当前位置:首页 >> 数学 >>

第18讲 阅读理解型问题


第 18 讲

阅读理解型问题
考第搜索

第一部分

(一)中考专题诠释 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”,特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述 较长,信息量较大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样, 既考查学生的阅读能力,又考查学生的 解题能力的新颖数学题. (二)解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新 方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.

第二部分

典例精析

考点一: 阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题 例 1 (2012?十堰)阅读材料: 例:说明代数式 解:

x 2 ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? 4
=

的几何意义,并求它的最小值. ,

x 2 ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? 4

( x ? 0) 2 ? 1 ? ( x ? 3) 2 ? 22

如图,建立平面直角坐标系,点 P(x,0)是 x 轴上一点,



( x ? 0) 2 ? 1

可以看成点 P 与点 A(0,1)的距离,

( x ? 3) 2 ? 2 2

可以看成点 P 与点 B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和,

它的最小值就是 PA+PB 的最小值. 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′,因此,求 PA+PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值,而点 A′、B 间的直线段距离最短,所以 PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度.为此,构造直角三角形 A′CB, 因为 A′C=3,CB=3,所以 A′B=3 2 ,即原式的最小值为 3 2 . 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)代数式 B

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 9

的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(1,1) 、点

的距离之和. (填写点 B 的坐标)
2 2

(2)代数式 x ? 49 ? x ?12x ? 37 的最小值为



【分析】

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 32

的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论; 的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标

(2)先把原式化为

( x ? 0) 2 ? 7 2 ? ( x ? 6) 2 ? 1

系中点 P(x,0)与点 A(0,7) 、点 B(6,1)的距离之和,再根据在坐标系内描出各点,利用勾股定理得 出结论即可.

【解答】 (1)∵原式化为 ∴代数式

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 32

的形式,

( x ? 1) 2 ? 1 ? ( x ? 2) 2 ? 32

的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(1,1) 、点 B

(2,3)的距离之和, 故答案为(2,3) ;

(2)∵原式化为

( x ? 0) 2 ? 7 2 ? ( x ? 6) 2 ? 1

的形式,

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P(x,0)与点 A(0,7) 、点 B(6,1)的距离之和, 如图所示:设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′,则 PA=PA′, ∴PA+PB 的最小值,只需求 PA′+PB 的最小值,而点 A′、B 间的直线段距离最短, ∴PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度, ∵A(0,7) ,B(6,1) ∴A′(0,-7) ,A′C=6,BC=8, ∴A′B=

A?C2 ? BC2 ? 62 ? 82 =10,

故答案为:10. 同步拓展 1.(2012 湛江) 先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题: 2 例题:解一元二次不等式 x ﹣4>0 2 解:∵x ﹣4=(x+2) (x﹣2) 2 ∴x ﹣4>0 可化为 (x+2) (x﹣2)>0 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得

解不等式组①,得 x>2,

解不等式组②,得 x<﹣2, ∴(x+2) (x﹣2)>0 的解集为 x>2 或 x<﹣2, 2 即一元二次不等式 x ﹣4>0 的解集为 x>2 或 x<﹣2. 根据以上的例题解下列不等式 2 (1)一元二次不等式 x ﹣16>0 的解集为 ;

(2)分式不等式

的解集为
2



(3)解一元二次不等式 2x ﹣3x<0. 【解答】 (1)∵x ﹣16=(x+4) (x﹣4) 2 ∴x ﹣16>0 可化为 (x+4) (x﹣4)>0 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得
2

解不等式组①,得 x>4, 解不等式组②,得 x<﹣4, ∴(x+4) (x﹣4)>0 的解集为 x>4 或 x<﹣4, 2 即一元二次不等式 x ﹣16>0 的解集为 x>4 或 x<﹣4.

