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高一函数知识点及典型习题(很强很全)


函数
(一)集合 1.求交集、并集,集合运算 (二)函数 1.常见函数:二次函数、指数函数、对数函数、幂函数 2.函数的性质:图象、定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性 (三)函数与方程 1.零点存在定理(定义、定理、数形结合)

函数概念 (一)知识梳理 1.映射的概念 2.函数的概念 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个数 x ,在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应, 那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数, 通常记为 y ? f ( x), x ? A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A 中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做 y ? f (x) 的定义域;与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 ?f ( x) x ? A?称为函数 y ? f (x) 的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法 (1) .图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系; (2) .列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。 4.分段函数 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。 (二)考点分析 考点 1:映射的概念 例 1. (1) A ? R , B ? { y | y ? 0} , f : x ? y ?| x | ; (2) A ? {x | x ? 2, x ? N *}, B ? ? y | y ? 0, y ? N? , f : x ? y ? x2 ? 2x ? 2 ;

(3) A ? {x | x ? 0} , B ? { y | y ? R}, f : x ? y ? ? x . 上述三个对应 是 A 到 B 的映射. 考点 2:判断两函数是否为同一个函数 例 1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? 3 x 3 ; (2) f ( x) ?

?1 , g ( x) ? ? x ?? 1
x

x ? 0, x ? 0;

(3) f ( x) ? 2n?1 x 2n?1 , g ( x) ? (2n?1 x ) 2n?1 (n∈N*) ; (4) f ( x) ? x
x ? 1 , g ( x) ?

x2 ? x ;

(5) f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1, g (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 [答案](1)(2)(4)不是; 、 、 (3)(5)是同一函数 、 考点 3:求函数解析式 方法总结: (1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数) ,则用待定系数法; (2)若已知复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,则可用换元法或配凑法; (3)若已知抽象函数的表达式,则常用解方程组消参的方法求出 f (x) 题型 1:由复合函数的解析式求原来函数的解析式 例 1.已知二次函数 f (x) 满足 f (2x ? 1) ? 4x 2 ? 6x ? 5 ,求 f (x) 题型 2:求抽象函数解析式
1 例 1.已知函数 f (x) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x ,求 f (x) x 考点 4:求函数的定义域 题型 1:求有解析式的函数的定义域 (1)方法总结:如没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围,实

际操作时要注意:① 分母不能为 0;② 对数的真数必须为正;③ 偶次根式中被开方数应为非负数; ④ 零指数幂中,底数不等于 0;⑤ 负分数指数幂中,底数应大于 0;⑥ 若解析式由几个部分组成, 则定义域为各个部分相应集合的交集; 如果涉及实际问题, ⑦ 还应使得实际问题有意义, 而且注意: 研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则,实际问题的定义域不要漏写。 1 例 1.(08 年湖北)函数 f (x) ? ln( x 2 ? 3x ? 2 ? ? x 2 ? 3x ? 4 ) 的定义域为( ) x A. (??,?4) ? [2,??) ;B. (?4,0) ? (0,1) ;C. [,?4,0) ? (0,1] ;D. [,?4,0) ? (0,1) 答案: D

题型 2:求复合函数和抽象函数的定义域 例 1. (2007·湖北)设 f ? x ? ? lg
2? x ,则 f ? x ? ? f ? 2 ? 的定义域为( ? ? ? ? 2? x ?2? ? x?



A. ?? 4,0? ? ?0,4? ;B. ?? 4,?1? ? ?1,4? ;C. ?? 2,?1? ? ?1,2?;D. ?? 4,?2? ? ?2,4?
答案:B. 例 2.已知函数 y ? f (x) 的定义域为 [a,b] ,求 y ? f ( x ? 2) 的定义域 例 3.已知 y ? f ( x ? 2) 的定义域是 [a,b] ,求函数 y ? f (x) 的定义域 例 4.已知 y ? f (2 x ? 1) 的定义域是(-2,0) ,求 y ? f (2 x ? 1) 的定义域 考点 5:求函数的值域 1. 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函数型”的函数常用配方法, 例:求函数 y ? ? sin 2 x ? 2 cos x ? 4 的值域。 (2)基本函数法:一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求, 例:求函数 y ? log 1 (? x 2 ? 2 x ? 3) 的值域。
2

(3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。 2x ? 1 例:求函数 y ? 2 的值域 x ? 2x ? 2 (4)分离常数法:常用来求“分式型”函数的值域。 2 cos x ? 3 例:求函数 y ? 的值域 cos x ? 1 (5)利用基本不等式求值域: 3x 例:求函数 y ? 2 的值域 x ?4 (6)利用函数的单调性求求值域: 例:求函数 y ? 2 x 4 ? x 2 ? 2( x ? [?1,2]) 的值域 (7)图象法:如果函数的图象比较容易作出,则可根据图象直观地得出函数的值域 (8)导数法――一般适用于高次多项式函数。 例:求函数 f ( x) ? 2x3 ? 4x2 ? 40 x , x ?[?3,3] 的最小值。 m (9)对勾函数法 像 y=x+ , (m>0)的函数,m<0 就是单调函数了 x 4 三种模型: (1)如 y ? x ? ,求(1)单调区间(2)x 的范围[3,5],求值域(3)x ? [-1,0 ) ? (0,4], x 求值域 (2)如 y ? x ?
4 求(1)[3,7]上的值域 x?4,

(2)单调递增区间(x ? 0 或 x ? 4)

(3)如

y ? 2x ?

