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高中数学必修二-圆的方程典型例题


高中数学圆的方程典型例题
类型一:圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关 系. 解法一: (待定系数法) 解法二: (直接求出圆心坐标和半径)

例 2 求半径为 4,与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆的方程. 说明:圆相切有内切、外切两种.

例 3 求经过点 A(0 , 5) ,且与直线 x ? 2 y ? 0 和 2 x ? y ? 0 都相切的圆的方程. 分析: 欲确定圆的方程. 需确定圆心坐标与半径, 由于所求圆过定点 A , 故只需确定圆心坐标. 又 圆与两已知直线相切,故圆心必在它们的交角的平分线上.

例 4、 设圆满足:(1)截 y 轴所得弦长为 2;(2)被 x 轴分成两段弧,其弧长的比为 3 : 1 ,在满足条件 (1)(2)的所有圆中,求圆心到直线 l:x ? 2 y ? 0 的距离最小的圆的方程. 分析:要求圆的方程,只须利用条件求出圆心坐标和半径,便可求得圆的标准方程.满足两个 条件的圆有无数个,其圆心的集合可看作动点的轨迹,若能求出这轨迹的方程,便可利用点到直线 的距离公式,通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标,进而确定圆的半径,求出圆的方 程.

1

类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例 5 已知圆 O:x 2 ? y 2 ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线.

说明:上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况,要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法, 例如把所设的切线方程代入圆方程, 用判别式等于 0 解决 (也要注意漏解) . 例 6 两圆 C1:x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与 C2:x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交于 A 、 B 两 点,求它们的公共弦 AB 所在直线的方程. 分析:首先求 A 、 B 两点的坐标,再用两点式求直线 AB 的方程,但是求两圆交点坐标的过程 太繁.为了避免求交点,可以采用“设而不求”的技巧.

例 7、过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求
2 2

直线 AB 的方程。

练习: 1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ?1) ? y ? 4 相切的直线 l 的方程.
2 2

2、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?
2 2

5 ? 0 相切的直线的方程为 2
.

2 2 3、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为

类型三:弦长、弧问题
2 2 例 8、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

2

例 9、直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对的圆心角为
2 2

例 10、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 5 的公共弦长

类型四:直线与圆的位置关系 例 11、已知直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 和圆 x ? y ? 4 ,判断此直线与已知圆的位置关系.
2 2

例 12、若直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有且只有一个公共点,求实数 m 的取值范围.

例 13、圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 上到直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 的距离为 1 的点有几个? 分析:借助图形直观求解.或先求出直线 l1 、 l 2 的方程,从代数计算中寻找解答.

2 2 练习 1:直线 x ? y ? 1 与圆 x ? y ? 2ay ? 0 (a ? 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是

2 2 练 习 2 : 若 直 线 y ? kx ? 2 与 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 有 两 个 不 同 的 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围



.

3、

圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 上到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 的点共有( ) . (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

? 4? 作直线 l ,当斜率为何值时,直线 l 4、 过点 P?? 3,
与圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? 4 有公共点,如图所示.
2 2

y

O

x

E
3

P

类型五:圆与圆的位置关系 例 14、判断圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 26 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的位置关系,

例 15:圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的公切线共有
2 2 2 2

条。

练习 1:若圆 x 2 ? y 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4my ? 4m 2 ? 8 ? 0 相切,则实数 m 的取 值集合是 .

2 2 2:求与圆 x ? y ? 5 外切于点 P(?1,2) ,且半径为 2 5 的圆的方程.

类型六:圆中的对称问题 例 16、圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 5 ? 0 对称的圆的方程是

例 17、自点 A?? 3, 3? 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在 的直线与圆 C:x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0 相切
2 2

y M A C N

(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程.

G O

B

x

A’

类型七:圆中的最值问题

图 3

2 2 例 18、圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的差是

例 20:已知 A(?2,0) , B(2,0) ,点 P 在圆 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 上运动,则 PA ? PB 的最小
2 2

2

2

值是

.
4

练习: 1:已知点 P ( x, y ) 在圆 x ? ( y ? 1) ? 1 上运动.
2 2

(1)求

y ?1 的最大值与最小值; (2)求 2 x ? y 的最大值与最小值. x?2
2 2 2

2、已知点 A(?2,?2), B(?2,6), C (4,?2) ,点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 4 上运动,求 PA ? PB ? PC 的最 大值和最小值.

类型八:轨迹问题 例 21、基础训练:已知点 M 与两个定点 O(0,0) , A(3,0) 的距离的比为

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2

例 22、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段 AB
2 2

的中点 M 的轨迹方程.

2 2 例 23、如图所示,已知圆 O:x ? y ? 4 与 y 轴的正方向交于 A 点,点 B 在直线 y ? 2 上运动,过

B 做圆 O 的切线,切点为 C ,求 ?ABC 垂心 H 的轨迹.

分析:按常规求轨迹的方法,设 H ( x , y ) ,找 x , y 的关系非常难.由于 H 点随 B , C 点运动 而运动,可考虑 H , B , C 三点坐标之间的关系.做题时应注意分析图形的几何性质,求轨迹时应 注意分析与动点相关联的点,如相关联点轨迹方程已知,可考虑代入法.

5

例 24、 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 , 圆内有定点 P(a , b) , 圆周上有两个动点 A 、B , 使 PA ? PB , 求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程.

练习: 1、由动点 P 向圆 x ? y ? 1 引两条切线 PA 、 PB ,切点分别为 A 、 B , ?APB =600,则动点 P
2 2

的轨迹方程是

.

练习巩固:设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值

a(a ? 0) ,求 P 点的轨迹.

2、已知两定点 A(?2,0) , B (1,0) ,如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,则点 P 的轨迹所包围的面积等于

2 2 4、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x ? y ? 1 上运动, M 是线段 AB 上的一点,且 AM ?

1 MB , 3

问点 M 的轨迹是什么?

6

例 5、已知定点 B(3,0) ,点 A 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动,?AOB的平分线交 AB 于点 M ,则点 M 的 轨迹方程是 .

2 2 练习巩固:已知直线 y ? kx ? 1与圆 x ? y ? 4 相交于 A 、 B 两点,以 OA 、 OB 为邻边作平行四

边形 OAPB,求点 P 的轨迹方程.

类型九:圆的综合应用 例 25、 已知圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P 、 Q 两点, O 为原点,且

OP ? OQ ,求实数 m 的值.

2 2 例 26、已知对于圆 x ? ( y ?1) ? 1上任一点 P( x , y) ,不等式 x ? y ? m ? 0 恒成立,求实数 m 的

取值范围.

例 27 有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回 的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3 倍.已知 A 、 B 两地距离为 10 公里,顾客选 择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A 、 B 两地的售货区域的 分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.

7


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