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2013年新课标2卷理科数学高考真题及答案


掌门 1 对 1 教育 高考真题 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
新课标 II 卷(贵州 甘肃 青海 西藏 黑龙江 吉林 宁 夏 内蒙古 新疆 云南 海南)

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的。 2 (1)已知集合 M = {x | (x ?1) < 4, x∈R},N ={?1, 0, 1, 2, 3} ,则 M ∩ N =
(A){0, 1, 2} (B){?1, 0, 1, 2} (C){?1, 0, 2, 3} 答案:A 2 【解】将 N 中的元素代入不等式:(x ?1) < 4 进行检验即可. (2)设复数 z 满足(1?i )z = 2 i ,则 z = (A)?1+ i (B)?1? i (C)1+ i 答案:A 2i 【解法一】将原式化为 z = ,再分母实数化即可. 1? i (D){0, 1, 2, 3}

(D)1? i

【解法二】将各选项一一检验即可. (3)等比数列{an}的的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1 = 1 (A) 3 (D)? 答案:C 【解】由 S3 = a2 +10a1 ? a3 = 9a1 ? q2 = 9 ? a1 = a5 1 = q4 9 1 9 错误!未找到引用源。 (B)? 1 3 1 (C) 9

(4)已知 m, n 为异面直线,m⊥平面?,n⊥平面??. 直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l? / ?,l? / ???? 则: (A)?∥?且 l∥? (B)?⊥?且 l⊥? (C)?与??相交,且交线垂直于 l (D)?与??相交,且交线平行于 l 答案:D 【解】显然?与??相交,不然?∥? 时? m∥n 与 m, n 为异面矛盾.???与??相交时,易知交线 平行于 l. (5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a = (A)??4 (B)??3 (C)??2 (D)??1 答案:D 【解】x 的系数为 5 ?C5 + aC5 = 5 ? a = ??1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N =10,那么输出的 S =
2

开始
输入 N

k =1, S = 0,T =1 T T= k S = S+T k= k +1 k >N
是 输出 S 结束 否

2

1

(A)1+ (B)1+ (C)1+ (D)1+ 答案:B

1 1 1 + + ? + 错误!未找到引用源。 2 3 10 1 1 1 + + ? + 2! 3! 10! 1 1 1 + + ? + 错误!未找到引用源。 2 3 11 1 1 1 + + ? + 2! 3! 11!

【解】变量 T, S, k 的赋值关系分别是: Tn +1 = Tn , Sn +1 = Sn + Tn +1, kn kn +1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0)


Tn Tn ? 1 ? kn = n + 1, Tn = T ×T × n ?1 n ?2

T1 1 1 1 1 ×T0 = × ×?× = , T0 kn ?1 kn ?2 k0 n! 1 1 + + ? + 2! 3!

Sn = (Sn ? Sn?1) + (Sn?1? Sn?2) + ? + (S1? S0) + S0 = Tn + Tn?1 + ? + T0 = 1+ 1 n!

满足 kn > N 的最小值为 k10 = 11,此时输出的 S 为 S10 (7) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O?xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1), (1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (0, 0, 0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A) 答案:A 【解】

(B)

(C)

(D)

(8)设 a = log 36,b = log 510,c = log 714,则 (A)c > b > a (B)b > c > a (C)a > c > b (D)a > b > c 答案:D 【解】a = 1 + log 32,b = 1 + log 52,c = 1 + log 72 log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log 72 ? a > b > c

? ?x ≥1 (9)已知 a > 0,x, y 满足约束条件?x + y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1,则 a = ? ? y≥ a(x ??3)
1 (A) 4 1 错误!未找到引用源。 (B) 2

y 1 o

A(1, 2) B(3, 0) x l C

(C)1 (D)? 答案:B 【解】如图所示,当 z =1 时,直线 2x + y = 1 与 x = 1 的交点 C (1, ?1) 即为最优解,此时 a = kBC = 1 2

(10)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c,下列结论中错误的是 (A)?x0∈R, f (x0)= 0 (B)函数 y = f (x )的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f (x )的极小值点,则 f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 (D)若 x0 是 f (x )的极值点,则 f '(x0 ) = 0 答案:C 【解】f (x ) 的值域为(?∞, +∞), 所以(A)正确; f (x ) = [x 3 + 3x 2? a a 2 a 3 a 2 a 3 + 3x?( ) + ( ) ]+ bx ? 3x?( ) + c??( ) 3 3 3 3 3

a 3 a2 a ab 2a3 = (x?+ ) + (b ? )(x + ? ) + c?? ?? 3 3 3 3 27 因为 g (x ) = x 3 + (b ? a2 )x 是奇函数,图像关于原点对称, 3

a ab 2a3 所以 f (x ) 的图像关于点(?? , c?? ?? )对称. 3 3 27 所以(B)正确; 显然(C)不正确; (D)正确.

y
(11)设抛物线 C:y =2px ( p > 0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,| MF |=5,若以 MF 为直径的圆过点(0, 2),则 C 的方程为 (A)y2 = 4x 或 y2 = 8x (B)y2 = 2x 或 y2 = 8x (C)y2 = 4x 或 y2 = 16x (D)y2 = 2x 或 y2 = 16x 答案:C 【解】设 M(x0, y0),由| MF |=5 ? x0 + 圆心 N( p p = 5 ? x0 = 5 ? 2 2
2

M N x

K o F

x0
2

+

x0 p 1 p y0 , )到 y 轴的距离| NK | = + = | MF |,则 4 2 2 4 2

圆 N 与 y 轴相切,切点即为 K(0, 2),且 NK 与 y 轴垂直? y0 = 4 p ?2p(5 ? 2 ) = 16 ? p = 2 或 8 .

(12)已知点 A(?1, 0),B(1, 0),C(0, 1),直线 y = ax +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的 两部分,则 b 的取值范围是: (A)(0, 1) 未找到引用源。, 1 ] 3 (B)(1???错误!未找到引用源。, (D) [ 1 1 , ) 3 2 1 ) 2 (C)(1???错误!

答案:B 【解】情形 1:直线 y = ax +b 与 AC、BC 相交时,如图所示,设 MC = m, NC = n, 由条件知 S△MNC = 1 ? mn = 1 2 1 n


y C

显然 0 < n ≤ 2 ? m =


错误! 未找到引用源。 又知 0 < m

2 , m≠n 所以错误!未找到引用源。≤ m

m t t n
M A D

N x B



2 且 m≠1

t t DN DM D 到 AC、BC 的距离为 t, 则 + = + =1 m n MN MN mn 1 1 ? t = m+n ? t = m + m f (m ) = m + 3 2 ? 2 1 (错误!未找到引用源。≤ m m
≤ ≤

o

2 且 m ≠ 1)的值域为(2,

3 2 1 ] ? 2< 2 t



2 3

t<

1 2 2 t ,所以 1???错误!未找到引

因为 b =1? CD =1? 用源。< b


1 3 b a+b b a+b ,y = ,由条件知(1+ ) =1 a N a+1 a a+1

情形 2:直线 y = ax +b 与 AB、BC 相交时,如图所示, 易求得 xM = ?

y C N

?

b2 =a 1?2b b <1 ?0 < a < b a a+ b <1 ?b < 1 a+1

A M

o

x B

M 在线段 OA 上?0< N 在线段 BC 上?0< 解不等式:0 <

b2 1 1 <b得 <b< 3 2 1?2b 1 2

综上:1???错误!未找到引用源。< b <

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE ?BD = 答案:2

→ →

y
.

D

E

C

A

x B

【解】建立如图所示的坐标系,则 AE = (1, 2), BD = (?2, 2),则 AE ?BD = 2 (14)从 n 个正整数 1, 2, ?, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率 为 1 错误!未找到引用源。 ,则 n = 14 .





→ →

答案:8 【解】事件 A:取出的两数之和等于 5, ① n = 3 时, n(A) =1 由 P(A) = ② n > 3 时, n(A) = 2 由 P(A) = 1 2 ?n(?) = 14 ? Cn = 14 ?n(n ??1) =28(无解) 14 1 2 ?n(?) = 28 ? Cn = 28 ?n(n ??1) = 56 ?n = 8 14

(15)设??为第二象限角,若 tan(? + 答案:? 10 5

?
4

)=

1 2

,则 sin? + cos??=

.

【解法一】由??为第二象限角及 tan(? + 上取一点 P(?2, ?1),易得 sin(? +

?
4

)=

1 ? ? > 0?? + 为第三象限角,在? + 的终边 2 4 4 2 sin(? +

?
4

)=?

5 ? sin? + cos??= 5

?
4

)=?

10 5 .

(16) 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 已知 S10 = 0, S15 = 25, 则 nSn 的最小值为 答案:? 49 2 【解法一】由 S10 = 0,S15 = 25 ? a1 = ?3,公差 d = , 3 1 ? Sn = 3 n(n ? 10)
?

将 Sn 是关于 n 的函数,其图像关于 n = 5 对称,n < 10 时,Sn < 0,n > 10 时,Sn > 0, 所以 nSn 的最小值应在 n = 5, 6, 7, 8, 9 中产生,代入计算得 n = 7 时 nSn 最小,最小值为??49. 【解法二】同解法一得:Sn = 设 f (n ) = nSn = f '(n ) = n(n ??
??

1 n(n ? 10) 3
?

1 3 (n ? 10n) 3
?

20 20 ), 靠近极小值点 n = 的整数为 6 和 7, 代入 f (n )计算得 n = 7 时 f (n )最小, 3 3

最小值为??49. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = bcosC + csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 面积的最大值. 【解】 (Ⅰ)由 a = bcosC + csinB ? sin A = sinBcosC + sinCsinB ? sin (B+C) = sinBcosC +

sinCsinB

? cosBsinC = sinCsinB ? ? ? cosB = sinB sinC≠0 ? ? tanB = 1 ? ? ? ? B= 4 0<B<? ?
(Ⅱ) 由余弦定理得: a2 +c2 ?? 2 ac = 4 ? 4+ 2 ac = a2 +c2 2 ) △ABC 面积 S = 2 ac ≤ 1 + 4 2 . 2 .


2ac ? ac ≤ =

4 = 2(2 + 2? 2

所以△ABC 面积的最大值为 1 +

(18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1 2 = AC = CB = AB. 2 (Ⅰ)证明:BC1 //平面 A1CD (Ⅱ)求二面角 D?A1C?E 的正弦值 【解】 (Ⅰ)设 AC1 ∩ A1C = F ? F是AC1的中点 ? ? ? BC1 //DF,DF?平面 A1CD,BC1? / 平面 A1CD D是AB的中点 ?

A1 B1 F EG A D B

C1

C

? BC1 //平面 A1CD.
(Ⅱ)解法一:由 AA1 = AC = CB = 2 AB ? AA1∶BD = AD∶BE 2

?Rt△A1AD∽Rt△BDE ? ∠A1DA = ∠BED ?∠A1DA +∠BDE = 90o ?ED⊥A1D AC = CB ? AB⊥CD ? ? ? CD⊥平面 ABB1A1 ? CD⊥DE AA1⊥底面ABC ?AA1⊥CD ? ?ED⊥平面 A1CD
作 DG⊥A1C 交 A1C 于 G, 则 EG⊥A1C,所以∠DGE 为所求二面角的平面角. CD⊥平面 ABB1A1 ? CD⊥A1D ?A1C?DG = CD?A1D 设 AA1 = 2a ?A1C = 2 2 a,CD = CD?A1D 6 ?DG = = a,DE = A1C 2 DE 6 ?sin∠DGE = EG = 3 (Ⅱ) 解法二: 由 AC = CB = 2 AB ?AC2 + CB2 = AB2 ?AC⊥BC, 2
E x A D y B C

2 a,A1D =

6 a,
A1 B1

3 2 3 a ?EG = a 2

z C1

建立如图所示的坐标系,设 AA1 = 2,则 CA1 = (2, 0, 2),CD = (1, 1, 0),CE = (0, 2, 1),







→ ? ?m?CA ?x1 + z1 = 0 1= 0 设 m = (x1, y1, z1)是平面 A1DC 的法向量,则? ? ? → ?x1 + y1 = 0 ? ?m?CD = 0
可取 m = (?1, 1, 1)

? ?m?CA1 = 0 ?x2 + z2 = 0 同理设 n = (x2, y2, z2)是平面 A1EC 的法向量,则? ? ? → ?2y2 + z2 = 0 ?m?CE ? =0
可取 n = (2, 1, ?2), cos< m, n> =



m?n
|m|?|n|

=

3 6 ? sin< m, n> = 3 3 6 3

所以二面角 D?A1C?E 的正弦值为 (19)(本小题满分 12 分)

经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示.经销 商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 X (单位:t,100 ≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度内 的市场需求量, T(单位: 元)表示下一个销售季度内 经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 X 100 110 120 130 140 150

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量,需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X∈[100,110),则取 X = 105, 且 X = 105 的概率等于需求量落入[100,110)的概率,求 T 的数学期望. 【解】 (Ⅰ)当 X ∈[100,130)时,T = 500X ??300(130 ??X ) = 800X ??39000 当 X ∈[130,150]时,T = 500×130 = 65000 ?800X ??39000,X ∈[100,130) 所以 T = ? ?65000,X ∈[130,150] (Ⅱ)与由(Ⅰ)知 T 由直方图知:120 ≤ X


57000 ? 120 ≤ X

≤150

≤150

的概率为 10(0.030+0.025+0.015) = 0.7

所以利润 T 不少于 57000 元的概率为 0.7 (Ⅲ)T 可能的取值有 T1 = 800×105 ??39000 = 45000, T2 = 800×115 ??39000 = 53000, T3 = 800×125 ??39000 = 61000, T4 = 65000 T 的分布列如下:

T

45000

53000

61000

65000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

所以 ET = 45000×0.1 + 53000×0.2 + 61000×0.3 + 65000×0.4 = 59400 所以 T 的数学期望为 59400 (20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: — + — =1(a > b > 0)的右焦点的直线 x + y ?? 3 a2 b2 = 0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 . 2

x2 y2

(Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 的 面积最大值. 【解】 (Ⅰ)设 A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2),P (x 0, y 0) 2 2 2 2 ?b x 1 + a y 1 = a2b2 y1 ? y2 b2(x 1 + x 2) b2x 0 ? ?? 2 2 ? = ? ? k = ??? 2 2 2 2 AB x1 ? x2 a2(y 1 + y 2) a2y 0 ? ?b x 2 + a y 2 = a b OP 的斜率为

x0 1 ? 2 y 0 = 2,直线 x + y ?? 3 = 0 的斜率为?1 ? kAB =?1

2b2 ??1= ?? a2 ? a2 = 2b2 ??① 由题意知直线 x + y ?? 3 = 0 与 x 轴的交点 F( 3 ,0)是椭圆的右焦点,则才 c = ?a2 ??b2 = 3 ??② 联立解得①、②解得 a2 = 6,b2 = 3 所以 M 的方程为:— + — = 1 6 3 3

x2

y2

? ?x + y ?? 32 = 0 4 3 3 y (Ⅱ)联立方程组?x 2 ,解得 A( ,? )、B(0, 3 3 — + — =1 ? ?6 3
依题意可设直线 CD 的方程为:y = x + m 5 3 CD 与线段 AB 相交? ?? <m< 3 3

3 ),求得| AB | =

4 6 3

?y = x + m ? y2 联立方程组?x 2 消去 x 得:3x 2 + 4mx +2m2 ? 6 = 0 ?? (*) — + — = 1 ? ?6 3
设 C (x 3, y 3),D (x 4, y 4),则| CD |2 = 2(x 3 ? x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 ??4x 3x 4]= 四边形 ACBD 的面积 S = 1 8 6 | AB |? | CD | = 2 9 9?m2 16 ? m2) 9 (9

8 6 当 n = 0 时,S 最大,最大值为 3 . 8 6 所以四边形 ACBD 的面积最大值为 3 . (21) (本小题满分 12 分)

已知函数 f (x ) = e x ??ln(x + m) (Ι )设 x = 0 是 f (x )的极值点,求 m,并讨论 f (x )的单调性; (Ⅱ)当 m ≤2 时,证明 f (x ) > 0 . 【解】 (Ⅰ)f '(x ) = e x? 1

x+m

x = 0 是 f (x )的极值点 ? f '(0) = 0 ? m = 1.
此时,f '(x ) = e x ?

x + 1 在(?1, +∞)上是增函数,又知 f '(0) = 0, 所以 x ∈(?1, 0)时, f '(x ) < 0;x ∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0. 所以 f (x )在(?1, 0)上是减函数,在(0, +∞) 上是增函数. (Ⅱ)如图所示,当 m ≤2 时,x + 1≥x + m ? 1 只需证明e x ≥x + 1,且 ln(x + m) ≤x + m ? 1
再指出“=”不能成立即可. 设 g (x ) = e x ??(x +1),g '(x ) = e x ??1 x1 = 0 是 g (x )的极小值点,也是最小值点,即 g (x ) ≥ g (0) = 0 ?e x ≥x + 1 设 h (x ) = ln(x + m)???(x + m ? 1) h '(x ) = 1 x + m ??1

1

y

y=ex y=x+1 y=x+m-1 y=ln(x+m) x

o

x2 = 1??m 是 h (x )的极大值点,也是最大值点,即 g (x ) ≤ h (1??m) = 0 ? ln(x + m) ≤x + m ? 1
?e x ≥ln(x + m) ?f (x ) ≥ 0, “=”成立的条件是:x1 = x2 且 x + 1 = x + m ? 1
即 m =1 且 m =2(矛盾) 所以 f (x ) > 0 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE = DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (Ι )证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB =BE = EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 【解】 (Ⅰ)CD 为△ABC 外接圆的切线 ?∠BCD = ∠A,

C F D B E A

BC DC BC?AE = DC?AF ? = ,则△BCD ∽ △AEF ?∠CBD =∠AFE FA EA B、E、F、C 四点共圆 ?∠CBD =∠CFE ?∠AFE =∠CFE = 90o ?∠CBD = 90o ?∠CBA = 90o ?CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,由∠CBA = 90o 知 CE 为过 B、E、F、C 四点的圆的直径,设 BD = a,在直 角三角形 ACD 中,BC2 = BD?BA = 2a2 BD =BE ?CE2 =DC2 = BD2 +BC2 = 3a2 AC2 =AD?AB = 6a2 所以两圆的面积之比为 CE2 1 . 2 = AC 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C:?
?x = 2cos t ?y = 2sin t

(t 是参数)上,对应参数分别为 t?=??与 t?=2? (0

<? <2? ), M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【解】 (Ⅰ)P(2cos??, 2sin??),Q(2cos2??, 2sin2??) ?M (cos? + cos2??, 2sin??+ sin2? ?) ?x = cos? + cos2?? 所以 M 的轨迹的参数方程为:? ( ??是参数,0 < ? < 2? ) ?y = 2sin??+ sin2?
(Ⅱ)d =

x2 + y2 =

2+2cos? ( 0 < ? < 2? )

当? = ?时,d = 0,所以 M 的轨迹过坐标原点. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a + b + c =1,证明: (Ⅰ)ab + bc + ac ≤ 1 ; 3
≥2bc,a

a2 b2 c2 (Ⅱ) + + b c a
2

≥1

【解】 (Ⅰ)由 a2 + b2 ≥2ab,b2 + c2 a2 + b2 + c2≥ab + bc + ac

+ c2

≥2ac

得 + bc + ac)

? (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ac) ? 1≥3(ab + bc + ac) 1 ?ab + bc + ac ≤ 3 .
(Ⅱ)证法一:因为 所以 (

≥3(ab

a2 b2 c2 + b ≥2a, + c ≥2b, + a ≥2c b c a
≥ 2(a

a2 b2 c2 + + )+(a + b + c) b c a
≥2

+ b + c)

a2 b2 c2 ? b + c + a + 1 a2 b2 c2 ? b + c + a
≥1

证法二:由柯西不等式得:( a2 b2 c2 ? b + c + a
≥1

a2 b2 c2 + + )( b + c + a)≥ (a + b + c)2 b c a

2013 新课标Ⅱ卷(理)
一、选择题 1.已知集合 M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则 M∩N 等于( A.{0,1,2} C.{-1,0,2,3} 答案 A 解析 化简集合 M 得 M={x|-1<x<3,x∈R},则 M∩N={0,1,2}. 2.设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( A.-1+i C.1+i 答案 A ) B.{-1,0,1,2} D.{0,1,2,3} )

B.-1-i D.1-i

2i?1+i? 2i 解析 由已知得 z= = =-1+i. 1-i ?1-i??1+i? 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于( 1 A. 3 1 B.- 3 1 1 C. D.- 9 9 )

答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1, 1 q2=9,又 a5=a1q4=9,所以 a1= . 9 4. 已知 m, n 为异面直线, m⊥平面 α, n⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m, l⊥n, l?α, l?β, 则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 答案 D 解析 假设 α∥β,由 m⊥平面 α,n⊥平面 β,则 m∥n,这与已知 m,n 为异面直线矛盾, 那么 α 与 β 相交,设交线为 l1,则 l1⊥m,l1⊥n,在直线 m 上任取一点作 n1 平行于 n, 那么 l1 和 l 都垂直于直线 m 与 n1 所确定的平面,所以 l1∥l. 5.已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a 等于( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 答案 D 解析
1 2 2 1 (1+ax)(1+x)5 中含 x2 的项为:(C2 5+C5a)x ,即 C5+C5a=5,a=-1.

)

)

6.执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 S=( 1 1 1 A.1+ + +?+ 2 3 10

)

1 1 1 B.1+ + +?+ 2! 3! 10! 1 1 1 C.1+ + +?+ 2 3 11 1 1 1 D.1+ + +?+ 2! 3! 11! 答案 B 1 解析 k=1,T= ,S=1, 1 1 1 1 k=2,T= = ,S=1+ , 1×2 2! 2! 1 1 1 1 k=3,T= = ,S=1+ + , 1×2×3 3! 2! 3! ? 由于 N=10,即 k>10 时,结束循环,共执行 10 次. 1 1 1 所以输出 S=1+ + +?+ . 2! 3! 10!

7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1), (0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为 ( )

答案 A 解析 在空间直角坐标系中,先画出四面体 O-ABC 的直观图,以 zOx 平面为投影面, 则得到正视图,所以选 A.

8.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 D B.b>c>a D.a>b>c

)

1 1 解析 设 a=log36=1+log32=1+ ,b=log510=1+log52=1+ ,c=log714=1 log23 log25 1 +log72=1+ ,显然 a>b>c. log27 9.已知 a>0,x,y 满足约束条件{x≥1,?x+y≤3,?y≥a?x-3?, 若 z=2x+y 的最小值 为 1,则 a 等于( 1 A. 4 答案 B 1 解析 由{x≥1,?2x+y=1 有 x=1,y=-1,代入 y=a(x-3)得 a= . 2 10.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.?x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减 ) 1 B. 2 ) C.1 D.2

D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 答案 C 解析 若 c=0,则有 f(0)=0,所以 A 正确.由 f(x)=x3+ax2+bx+c 得 f(x)-c=x3+ax2 +bx,因为函数 f(x)=x3+ax2+bx 的对称中心为(0,0),所以 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称 中心为(0,c),所以 B 正确.由三次函数的图象可知,若 x0 是 f(x)的极小值点,则极大 值点在 x0 的左侧,所以函数在区间(-∞,x0 )单调递减是错误的,D 正确.选 C. 11.设抛物线 C:y2=2px(p≥0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆 过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x 答案 C p ? p 解析 由题意知:F? ?2,0?,抛物线的准线方程为 x=-2,则由抛物线的定义知,xM=5 5 yM? p ? 5?2 ? yM?2 25 - ,设以 MF 为直径的圆的圆心为? ?2, 2 ?,所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , 2 p? 又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,又因为点 M 在 C 上,所以 16=2p? ?5-2?,解得 p=2 或 p=8,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C. 12.已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部 分,则 b 的取值范围是( A.(0,1) C.?1- ) B.?1- ) B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

?

2 1? , 2 2?

?

2 1? , 2 3?

1 1? D.? ?3,2?

答案 B 二、填空题 → → 13.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE· BD=________. 答案 2 → → → → → → → 1→ → → → 1→ → 解析 由题意知:AE· BD=(AD+DE)· (AD-AB)=(AD+ AB)· (AD-AB)=AD2- AD· AB 2 2 1→ - AB2=4-0-2=2. 2 14.从 n 个正整数 1,2,?,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率 1 为 ,则 n=________. 14 答案 8 解析 由题意,取出的两个数只可能是 1 与 4,2 与 3 这两种情况,∴在 n 个数中任意取

1 2 n?n-1? 出两个不同的数的总情况应该是 Cn = =2÷ =28,∴n=8. 2 14 π? 1 15.设 θ 为第二象限角,若 tan? ?θ+4?=2,则 sin θ+cos θ=________. 答案 - 10 5

π? 1 1 解析 ∵tan? ?θ+4?=2,∴tan θ=-3,
2 2 即{3sin θ=-cos θ,?sin θ+cos θ=1, 解得 sin θ=

10 3 10 ,cos θ=- . 10 10

∴sin θ+cos θ=-

10 . 5

16.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为________. 答案 -49 10 解析 由题意知 a1+a10=0,a1+a15= . 3 10 两式相减得 a15-a10= =5d, 3 2 ∴d= ,a1=-3. 3
3 2 ?na +n?n-1?d?=n -10n =f(n), ∴nSn=n· 3 2 ? 1 ?

1 f′(n)= n(3n-20). 3 由函数的单调性知 f(6)=-48,f(7)=-49. ∴nSn 的最小值为-49. 三、解答题 17.△ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B,① 又 A=π-(B+C), 故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B. π 又 B∈(0,π),所以 B= . 4 1 2 (2)△ABC 的面积 S= acsin B= ac. 2 4

π 由已知及余弦定理得 4=a2+c2-2accos . 4 4 又 a2+c2≥2ac,故 ac≤ , 2- 2 当且仅当 a=c 时,等号成立. 因此△ABC 面积的最大值为 2+1.

18. 如图, 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. (1)证明 连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 的中点. 又 D 是 AB 的中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD.

2 AB. 2

(2)解 由 AC=CB=

2 AB 得,AC⊥BC. 2

→ → → 以 C 为坐标原点,CA的方向为 x 轴正方向,CB的方向为 y 轴正方向,CC1的方向为 z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), → → → CD=(1,1,0),CE=(0,2,1),CA1=(2,0,2). 设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量, → → 则 n· CD=0,?n· CA1=0, 即{x1+y1=0,?2x1+2z1=0. 可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量, → → 则 m· CE=0,?m· CA1=0. 可取 m=(2,1,-2).

{ {

n· m 3 6 从而 cos〈n,m〉= = ,故 sin〈n,m〉= . |n||m| 3 3 即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 6 . 3

19.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出 的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方 图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品. 以 X(单位:t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品 的利润.

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x∈[100,110),则取 X=105, 且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的 T 的数学期望. 解 (1)当 X∈[100,130)时,

T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T={800X-39 000,100≤X<130,?65 000,130≤X≤150. (2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为

T P

45 000 0.1

53 000 0.2

61 000 0.3

65 000 0.4

所以 E(T)=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. x2 y2 20.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 交 M a b 1 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程;

(2)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形的最大值. 解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x2 y2 1 1 2+ 2=1① a b x2 y2 2 2 2+ 2=1② a b ?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? ①-②,得 + =0. a2 b2 y1-y2 因为 =-1,设 P(x0,y0), x1-x2 1 因为 P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 , 2 1 1 所以 y0= x0,即 y1+y2= (x1+x2). 2 2 所以可以解得 a2=2b2,即 a2=2(a2-c2),即 a2=2c2, 又因为 c= 3,所以 a2=6, x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3 (2)因为 CD⊥AB,直线 AB 方程为 x+y- 3=0, 所以设直线 CD 方程为 y=x+m, x2 y2 将 x+y- 3=0 代入 + =1 得: 6 3 3x2-4 3x=0,即 A(0, 3),B? 所以可得|AB|= 4 6 ; 3 4 3 3? , ? 3 ,- 3 ?

x2 y2 将 y=x+m 代入 + =1 得: 6 3 3x2+4mx+2m2-6=0, 设 C(x3,y3),D(x4,y4), 2 2 则|CD|= 2 ?x3+x4?2-4x3x4= 18-2m2, 3 又因为 Δ=16m2-12(2m2-6)>0,即-3<m<3, 1 8 6 所以当 m=0 时, |CD|取得最大值 4, 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 |AB|· |CD|= . 2 3 21.已知函数 f(x)=ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

(1)解

1 1 f(x)=ex-ln(x+m)?f′(x)=ex- ?f′(0)=e0- =0?m=1, x+m 0+m

定义域为{x|x>-1}, ex?x+1?-1 1 f′(x)=e - = , x+m x+1
x

显然 f(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 令 g(x)=ex-ln(x+2), 则 g′(x)=ex- 1 (x>-2). x+2 1 1 (x>-2)?h′(x)=ex+ >0, x+2 ?x+2?2

h(x)=g′(x)=ex-

所以 h(x)是增函数,h(x)=0 至多只有一个实数根, 1 1 1 1 又 g′(- )= - <0,g′(0)=1- >0, 2 3 2 e 2 1 - ,0?内, 所以 h(x)=g′(x)=0 的唯一实根在区间? ? 2 ? 1 1 1 - - <t<0?,所以,et= 设 g′(x)=0 的根为 t,则有 g′(t)=et- = 0? ?t+2=e t, ? 2 ? t+2 t+2 当 x∈(-2,t)时,g′(x)<g′(t)=0,g(x)单调递减; 当 x∈(t,+∞)时,g′(x)>g′(t)=0,g(x)单调递增; ?1+t?2 1 所以 g(x)min=g(t)=et-ln(t+2)= +t= >0, t+2 t+2 当 m≤2 时,有 ln(x+m)≤ln(x+2), 所以 f(x)=ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)=g(x)≥g(x)min>0. 22.[选修 4-1]几何证明选讲

如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC· AE=DC· AF,B、E、F、C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B、E、F、C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. (1)证明 因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, BC DC 所以∠DCB=∠A,由题设知 = , FA EA 故△CDB∽△AEF, 所以∠DBC=∠EFA.

因为 B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90° . 所以∠CBA=90° ,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径.

(2)解

连结 CE,因为∠CBE=90° ,

所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE, 由 DB=BE,有 CE=DC, 又 BC2=DB· BA=2DB2, 所以 CA2=4DB2+BC2=6DB2. 而 DC2=DB· DA=3DB2,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比 1 值为 . 2 23.[选修 4-4]坐标系与参数方程 已知动点 P、Q 都在曲线 C:{x=2cos t,?y=2sin t (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为{x=cos α+cos 2α,?y=sin α+sin 2α, (α 为参数,0<α<2π). (2)M 点到坐标原点的距离 d= x2+y2= 2+2cos α(0<α<2π). 当 α=π,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 24.[选修 4-5]不等式选讲 设 a、b、c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 a2 b2 c2 (1)ab+bc+ac≤ ;(2) + + ≥1. 3 b c a 证明 (1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac 得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3

a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c.所以 + + ≥1. b c a b c a


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