(2)∵





解得:x>3 或 x<1 2 (3)∵2x ﹣3x=x(2x﹣3) 2 ∴2x ﹣3x<0 可化为 x(2x﹣3)<0 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得

或 解不等式组①,得 0<x< , 解不等式组②,无解, ∴不等式 2x ﹣3x<0 的解集为 0<x< .
2

考点二、阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法 例 2 (2012?赤峰)阅读材料: (1)对于任意两个数 a、b 的大小比较,有下面的方法: 当 a-b>0 时,一定有 a>b; 当 a-b=0 时,一定有 a=b; 当 a-b<0 时,一定有 a<b. 反过来也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”. (2)对于比较两个正数 a、b 的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: 2 2 ∵a -b =(a+b) (a-b) ,a+b>0 2 2 ∴(a -b )与(a-b)的符号相同 2 2 当 a -b >0 时,a-b>0,得 a>b 2 2 当 a -b =0 时,a-b=0,得 a=b 2 2 当 a -b <0 时,a-b<0,得 a<b 解决下列实际问题: (1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了 3 张 A4 纸,7 张 B5 纸;李明同学用了 2 张 A4 纸,8 张 B5 纸.设每张 A4 纸的面积为 x,每张 B5 纸的面积为 y,且 x>y,张丽同学的用纸总面积为 W1, 李明同学的用纸总面积为 W2.回答下列问题: ①W1= (用 x、y 的式子表示) W2= (用 x、y 的式子表示) ②请你分析谁用的纸面积最大. (2)如图 1 所示,要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气,已知 A、B 到 l 的距离分别是 3km、4km(即 AC=3km,BE=4km) ,AB=xkm,现设计两种方案:

方案一:如图 2 所示,AP⊥l 于点 P,泵站修建在点 P 处,该方案中管道长度 a1=AB+AP. 方案二:如图 3 所示,点 A′与点 A 关于 l 对称,A′B 与 l 相交于点 P,泵站修建在点 P 处,该方案中管道 长度 a2=AP+BP. ①在方案一中,a1= km(用含 x 的式子表示) ; ②在方案二中,a2= km(用含 x 的式子表示) ; ③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二. 【分析】 (1)①根据题意得出 3x+7y 和 2x+8y,即得出答案;②求出 W1-W2=x-y,根据 x 和 y 的大小比较即 可; (2)①把 AB 和 AP 的值代入即可;②过 B 作 BM⊥AC 于 M,求出 AM,根据勾股定理求出 BM.再根据勾股定 理求出 BA′,即可得出答案; 2 2 ③求出 a1 -a2 =6x-39,分别求出 6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案. 【解答】 (1)解:①W1=3x+7y,W2=2x+8y,故答案为:3x+7y,2x+8y.

②解:W1-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y, ∵x>y, ∴x-y>0, ∴W1-W2>0, 得 W1>W2, 所以张丽同学用纸的总面积大. (2)①解:a1=AB+AP=x+3, 故答案为:x+3.

②解:过 B 作 BM⊥AC 于 M, 则 AM=4-3=1, 2 2 2 2 在△ABM 中,由勾股定理得:BM =AB -1 =x -1, 在△A′MB 中,由勾股定理得:AP+BP=A′B= 故答案为: x ? 48 .
2

A?M 2 ? BM 2 ? x2 ? 48 ,

2 2 2 2 2 2 ③解:a1 -a2 =(x+3) -( x ? 48 ) =x +6x+9-(x +48)=6x-39,

2

当 a1 -a2 >0(即 a1-a2>0,a1>a2)时,6x-39>0,解得 x>6.5, 2 2 当 a1 -a2 =0(即 a1-a2=0,a1=a2)时,6x-39=0,解得 x=6.5, 2 2 当 a1 -a2 <0(即 a1-a2<0,a1<a2)时,6x-39<0,解得 x<6.5, 综上所述 当 x>6.5 时,选择方案二,输气管道较短, 当 x=6.5 时,两种方案一样, 当 0<x<6.5 时,选择方案一,输气管道较短. 考点三、阅读相关信息,通过归纳探索,发现规律,得出结论 例 3 (2012?凉山州)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考课本中的探究题. 如图(1) ,要在燃气管道 l 上修建一个泵站,分别向 A、B 两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用 的输气管线最短?

2

2

你可以在 l 上找几个点试一试,能发现什么规律?

聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道 l 看成一条直线(图(2) ) ,问 题 就 转 化 为 , 要 在 直 线 l 上 找 一 点 P , 使 AP 与 BP 的 和 最 小 . 他 的 做 法 是 这 样 的 :

①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′. ②连接 AB′交直线 l 于点 P,则点 P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,BC=6,BC 边上的 高为 4,请你在 BC 边上确定一点 P,使△PDE 得周长最小. (1)在图中作出点 P(保留作图痕迹,不写作法) . (2)请直接写出△PDE 周长的最小值: . 【分析】 (1) 根据提供材料 DE 不变, 只要求出 DP+PE 的最小值即可, 作 D 点关于 BC 的对称点 D′, 连接 D′E, 与 BC 交于点 P,P 点即为所求; (2)利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值,即可得出答案. 【解答】 (1)如图,作 D 点关于 BC 的对称点 D′,连接 D′E,与 BC 交于点 P, P 点即为所求;

(2)∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点, ∴DE 为△ABC 中位线,∵BC=6,BC 边上的高为 4,∴DE=3,DD′=4, ∴D′E= DE ? DD? ? 3 ? 4 =5,∴△PDE 周长的最小值为:DE+D′E=3+5=8,故答案为:8.
2 2 2 2

第三部分

每课质检

1. (2012?宁波)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在 余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;?依此类推,若第 n 次操作 余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为 n 阶准菱形.如图 1,?ABCD 中,若 AB=1,BC=2,则?ABCD 为 1 阶准菱形.

(1)判断与推理: ①邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 阶准菱形; ②小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:如图 2,把?ABCD 沿 BE 折叠(点 E 在 AD 上) ,使点 A 落在 BC 边上的点 F,得到四边形 ABFE.请证明四边形 ABFE 是菱形. (2)操作、探究与计算: ①已知?ABCD 的邻边长分别为 1,a(a>1) ,且是 3 阶准菱形,请画出?ABCD 及裁剪线的示意图,并在图形 下方写出 a 的值; 【解答】 (1)①利用邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作,所剩四边形是边长为 1 的菱形, 故邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 2 阶准菱形; 故答案为:2; ②由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AE∥BF, ∴∠AEB=∠FBE, ∴∠AEB=∠ABE, ∴AE=AB, ∴AE=BF, ∴四边形 ABFE 是平行四边形, ∴四边形 ABFE 是菱形;

(2) ①如图所示:

②∵a=6b+r,b=5r, ∴a=6×5r+r=31r; 如图所示:

故?ABCD 是 10 阶准菱形. 2.(2012?淮安)阅读理解 如图 1,△ABC 中,沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠, 剪掉重复部分;?;将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠,点 Bn 与点 C 重合,无论折叠多少次,只要 最后一次恰好重合,∠BAC 是△ABC 的好角. 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形.情形一:如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角∠BAC 的平分 线 AB1 折叠,点 B 与点 C 重合;情形二:如图 3,沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,此时点 B1 与点 C 重合. 探究发现 (1) △ABC 中, ∠B=2∠C, 经过两次折叠, ∠BAC 是不是△ABC 的好角? (填“是”或“不是”) . (2)小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角,请探究∠B 与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关 系.根据以上内容猜想:若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等 量关系为 . 应用提升 (3)小丽找到一个三角形,三个角分别为 15°、60°、105°,发现 60°和 105°的两个角都是此三角形 的好角. 请你完成,如果一个三角形的最小角是 4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此 三角形的好角.

【解答】 (1)△ABC 中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC 是△ABC 的好角; 理由如下:小丽展示的情形二中,如图 3, ∵沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠, ∴∠B=∠AA1B1; 又∵将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,此时点 B1 与点 C 重合, ∴∠A1B1C=∠C; ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C(外角定理) , ∴∠B=2∠C; 故答案是:是;

(2)∠B=3∠C;如图所示,在△ABC 中,沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3 折叠,点 B2 与点 C 重合,则∠BAC 是△ABC 的好角. 证明如下:∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠C=∠A2B2C,∠A1 B1C=∠A1A2B2, ∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C; ∵根据四边形的外角定理知,∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°, 根据三角形 ABC 的内角和定理知,∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴∠B=3∠C; 由小丽展示的情形一知,当∠B=∠C 时,∠BAC 是△ABC 的好角; 由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠C 时,∠BAC 是△ABC 的好角; 由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠C 时,∠BAC 是△ABC 的好角; 故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角,则∠B 与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系为∠B=n∠C; (3)由(2)知,∠B=n∠C,∠BAC 是△ABC 的好角, ∴∠C=n∠A,∠ABC 是△ABC 的好角,∠A=n∠B,∠BCA 是△ABC 的好角, ∴如果一个三角形的最小角是 4°,三角形另外两个角的度数是 4、172;8、168;16、160;44、132;88°、 88°. 3.(2012?南京)下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改. 题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为 2:1,在温室内,沿前侧内墙保留 3m 2 的空地, 其他三侧内墙各保留 1m 的通道, 当温室的长与宽各为多少时, 矩形蔬菜种植区域的面积是 288m ?

