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高中数学会考知识点总结


数学学业水平复习知识点
第一章 集合与简易逻辑
1、 集合 (1) 、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。 (2) 、集合的表示法:列举法() 、描述法() 、图示法() ; (3) 、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作 ? , ? 是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集) ; (4) 、元素 a 和集合 A 之间的关系:a∈A,或 a ? A; (5) 、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N;整数集:Z ;整数:Z;有理数集:Q;实数集:R。 2、子集 (1) 、定义:A 中的任何元素都属于 B,则 A 叫 B 的子集 ;记作:A ? B, 注意:A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ (2) 、性质:①、 A ? A, ? ? A ;②、若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ;③、若 A ? B, B ? A 则 A=B ; 3、真子集 (1) 、定义:A 是 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A;记作: A ? B ; (2) 、性质:①、 A ? ? , ? ? A ;②、若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ; 4、补集 ①、定义:记作: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}; ②、性质: A ? CU A ? ?,A ? CU A ? U,CU (CU A) ? A; 5、交集与并集 (1) 、交集: A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 性质:①、 A ? A ? A, A ? ? ? ? ②、若 A ? B ? B ,则 B ? A A B A B

CU A

A

(2) 、并集: A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 性质:①、 A ? A ? A, A ? ? ? A ②、若 A ? B ? B ,则 A ? B

1

6、一元二次不等式的解法: (二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系) 判别式:△=b2-4ac y 二次函数

??0
y

??0

??0
y

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
的图象 x1

O

x2

x O x1=x2

x O

x

一元二次方程

有两相异实数根

有两相等实数根

没有实数根

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根
一元二次不等式

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x 2 ? ?

{x | x ? x1 , x ? x2 }
“>”取两边

b 2a b {x | x ? ? } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
一元二次不等式

{x | x1 ? x ? x2 }
“<”取中间

?

?

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集
不等式解集的边界值是相应方程的解

含参数的不等式 ax +b x+c>0 恒成立问题 ? 含参不等式 ax +b x+c>0 的解集是 R;
2 2

其解答分 a=0(验证 bx+c>0 是否恒成立)、a≠0(a<0 且△<0)两种情况。

第二章 函数
1、映射:按照某种对应法则 f ,集合 A 中的任何一个元素,在 B 中都有唯一确定的元素和它对应, 记作 f:A→B,若 a ? A, b ? B ,且元素 a 和元素 b 对应,那么 b 叫 a 的象,a 叫 b 的原象。 2、函数: (1) 、定义:设 A,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系 f,对于集合 A 中的任意一个数 x, 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作 y=f(x) , (2) 、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量 x 的取值范围叫函数的定义域,函数值 f(x)的 范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示; (3) 、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线) ; (4) 、区间:满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫闭区间,表示为:[a ,b] 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫开区间,表示为: (a ,b) 满足不等式 a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为:[a ,b)或(a ,b];

2

(5) 、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为 R; ②、分式:分母 ? 0 ,0 次幂:底数 ? 0 ,例: y ?

1 2? | 3 x |

③、偶次根式:被开方式 ? 0 ,例: y ? ④、对数:真数 ? 0 ,例: y ? log a (1 ?

25 ? x 2
1 ) x

(6) 、求值域的一般方法:①、图象观察法: y ? 0.2| x| ②、单调函数:代入求值法: y ? log 2 (3 x ? 1), x ? [ ,3] ③、二次函数:配方法: y ? x 2 ? 4 x, x ? [1,5) , y ?

