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1.5y=Asin(ωx+φ)的图象_图文

函数y=Asin(ωx+φ)的图象

引入新课:
在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的 关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数). 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 y y
6 6 4

4 2

2

o
-2 -4 -6

2

4

6

8

x

o
-2 -4 -6

0.01

0.02

0.03

0.04

x

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有 何关系?
答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin( ?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin( ?x ? ? )的 图象的影响?

(一)探索?对y ? sin( x ? ? ), x ? R的图象的影响.
例1 画出下列函数的简图 ? 1) y ? sin(x ? ), x ? R 3 2) y ? sin(x ?
?

?
4

), x ? R

?? y=sin(x+ ),x∈R( ≠0) ? ? 3? ? ? x? ? 0 2 ? 2 2? 的图象,可以看作把正弦曲线上 2 3 4 ? 2 9 7 ?? 3? >0)或向右 所有的点向左(?5? 5? 5? x ? 3 4 ?6 4 6 4 3 43 4 (? <0)平行移动| |个单位 ? sin(x ? ) 0 ? 长度而得到。 0 1 0 ?1 0 0
3 4

y ? sin(x ? ) 的图象可由y=sinx的图象向左平移 ? 个单位 3 3 y
1
?

? ? ? 2 3

o
-1

? 4

?

2? 9? 4

x
?

y ? sin(x ?

?
4

) 的图象可由y=sinx的图象向右平移

个单位 4

(二)探索?对y ? sin ?x的图象的影响 .

例2 画出下列函数的简图:
(1) y ? sin 2 x, x ? R; 1 (2) y ? sin x, x ? R; 2
y


1 x 2x 2

0 0 0

x
1 x sin 2 x 2

? 4

? 2 ?

3? ? 2 2? ? 3? ? 2? 3? 4? 2 4



横坐标缩 短1 2 倍
2?
● ●

1

0 ?1 0

横坐标伸长到原来的 2 倍
4?


● ●

0

? 2



?


x

1 ?

函数 y=sinωx, x∈R(ω>0且ω≠1)的图象,可以看作 把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长 1 (0<ω<1)到原来的 ? 倍(纵坐标不变)而得到。ω只改 变函数 y=sinx的单调性与周期性,对函数的奇偶性 (图象 的对称性)与它的值域没有改变。



(三)探索A对y ? A sin x的图象的影响.

例3 画出下列函数的简图。
① ②
y
2
1
1
?1


y=2sinx, x∈R; y=
1 2

sinx,x∈R;

? 3? 2 x不改变函数y=sinx? 0 2 ? 2 sin x 0 1 0 ? 1 0 单调性,周期性,奇 2偶性 0 2 0 ? 2 只 sin x (图象的对称性) 0 1 1 1 sin x 0 0 ?2 0 改变函数的值域范围 2 2

A

纵坐标伸 长2倍
?


函数y=Asinx,x∈R(A>0且A ≠1)的图象,可以看作把正弦曲 线上所有点的纵坐标伸长(A>1)


2
2

● ●

0

?1

?2

纵坐标缩 1 短 2倍

? 2

3? 2



x 2?

或缩短(0<A<1)到原来的A倍
(横坐标不变)而得到.其中



y ? ?? A, A?

ymax ? A

ymin ? ? A

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
例4 画出函数的简图 ?
y ? 3 sin(2 x ? ), x ? R 3
向左平 ? 移
3
2x ?

?
3

0
?

x
? 3 sin(2 x ? ) 3

?
6

? 2 ?
12

?
? 3

3? 2 7?
12

2?
5? 6

y ? sin x
y ? sin(x ? ) 3

0

3

0
?
3 )

?3

0

y
3
?

y ? 3 sin(2 x ?

横坐标压 1 缩 倍
2

y ? sin x
?
3

y ? sin(2 x ? ) 3
?
3

?

y ? sin(x ? ) 3
?

?

?

?
6

0

? ? 12 3

7? 12

5? 6

?
?

2?

x

纵坐标伸 长3 倍

y ? 3 sin(2 x ?

)

y ? sin(2 x ? ) 3

思考:能否先伸缩,后平移?

?3

? 作函数 y = 3sin(2 x+ )的简图 3

解:
向左平移

?

y= sinx

个单位 3

y= sin(x+ 3) y= sin(2x+ 3 )
?

?

纵坐标不变 横坐标变为原来的 横坐标不变 纵坐标变为原来的3倍 1 2

?

y= 3sin(2x+ 3 )

函数y=Asin(ωx+φ)的图象
) 函数 y ? A sin(?x ? ?的 x 图象可由 y ? sin得到
y ? sin x
? ?0 ?

y

A

y ? A sin(?x ? ? )

?? ? ? 0
?? 0

A ?1
y ? sin x
2?

y ? sin(x ? ? )
0<ω<1横坐标伸长 倍 ? 1 ω>1横坐标压缩 倍
?
1

? ?0

x

y ? sin(?x ? ? )
0<A<1纵坐标压缩 A倍 A>1 纵坐标伸长A 倍

y ? sin(x ? ? )

?A

y ? A sin(?x ? ? )

? ?1 y ? sin(?x ? ? )

练习:

(1)为了得到函数y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 个单位长度. 5 ( B )向左平行移动 个单位长度. 5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ?

?

? ?

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5

?

(2)为了得到函数y ? 3 sin( 2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变 1 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的2倍, 横坐标不变 1 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

1.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ?

?

4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D )纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

1

y
?

步骤1
-1

o

? 2

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1
3? 2

2?

o
-1

? 2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
? 2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

步骤4
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

2.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 B. y ? sin( 2 x ? ) 6 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2 D. y ? sin 2 x

?

?

? ?

x ? x 3.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移

?
6

?
6

?
3

D. 向左平移

?
3

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,)
A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称 为“振幅”
2? T T: ? 往复振动一次所需的时间,称为“周期” ?

1 ? f f:? T ? 2? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率”

?x ? ?:称为相位

? :x = 0时的相位,称为“初相”

小结1:
步骤1

1

y
?

o
-1

? 2

3? 2

2?

x

(沿x轴平行移动)

y
步骤2
1
3? 2

2?

o
-1

? 2

?

x (横坐标伸长或缩短)

1

y o
? 2

步骤3
-1

?

3? 2

2?

x

(纵坐标伸长或缩短)
1

y o

步骤4
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

例2:下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一次 往复运动?如从A点算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式。
Y/cm

2

· A
0.4 B D

E

·
1.2 F
X/s

0.8

o

· C

1.函数y=1+cosx的图象( B ) A.关于x轴对称 C.关于原点对称 B.关于y轴对称
? D.关于直线x= 2 对称

y=1+cosx 的 图 象 是 由 y=cosx 的 图 象向上平移1个单位长度得到的,

所以y=1+cosx的对称轴与y=cosx相同.

? ? 2.若简谐运动f(x)=2sin( x+φ)(|φ|< )的图象 2 3

过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期和

初相φ分别是(
? A.T=6,φ= 6

)A B.T=6,φ=
D.T=6π,φ=
? 3 ? 3

C.T=6π,φ=
2? 3

T= ? =6,又过点(0,1)得
1 sinφ= ,|φ|< 2

? ,则φ= 2

? . 6

? 3.为了得到函数y=sin(2x-6 )的图象,可以将

函数y=cos2x的图象( D

)

? A.向左平移 6 个单位长度 ? B.向左平移 3 个单位长度 ? C.向右平移 个单位长度 6 ? D.向右平移 个单位长度 3

4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,

- ? <φ< ?)的图象如图,则f(x)的解析式可以
2

为( D )

2

3 A.f(x)= sinπx+1 2 1 B.f(x)= sinx+1 2 1 ? C.f(x)= sin x+1 2 4 1 sin? x+1 D.f(x)= 2 2

A=
b=

1.5 ? 0.5 2

= ,

1.5 ? 0.5 =1, 2 ? 2? ω= = , 2 4

1 2

将点(1,1.5)代入得sinφ=0,
? ? 又- <φ< ,则φ=0. 2 2

? y=cos2x=sin(2x+ ) 2 ? =sin[2(x+ 4 )], ? ? 而y=sin(2x- )=sin[2(x- 12 )], 6 ? ? ? 此时(x+ )- =x- , 12 4 3

所以只需将y=cos2x的图象向右平
? ? ? 移 + = 个单位长度. 12 4 3

小结2: 作正弦型函数y=Asin(?x+?) 的图 象的方法: (1)利用变换关系作图; (2)用“五点法”作图。

作业:1.习题1.5 1

2
?

2.用两种方法画出函数y ? 2 sin(2 x ? 4 )在长度
为一个周期的闭区间上的简图.

1、请说出下列的函数是由y=sinx 的图象如何变化而得到的? 3 1)y ? s inx 2
2 2)y ? s inx 3


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