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18学年高中数学第一章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测教学案北师大版选修2_2

第一章 推理与证明 [对应学生用书 P13] 一、归纳和类比 1.归纳推理和类比推理是常用的合情推理,都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想,再进行归纳类比,然后提出猜想的推理. 2.从推理形式上看,归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理;类比是两类事物特 征间的推理,是由特殊到特殊的推理. 二、直接证明和间接证明 1.直接证明包括综合法和分析法. (1)综合法证明数学问题是“由因导果”, 而分析法则是“执果索因”, 二者一正一反, 各有特点.综合法的特点是表述简单、条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻. (2)分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过 程,即“两头凑”,可使问题便于解决. 2.间接证明主要是反证法. 反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设 错误,从而证明了原命题成立. 反证法主要适用于以下两种情形: (1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰; (2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究 一种或很少的几种情形. 三、数学归纳法 数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为归纳奠基,是论证的基础保证,即通过验证落 实传递的起点,这个基础必须真实可靠;它的第二步称为归纳递推,是命题具有后继传递性 的保证,两步合在一起为完全归纳步骤.这两步缺一不可.第二步中证明“当 n=k+1 时结 论正确”的过程中,必须用“归纳假设”,否则就是错误的. 1 ?对应阶段质量检测 一 ? ? ? ? 见8开试卷 ? (时间 90 分钟,满分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.数列 3,5,9,17,33,…的通项 an=( A.2 n ) B.2 +1 D.2 n+1 n C.2 -1 答案:B n 2.用反证法证明命题“若关于 x 的方程 ax +bx+c=0(a≠0,a,b,c∈Z)有有理根, 那么 a,b,c 中至少有一个是奇数”时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是奇数 B.假设 a,b,c 都不是奇数 C.假设 a,b,c 至多有一个奇数 D.假设 a,b,c 至多有两个奇数 解析:命题“a,b,c 中至少有一个是奇数”的否定是“a,b,c 都不是奇数”,故选 B. 答案:B ) 2 x x+ ? ? 3. 因为奇函数的图像关于原点对称(大前提), 而函数 f(x)=?0, ? ? x x- , , x>0, x=0, x<0 是奇函数(小前提),所以 f(x)的图像关于原点对称(结论).上面的推理有错误,其错误的 原因是 ( A.大前提错导致结论错 B.小前提错导致结论错 C.推理形式错导致结论错 D.大前提和小前提都错导致结论错 解析:因为 f(1)=f(-1)=2,所以 f(-1)≠-f(1),所以 f(x)不是奇函数,故推理 错误的原因是小前提错导致结论错. 答案:B ) 2 4.某同学在电脑上打出如下若干个“★”和 ★ ( ) A.60 C.62 B.61 D.63 :★ ★ ★ ★ ★……依此规律继续打下去,那么在前 2 014 个图形中的“★”的个数是 解析:第一次出现“★”在第一个位置,第二次出现“★”在第(1+2)个位置,第三次 出现“★”在第(1+2+3)个位置,…,第 n 次出现“★”在第(1+2+3+…+n)个位置. ∵1+2+3+…+n= n n+ 2 , 当 n=62 时, n n+ 2 = + 2 =1 953,2 014 -1 953=61<63,∴在前 2 014 个图形中的“★”的个数是 62. 答案:C 5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球 切于四面各正三角形的位置是( A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 解析:正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类 比正三角形的中心. 答案:B 6.已知函数 f(x)=5 ,则 f(2 014)的末四位数字为( A.3 125 C.0 625 5 ) x ) B.5 625 D.8 125 6 解析:因为 f(5)=5 =3 125 的末四位数字为 3 125,f(6)=5 =15 625 的末四位数字 为 5 625,f(7)=5 =78 125 的末四位数字为 8 125,f(8)=5 =390 625 的末四位数字为 0 625,f(9)=5 =1 953 125 的末四位数字为 3 125,故周期 T=4.又由于 2 014=503×4+2, 因此 f(2 014)的末四位数字与 f(6)的末四位数字相同,即 f(2 014)的末四位数字是 5 625. 答案:B 1 1 1 1 7.用数学归纳法证明不等式“1+ + +…+ n≤ +n(n∈N+)”时,第一步应验证 2 3 2 2 ( ) 9 7 8 3 1 1 A.1+ ≤ +1 2 2 1 1 1 1 C.1+ + + ≤ +2 2 3 4 2 1 B.1≤ +1 2 1 D.1< +1 2 1 1 1 1 解析:当 n=1 时不等式左边为 1+ ,右边为 +1,即需要验证:1+ ≤ +1. 2 2 2 2 答案:A 8.用数学归纳法证明等式:(n+1)(n+2)…(n+n)=2 ·1·3·…·(2n-1),从 k 到 n k+1,左边需要增乘的代数式为( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 ) B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 解析:当 n=k+1 时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2), 所以,增乘的式子为 k+ k+1 答案:B k+ =2(

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