1 3

? x 2 ? 2x ? 2

x 2x ? 1 2 ? sin x ⑤、 “对称”分式:分离常数法: y ? 2 ? sin x
④、 “一次”分式:反函数法: y ? ⑥、换元法: y ? x ? 1 ? 2 x (7) 、求 f(x)的一般方法: ①、待定系数法:一次函数 f(x) ,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f(x) ②、配凑法: f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 , 求 f(x) x x

③、换元法: f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x) ④、解方程(方程组) :定义在(-1,0)∪(0,1)的函数 f(x)满足 2 f ( x ) ? f ( x ) ? 3、函数的单调性: (1) 、定义:区间 D 上任意两个值 x1 , x 2 ,若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f ( x) 为 D 上增函数; 若 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,称 f ( x) 为 D 上减函数。 (一致为增,不同为减) (2) 、区间 D 叫函数 f ( x) 的单调区间,单调区间 ? 定义域; (3) 、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论 (4) 、复合函数 y ? f [h( x)] 的单调性:内外一致为增,内外不同为减; 4、反函数:函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f 反函数的求法: ①、 由 y ? f ( x) , 解出 x ? f 的定义域(即原函数的值域) ;
3
?1

1 ,求 f(x) x

( x) ;函数 y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 互为反函数;

?1

?1 ?1 ②、x , y 互换, 写成 y ? f ( x) , ③、 写出 y ? f ( x) ( y) ,

反函数的性质:函数 y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f 函数 y ? f ( x) 的图象和它的反函数 y ? f
?1

?1

( x) 的值域、定义域;

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称;

点(a,b)关于直线 y ? x 的对称点为(b,a) ; 5、指数及其运算性质: (1) 、如果一个数的 n 次方根等于 a( n ? 1, n ? N * ) ,那么这个数叫 a 的 n 次方根;
n

?a(a ? 0) a 叫根式,当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a(a ? 0)
m n

(2) 、分数指数幂:正分数指数幂: a n ?

a m ;负分数指数幂: a

?

m n

?

1 a
m n

0 的正分数指数幂等于 1,0 的负分数指数幂没有意义(0 的负数指数幂没有意义) ; (3) 、运算性质:当 a ? 0, b ? 0, r , s ? Q 时: a ? a ? a
r s r ?s

, (a ) ? a , (ab) ? a b , a ? a ;
r s rs r r r
r

1 r

6、 对数及其运算性质: (1) 、 定义: 如果 a b ? N (a ? 0, a ? 1) , 数 b 叫以 a 为底 N 的对数, 记作 loga N ? b , 其中 a 叫底数,N 叫真数,以 10 为底叫常用对数:记为 lgN,以 e=2.7182828?为底叫自然对数:记为 lnN (2) 、性质:①:负数和零没有对数,②、1 的对数等于 0:loga 1 ? 0 ,③、底的对数等于 1:loga a ? 1 , ④、积的对数: loga (MN ) ? loga M ? loga N , 商的对数: log a 幂的对数: loga M n ? n loga M , 7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 定义 指数函数 对数函数

M ? log a M ? log a N , N 1 方根的对数: log a n M ? log a M , n

y ? ax
a>1

( a ? 0且a ? 1) 0<a<1

y ? loga x ( a ? 0且a ? 1)
a>1 0<a<1

图象 (非奇非偶)

y

y=ax

y=ax

y

y

y=logax

y x

1 O x

1 O x

O

1

x

O

1 y=logax

定义域 值域

(-∞,+∞) (0,+∞)

(-∞,+∞) (0,+∞)

(0,+∞) (-∞,+∞)

(0,+∞) (-∞,+∞)

4



单调性

在(-∞,+∞) 上是增函数

在(-∞,+∞) 上是减函数

在(0,+∞) 上是增函数

在(0,+∞) 上是减函数

函数值 变化 质 图 定 点 图象 象 特征 图象 关系

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 1, x ? 0 ? a ?? 1, x ? 0 ?? 1, x ? 0 ?
x

?? 0, x ? 1 ? loga x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

?? 0, x ? 1 ? loga x ?? 0, x ? 1 ?? 0,0 ? x ? 1 ?

? a 0 ? 1,?过定点(0,1) ? a x ? 0,?图象在 x 轴上方

? loga 1 ? 0,?过定点(1,0)
? x ? 0,?图象在 y 轴右边

y ? a x 的图象与 y ? loga x 的图象关于直线 y ? x 对称

第三章 数列
(一) 、数列: (1) 、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; 数列是特殊的函数:定义域:正整数集 N (或它的有限子集{1,2,3,?,n}) , 值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式; (2) 、通项公式:数列{ an }的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系式;例:数列 1,2,?,n 的通项公式 an = n 1,-1,1,-1,?,的通项公式 an = (?1)
n ?1
?



1 ? (?1) n 0,1,0,1,0,?,的通项公式 an ? 2

(3) 、递推公式:已知数列{ an }的第一项,且任一项 an 与它的前一项 a n ?1 (或前几项)间的关系用一个 公式表示,这个公式叫递推公式;例:数列{ an }: a1 ? 1 , a n ? 1 ?

1 ,求数列{ an }的各项。 an?1
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

(4) 、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: a n ? ?

(二) 、等差数列 : (1) 、定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。 (2) 、通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d (其中首项是 a1 ,公差是 d ;整理后是关于 n 的一次函数) , (3) 、前 n 项和:1. S n ?
n(a1 ? a n ) 2

2. S n ? na1 ?

n(n ? 1) d (整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数) 2

(4) 、 等差中项: 如果 a , A ,b 成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 即: A ?

a?b 或 2A ? a ? b 2

5

[说明]:在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项 的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 (5) 、等差数列的判定方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若 an?1 ? an ? d (常数),则数列 ?an ? 是等差数列。 ②、等差中项:对于数列 ?an ? ,若 2an?1 ? an ? an?2 ,则数列 ?an ? 是等差数列。 (6) 、等差数列的性质: ①、等差数列任意两项间的关系:如果 an 是等差数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公 差为 d ,则有

an ? am ? (n ? m)d

②、等差数列 ?an ? ,若 n ? m ? p ? q ,则 an ? am ? a p ? aq 。
a1 ? an ????? ????? ? a , a , a , ? , a , a , 2? 3 n?2 n ?1 a n ? ?? ,如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ? an ?1
*

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③、若数列 ?an ? 是等差数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等差数列。
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如下图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

④、设数列

?an ?是等差数列, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是前 n 项的和,
S n ? S奇 ? S偶
S 奇 ? S偶 ? a中

则有:前 n 项的和 当 n 为奇数时,则

, 当 n 为偶数时,
S奇 ?

S 偶 ? S奇 ?

n d 2 ,其中 d 为公差;



n ?1 n ?1 a中 S偶 ? a中 a 2 2 , (其中 中 是等差数列的中间一项) 。
a n S 2 n ?1 ? ' 。 bn S 2 n ?1

' ⑤、等差数列 ?an ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n?1 ,等差数列 ?bn ? 的前 2n ? 1 项的和为 S 2 n ?1 ,则

(三) 、等比数列: (1) 、定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示( q ? 0 ) 。 (2) 、通项公式: an ? a1q
n?1

(其中:首项是 a1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? n (3) 、前 n 项和] S n ? ? a1 ? a n q a1 (1 ? q ) (推导方法:乘公比,错位相减) ? , (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
说明:① S n ?
a1 (1 ? q n ) (q ? 1) 1? q

2 Sn ? ○

a1 ? a n q (q ? 1) 1? q

3 当 q ? 1 时为常数列, S n ? na1 ,非 0 的常数列既是等差数列,也是等比数列 ○

6

(4) 、等比中项: 如果在 a 与 b 之间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么 (5) 、等比数列的判定方法: ①、定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

G b 2 ? ,即 G ? ab (或 G a G

? ? ab ,等比中项有两个)

?an ? 是等比数列。

2 ②、等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an an ? 是等比数列。 ?1 ,则数列 ?

(6) 、等比数列的性质: ①、等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等比数列的第 m 项,且 m ? n , 公比为 q ,则有 a n ? a m q n?m ②、对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av
a1?an ????? ?????? a , a , a , ? , a n?2 , a n?1 , a n 2 ?3 ? ?? 。如图所示: 1 ? ? ? ?? ?? ? a2 ?an ?1

也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2

③、若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列。
S 3k ??????????? ? ??????????? ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? ? ? a2k ? a2k ?1 ? ? ? a3k 如下图所示: ? ??? ???? ? ?? ? ??? ? ??? ??? ? Sk S 2k ? S k S 3k ? S 2 k

(7) 、求数列的前 n 项和的常用方法:分析通项,寻求解法

1? 2 ? 3 ??? n ?

n(n ? 1) 1 12 ? 2 2 ? 3 2 ? ? ? n 2 ? n(n ? 1)( 2n ? 1) , 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 2 6
?1 ?2 ?n

① 公式法: “差比之和”的数列: (2 ? 3 ? 5 ) ? (2 ? 3 ? 5 ) ? ? ? (2 ? 3 ? 5 ) ? ② 、并项法: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n?1 n ? ③ 、裂项相消法: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 6 (n ? 1)n 1 3? 4 ??? 1 n ? n ?1 ?

1 1? 2

?

1 2? 3

?

④、到序相加法: ⑤、错位相减法: “差比之积”的数列: 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2 n ?1

?

第四章 三角函数
1、角: (1) 、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (2) 、与 ? 终边相同的角,连同角 ? 在内,都可以表示为集合{ ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z }
?

7

(3) 、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象 限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。 2、弧度制: (1) 、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 (2) 、度数与弧度数的换算: 180 ? ? 弧度,1 弧度 ? (
?

180

?

) ? ? 57 ?18 '

(3) 、弧长公式: l ?| ? | r ( ? 是角的弧度数)

y P(x,y) r 0

1 1 2 扇形面积: S ? lr ?? | ? | r 2 2

r?

x ?y ?0
2 2

?
x

3、三角函数 (1) 、定义: (如图)

(2) 、各象限的符号: y

y y r sin ? ?     tan? ?     sec ? ?    + r x x O x x r _ cos? ?     cot? ?     csc ? ? r y y sin ?
(3) 、 特殊角的三角函数值

+ _
x

_ _
O

y

+
x

_
O

y

+ _
x

+

cos?
120 ? 135 ? 150 ?

+

tan ?

? 的角度 ? 的弧度
sin ?

0? 0 0
1

30 ?

45 ?

60 ?

90 ?

180 ?

270 ?

360 ? 2? 0
1

?
6
1 2
3 2 3 3

?
4
2 2 2 2
1

?
3
3 2

?
2
1

2? 3
3 2

3? 4
2 2 ? 2 2
?1

5? 6

?
0
?1

3? 2
?1

1 2
? 3 2 ? 3 3
sin ?

cos?
tan ?

1 2
3

0


?1 2
? 3

0


0

0

0

4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:

cos?

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

t a? n?

s i? n c o? s

t a? n c o? t ?1

tan ?

1

cot ?

1 ? tan2 ? ? sec 2 ?
1 ? cot2 ? ? csc 2 ?

c o? t?

c o? s s i? n

s i? nc s? c ?1
cos ? sec ? ? 1

sec?

csc?

(4)同角三角函数的常见变形: (活用“1” ) ①、 sin ? ? 1 ? cos ? ,
2 2

sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ; cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? , cos? ? ? 1 ? sin2 ? ;
8

② tan? ? cot? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos2 ? ? sin 2 ? 2 cos 2? , cot? ? tan? ? ? ? ? 2 cot 2? sin ? cos? sin 2? sin ? cos? sin 2?

③ (sin? ? cos?)2 ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? sin 2? , 5、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)

1 ? sin 2? ?| sin ? ? cos? |

公式一: sin(? ? k ? 360?) ? sin ?   cos(? ? k ? 360?) ? cos?  tan( ? ? k ? 360?) ? tan?

公式二:

公式三:

公式四:

公式五:

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(180? ? ? ) ? ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? tan?
sin( ? ? ) ? cos? 2

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?

sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360? ? ? ) ? cos?   tan( 360? ? ? ) ? ? tan?

?

补充: cos(? ? ? ) ? sin ? 2

t an( ? ? ) ? cot? 2

?

3? 3? ? ? ) ? ? cos? sin( 2 ? ? ) ? ? cos? 2 3? 3? ? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? ? sin ? cos( ? ? ) ? sin ? 2 2 2 3? 3? ? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? ? cot? tan( ? ? ) ? cot? 2 2 2
?
sin(

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

S(? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ?? ) : tan( ? ? ?) ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
T(? ? ? ) : tan( ? ? ?) ?
tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

? ? ? ) ? (1 ? tan? tan? ) T(? ?? ) 的整式形式为: tan? ? tan ? ? tan(
例:若 A ? B ? 45 ? ,则 (1 ? tan A)(1 ? tan B) ? 2 . (反之不一定成立) 8、二倍角公式: (1) 、 S 2? :

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

C 2? :

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1

sin ? cos ? ?

T2? :

t a 2? n ?

2 t a?n 1 ? t a2 ? n

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2
9

(3) 、二倍角公式的常用变形:①、 1 ? cos2? ? 2 | sin ? | ,

1 ? cos2? ? 2 | cos? | ;

②、

1 ? 1 cos 2? ?| sin ? | , 2 2
4 2 2

1 1 ? cos2? ?| cos? | 2 2
cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? ;

sin 2 2? ③、 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 sin ? cos ? ? 1 ? ; 2
4

④半角: sin

?
2

??

sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos ? ? ? , cos ? ? , tan ? ? sin ? 1 ? cos ? 2 2 2 2 1 ? cos?

9、三角函数的图象性质 (1)、函数的周期性:①、定义:对于函数 f(x),若存在一个非零常数 T,当 x 取定义域内的每一个值 时,都有:f(x+T)= f(x),那么函数 f(x)叫周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周期; ②、如果函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫 f(x)的最小正周期。 (2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x, 都有:f(-x)= - f(x),则称 f(x)是奇函数,f(-x)= f(x),则称 f(x)是偶函数 ②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称; ③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称; (3)、正弦、余弦、正切函数的性质( k ? Z ) 函数 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] (-∞,+∞) 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间
3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

y ? sin x
y ? cos x

x?R
x?R
{x | x ?

T ? 2?
T ? 2?

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ?

?(2k ? 1)? ,2k? ?
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 2 ? 2 ?

?2k? , (2k ? 1)? ?

y ? tan x

?
2

? k? }

T ??

? 3? ,1),( ? ,0),( ,-1),( 2? ,0); 2 2 ? 3? y ? cos x 图象的五个关键点:(0,1),( ,0),( ? ,-1),( ,0),( 2? ,1); 2 2
y ? sin x 图象的五个关键点:(0,0),(
y

??

?

?
2

1 0 -1

y ? sin x
? 2

?

3? 2

2?

x

y

??
y

3? ? 2

? ? 2

o

? 2

?

3? 2
10

x

??

?

?
2

1 0 -1

y ? cos x
? 2

?

3? 2

y ? tan x
2?
x

y ? sin x 的对称中心为( k? ,0 );对称轴是直线 x ? k? ?
y ? cos x 的对称中心为( k? ?

?
2



?
2

,0 );对称轴是直线 x ? k? ;

y ? tan x 的对称中心为点( k? ,0 )和点( k? ?

?
2

,0 );

? 2? ; y ? Ac o s ? (x ? ? ) 的周期 T ? ? ? y ? A tan( ?x ? ? ) 的周期 T ? ; ?

y ? A s i n? (x ? ? ) 的周期 T ?

2?



(4)、函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的相关概念: 函数 定义域 值域 [-A,A] 振幅 A 周期 频率 相位 初相 图象 五点法

y ? A sin(?x ? ? )

x?R

T?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象与 y ? sin x 的关系:
①振幅变换: y ? sin x
当 A ? 1 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的 A 倍 当0

? A ? 1 时, 图象上各点的纵坐标缩短到原来的 A 倍 y ? A sin x 1 当 ? ? 1 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍

?

②周期变换: y ? sin x

当0

? ? ? 1 时, 图象上各点的纵坐标伸长到原来的

1

?



y ? sin ?x

当?

? 0 时,图象上的各点向左平移 ?

个单位倍

③相位变换: y ? sin x

当?

? 0 时,图象上的各点向右平移 | ? | 个单位倍

y ? sin(x ? ? )

④平移变换: y ? A sin ?x

? 个单位倍 ? ? | 个单位倍 当 ? ? 0 时,图象上的各点向右平移 | ?
当?

? 0 时,图象上的各点向左平移

y ? A sin(?x ? ? )

常 叙 述 成 : ① 把 y ? sin x 上 的 所 有 点 向 左 ( ? ? 0 时 ) 或 向 右 ( ? ? 0 时 ) 平 移 | ? | 个 单 位 得 到

y ? sin(x ? ? ) ;
②再把 y ? sin(x ? ? ) 的所有点的横坐标缩短( ? ? 1 )或伸长( 0 ? ? ? 1 )到原来的 得到 y ? sin(?x ? ? ) ; ③再把 y ? sin(?x ? ? ) 的所有点的纵坐标伸长( A ? 1 )或缩短( 0 ? A ? 1 )到原来的 A 倍(横坐标不 变)得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。
11

1

?

倍(纵坐标不变)

先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? ) 先平移后伸缩的叙述方向: y ? A sin(?x ? ? ) ? A sin[? ( x ?

? )] ?

第五章、平面向量
1、空间向量: (1)定义:既有大小又有方向的量叫做向量,向量都可用同一平面内的有向线段表示。 (2)零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 ;零向量的方向是任意的。 (3)单位向量:长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量;与向量 a 平行的单位向量: e ? ?

a |a|



(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量,记作 a // b ;规定 0 与任何向量平 行; (5)相等向量:长度相同且方向相同的向量叫相等向量,零向量与零向量相等; 任意两个相等的非零向量,都可以用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关。 2、向量的运算: (1) 、向量的加减法: 向量的加法 三角形法则 平行四边形法则 向量的减法

a b b b

b a a?b b a
首位连结

a

b

a?b a

a

a ?b

指向被减数

(2) 、实数与向量的积:①、定义:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a ; ②:它的长度: | ? a |?| ? | ? | a | ; ③:它的方向:当 ? ? 0 , ? a 与向量 a 的方向相同;当 ? ? 0 , ? a 与向量 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,

?a = 0 ;
3、平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量 a ,有且

12

只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ; 不共线的向量 e1 , e2 叫这个平面内所有向量的一组基向量,{ e1 , e2 }叫基底。 4、平面向量的坐标运算:(1)运算性质: a ? b ? b ? a, a ? b ? c ? a ? b ? c , a ? 0 ? 0 ? a ? a (2)坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ? 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? . (3)实数与向量的积的运算律: 设 a ? ?x, y ? ,则λ a ? ? ? x, y ? ? ??x, ?y ? ,
0 0 (4)平面向量的数量积:①、 定义: a? b ? a ? b cos? ? a ? 0, b ? 0,0 ? ? ? 180 ? , 0 ? a ? 0 . ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?

? ?

? ?

?? ?

? ?

?

? ?

? ?

①、平面向量的数量积的几何意义:向量 a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影| b | cos ? 的乘积; ③、坐标运算:设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ; 向量 a 的模| a |: | a | 2 ? a ? a ? x 2 ? y 2 ;模| a | ?
? ? ? ? ? ?

x2 ? y2

④ 、 设 ? 是 向 量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? 的 夹 角 , 则 cos ? ?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y 2

2

2

, a

? b ? a?b ? 0
5、重要结论: (1)、两个向量平行的充要条件: a// b ? a ? ? b (? ? R) 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x 2 , y 2 ? ,则 a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (2)、两个非零向量垂直的充要条件: a ? b ? a ? b ? 0
?
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?



a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0
( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
? ?

?

?

?

(3)、两点 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 的距离: | AB |?

(4) 、P 分线段 P1P2 的:设 P (x,y) ,P( (即 ? ? ? 1 x1,y1) ,P( 2 x2,y2) ,且 P 1 P ? ? PP 2 ,

| P1 P | | PP2 |



? x? ? ? 则定比分点坐标公式 ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?



x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

13

(5)、平移公式:如果点 P(x,y)按向量 a ? ?h, k ? 6、解三角形: (1)三角形的面积公式: S ? ? (2)在△ ABC 中: A ? B ? C ? 180 ? , 因为 A ? B ? 180 ? ? C : sin(A ? B) ? sin C , 因为

?

' ? ? x ? x ? h, 平移至 P′(x′,y′),则 ? ' ? ? y ? y ? k.

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

cos(A ? B) ? ? cosC ,

tan(A ? B) ? ? tanC

A ? B ? 90? ? C : sin( A ? B ) ? cos C , cos( A ? B ) ? sin C , 2 2 2 2 2 2

tan(A ? B ) ? cot C 2 2

(3)正弦定理,余弦定理 ①正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示: a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,  c ? 2 R sin sin A sin B sin C

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
②余弦定理: b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ab
若: a ? b ? c ? ? 2ab 则:
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
求角: cos A ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 3ab

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cosC ? 2bc 2ac 2ab

第六章:不等式 1、不等式的性质: (1) 、对称性: a ? b ? b ? a ; (2) 、传递性: a ? b, b ? c ? a ? c ; (3) 、 a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (4) 、 a ? b, 若 c ? 0 ? ac ? bc ,若 c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd y (5) 、 a ? b ? 0 ? a ? b , a ? b , (n ? N , n ? 1) (没有减法、除法)
n n n n

1、 均值不等式: (1) 、 (2) 、 a ? b ? 2 ab 或 ab ? (

( ab ?

a2 ? b2 ) 2

a?b 2 ) 一正、二定、三相等 2

2 a ? a a ?2 a
x

不满足相等条件时,注意应用函数 f ( x) ? x ?

1 图象性质(如图) x

应用:证明(注意 1 的技巧) ,求最值,实际应用 (3) 、对于 n 个正数: a1 , a 2 , a3 ?, a n (n ? 2) , 那么:

a1 ? a 2 ? ? ? a n 叫做 n 个正数的算术平均数, n a1 a 2 ? a n 叫做 n 个正数的几何平均数; n
14

3、不等式的证明,常用方法: (1)比较法:①、作差: a ? b ? 0 ? a ? b, a ? b ? 0 ? a ? b , (作差、变形、确定符号) ②、作商: a ? 1(b ? 0) ? a ? b(b ? 0), a ? 1(b ? 0) ? a ? b(b ? 0)
b b

? ?;    ??,   ? ?; (2)综合法:由因到果,格式:? ? ,  
(3)分析法:执果索因,格式:原式

? ,  ?? ,  ?? ,  ?? ,

(4)反证法:从结论的反面出发,导出矛盾。 4、不等式的解法: (不等式解集的边界值是相应方程的解) 一元二次不等式( x 的系数为正数) : ? ? 0 时“>”取两边,“<”取中间
2

绝对值不等式:含一个绝对值符号的: “>”取两边,“<”取中间 含两个绝对值符号的: 零点分段讨论法(注意取“交” ,还是取“并” ) 高次不等式的解法:根轴法 (重根:奇穿偶不穿) 分式不等式的解法:移项、通分、根轴法

15


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