解:设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm,则长为 2xm, 根据题意,得 x?2x=288. 解这个方程,得 x1=-12(不合题意,舍去) ,x2=12 所以温室的长为 2×12+3+1=28(m) ,宽为 12+1+1=14(m) 2 答:当温室的长为 28m,宽为 14m 时,矩形蔬菜种植区域的面积是 288m .

我的结果也正确! 小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?. 结果为何正确呢? (1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程: 变化一下会怎样? (2)如图,矩形 A′B′C′D′在矩形 ABCD 的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且 AD:AB=2:1,设 AB 与 A′B′、 BC 与 B′C′、 CD 与 C′D′、 DA 与 D′A′之间的距离分别为 a、 b、 c、 d, 要使矩形 A′B′C′D′∽ 矩形 ABCD,a、b、c、d 应满足什么条件?请说明理由.

【解答】 (1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2:1 的理由. 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm,则长为 2xm.”前补充以下过程: 设温室的宽为 ym,则长为 2ym. 则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m.

2 y ? 3 ?1 2 y ? 4 ? y?2 ∵ y ?1 ?1

=2,

∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2:1; (2)要使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD,

AD ? (a ? c) 2 A?D? AD ? ? AB ? ( b ? d ) 1, ? ? A B AB 就要 ,即 2 AB ? (a ? c) 2 ? 1, 即 AB ? (b ? d )
a?c 即 b ? d =2.


赞助商链接
相关文章:
2015年中考数学专题一:阅读理解型问题
二、解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是...3n 根据第 n 次分割图可得等式: . 探究三:计算 ...18.(2014。黔西南)在平面直角坐标系中,对于平面内...
专题4 阅读理解型问题
专题4 阅读理解型问题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。专题 4 考点突破 阅读理解型问题 考查角度一应用型(阅读—理解—建模—应用) 例 1 (2016· 临沂)...
阅读理解型问题
阅读理解型问题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。四十四章 阅读理解型问题 21.(2017 四川达州,21,8 分)(8 分)?问题背景 若矩形 的周长为 1,则可求出该...
专题八 阅读理解型问题
二、解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,...(2)第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的 18 倍,水面面积是第七...
专题51 新定义和阅读理解型问题
专题51 新定义和阅读理解型问题_数学_初中教育_教育专区。专题 51 新定义和...2 2 2 答案第 18 页,总 21 页 本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案...
...讲座中考二轮专题复习:第12课时 阅读理解型问题
第12课时 阅读理解型问题_中考_初中教育_教育专区。...二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要...6 1 B. 5 C.5 D.6 2、 (2011 达州)18、 ...
2018年中考数学二轮专题复习讲义:第38讲 阅读理解型问题
2018年中考数学二轮专题复习讲义:第38讲 阅读理解型问题_中考_初中教育_教育专区。第 38 讲 阅读理解型问题 内容 特性 阅读理解型问题是指通过阅读材料,理解材料...
第36章 阅读理解型问题
第36章 阅读理解型问题_初三数学_数学_初中教育_教育专区。2012年中考数学分类汇编...4 , BC ? 8 . 第 4 页(共 18 页) M 3 H N 4 E 图1 G 1 Q ...
题型4 新定义及阅读理解型问题
题型4 新定义及阅读理解型问题_初三数学_数学_初中...数与黄金小数之差 m-n=___. 第 7 题图 8....18, 那么我们称这个数 t 为“吉 祥数”.求所有...
2015届中考专题知识突破1【阅读理解型问题】之一
2015届中考专题知识突破1【阅读理解型问题】之一_中考_初中教育_教育专区。中考...“=”). 第 5 页共 6 页 18、【学习探究应用】 问题背景:在△ABC 中,...
更多相关标签: