:欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径,由于所求圆过定点 A ,故只需确定圆心坐标.又
圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.
例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 :1,在满足条件 (1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程.
分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个 条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线 的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方 程.
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类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例 5 已知圆 O:x2 ? y2 ? 4 ,求过点 P?2,4? 与圆 O 相切的切线.

说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法,例如把所设的切线方程代入圆方程,用判别式等于 0 解决(也要注意漏解).
例 6 两圆 C1:x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x2 ? y2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两
点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程. 分析:首先求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线 AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程
太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.

例 7、过圆 x2 ? y2 ? 1 外一点 M (2,3) ,作这个圆的两条切线 MA、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求 直线 AB 的方程。

练习:
1.求过点 M (3,1) ,且与圆 (x ?1)2 ? y2 ? 4 相切的直线 l 的方程.

2、过坐标原点且与圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 5 ? 0 相切的直线的方程为 2

3、已知直线 5x ? 12y ? a ? 0 与圆 x 2 ? 2x ? y 2 ? 0 相切,则 a 的值为

.

类型三:弦长、弧问题

例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

2

例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0截圆 x 2 ? y 2 ? 4 得的劣弧所对的圆心角为 例 10、求两圆 x2 ? y2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x2 ? y2 ? 5 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系
例 11、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0和圆 x 2 ? y 2 ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.

例 12、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 4 ? x2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

例 13、圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 上到直线 3x ? 4y ?11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l2 的方程,从代数计算中寻找解答.
练习 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

练 习 2 : 若 直 线 y ? kx ? 2 与 圆 (x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围



.

3、 圆 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ?1 ? 0 的距离为 2 的点共有( ).
(A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

4、 过点 P?? 3,? 4?作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l
y
与圆 C:?x ?1?2 ? ?y ? 2?2 ? 4 有公共点,如图所示.

O

x

E
3
P

类型五:圆与圆的位置关系
例 14、判断圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系,

例 15:圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 0 和圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的公切线共有

条。

练习

1:若圆 x2 ? y 2 ? 2mx ? m2 ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4my ? 4m2 ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取

值集合是

.

2:求与圆 x 2 ? y 2 ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

类型六:圆中的对称问题
例 16、圆 x2 ? y2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是

例 17、自点 A?? 3,3?发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在

的直线与圆 C:x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切

(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程.

A

(2)光线自 A 到切点所经过的路程.

y

M C
N

GO B

x

A’



类型七:圆中的最值问题

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例 18、圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上的点到直线 x ? y ?14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是

例 20:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 (x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 上运动,则 PA 2 ? PB 2 的最小

值是

.

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练习:
1:已知点 P(x, y) 在圆 x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1上运动. (1)求 y ?1 的最大值与最小值;(2)求 2x ? y 的最大值与最小值.
x?2 2、已知点 A(?2,?2), B(?2,6), C(4,?2) ,点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 PA 2 ? PB 2 ? PC 2 的最
大值和最小值.
类型八:轨迹问题
例 21、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为 1 ,求点 M 的轨迹方程. 2
例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 (x ? 1)2 ? y 2 ? 4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
例 23、如图所示,已知圆 O:x2 ? y2 ? 4 与 y 轴的正方向交于 A 点,点 B 在直线 y ? 2 上运动,过 B 做圆 O 的切线,切点为 C ,求 ?ABC垂心 H 的轨迹.
分析:按常规求轨迹的方法,设 H (x , y) ,找 x , y 的关系非常难.由于 H 点随 B , C 点运动 而运动,可考虑 H , B ,C 三点坐标之间的关系.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应
注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.
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例 24、已知圆的方程为 x2 ? y2 ? r 2 ,圆内有定点 P(a , b) ,圆周上有两个动点 A 、B ,使 PA? PB, 求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程.

练习:

1、由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB=600,则动点 P

的轨迹方程是

.

练习巩固:设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.

2、已知两定点 A(?2,0) ,B(1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等于
4、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ? 1 MB , 3
问点 M 的轨迹是什么?

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例 5、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动,?AOB的平分线交 AB 于点 M ,则点 M 的

轨迹方程是

.

练习巩固:已知直线 y ? kx ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、OB 为邻边作平行四 边形 OAPB,求点 P 的轨迹方程.

类型九:圆的综合应用
例 25、 已知圆 x2 ? y2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且 OP ? OQ ,求实数 m 的值.

例 26、已知对于圆 x2 ? ( y ?1)2 ? 1上任一点 P(x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的
取值范围.
例 27 有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3 倍.已知 A 、 B 两地距离为 10 公里,顾客选 择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A 、B 两地的售货区域的
分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
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