1 x ?3

, (1)求[-1,1]上的值域

(2)求单调递增区间

函数的单调性 (一)知识梳理 1、函数的单调性定义: 设函数 y ? f (x) 的定义域为 A ,区间 I ? A ,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f (x) 在区间 I 上是单调增函数,I 称为 y ? f (x) 的单调增区间;如 果对于区间 I 内的任意两个值 x1 , x2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 y ? f (x) 在区间

I 上是单调减函数, I 称为 y ? f (x) 的单调减区间。
如果用导数的语言来, 那就是: 设函数 y ? f (x) , 如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 , 那么 f (x) 为区间 I 上 的增函数;如果在某区间 I 上 f ?( x) ? 0 ,那么 f (x) 为区间 I 上的减函数; 2、确定函数的单调性或单调区间的常用方法: (1) ①定义法 (取值――作差――变形――定号) ②导数法 ; (在区间 ( a, b) 内, 若总有 f ?( x) ? 0 , 则 f ( x) 为增函数;反之,若 f ( x) 在区间 ( a, b) 内为增函数,则 f ?( x) ? 0 , b (2) 在选择填空题中还可用数形结合法、 特殊值法等等, 特别要注意 y ? ax ? (a ? 0 , b ? 0) 型 x b b b b 函数的图象和单调性在解题中的运用:增区间为 (??, ? ],[ , ??) ,减区间为 [? , 0), (0, ]. a a a a (3)复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减 (4)若 f (x) 与 g (x) 在定义域内都是增函数(减函数) ,那么 f ( x) ? g ( x) 在其公共定义域内是增 函数(减函数) 。 3、单调性的说明: (1) 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义 域; (2)函数单调性定义中的 x1 , x2 有三个特征:一是任意性;二是大小,即 x1 ? x2 ( x1 ? x2 ) ;三 是同属于一个单调区间,三者缺一不可; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数 y ?
1 分别在 (??,0) 和 x

(0,??) 内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即 (??,0) ? (0,??) 内是单调递减的,只能说

函数 y ?

1 的单调递减区间为 (??,0) 和 (0,??) 。 x

4、函数的最大(小)值 设函数 y ? f (x) 的定义域为 A ,如果存在定值 x0 ? A , 使得对于任意 x ? A , f ( x) ? f ( x0 ) 恒成立, 有 那么称 f ( x0 ) 为 y ? f (x) 的最大值;如果存在定值 x0 ? A ,使得对于任意 x ? A ,有 f ( x) ? f ( x0 ) 恒 成立,那么称 f ( x0 ) 为 y ? f (x) 的最小值。 (二)考点分析 考点 1 函数的单调性 题型 1:讨论函数的单调性 例 1. (1)求函数 y ? log0.7 ( x2 ? 3x ? 2) 的单调区间; (2)已知 f ( x) ? 8 ? 2x ? x2 , 若 g ( x) ? f (2 ? x2 ) 试确定 g ( x) 的单调区间和单调性. 例 2. 判断函数 f(x)=
x 2 ? 1 在定义域上的单调性.?

题型 2:研究抽象函数的单调性 例 1 . 已 知 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 x ? 0 的 一 切 实 数 , 对 定 义 域 内 的 任 意 x1 , x2 都 有

f ( x ? x ) ? f( 1x)? 1 2

f( 2,且当 x ? 1 时 f ( x) ? 0, f (2) ? 1 , x)

(1)求证: f ( x) 是偶函数; (2) f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数; (3)解不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 . 解: (1)令 x1 ? x2 ? 1,得 f (1) ? 2 f (1) ,∴ f (1) ? 0 ,令 x1 ? x2 ? ?1 ,得∴ f (?1) ? 0 , ∴ f (? x) ? f (?1? x) ? f (?1) ? f ( x) ? f ( x) ,∴ f ( x) 是偶函数. (2)设 x2 ? x1 ? 0 ,则
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 x x ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( 2 ) x1 x1 x1

∵ x2 ? x1 ? 0 ,∴

x x2 ? 1 ,∴ f ( 2 ) ? 0 ,即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) x1 x1

∴ f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数. (3)? f (2) ? 1 ,∴ f (4) ? f (2) ? f (2) ? 2 , ∵ f ( x) 是偶函数∴不等式 f (2 x2 ? 1) ? 2 可化为 f (| 2 x2 ?1|) ? f (4) , 又∵函数在 (0, ??) 上是增函数,∴ | 2 x2 ?1|? 4 ,解得: ?
10 10 ?x? , 2 2

即不等式的解集为 (?

10 10 , ). 2 2

题型 3:函数的单调性的应用 例 1.若函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是 ______(答: a ? ?3 )); ax ? 1 1 例 2. 已知函数 f ( x) ? 在区间 ? ?2, ?? ? 上为增函数, 则实数 a 的取值范围_____ (答:( , ??) ) ; x?2 2 考点 2 函数的值域(最值)的求法 求最值的方法: (1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。 (2)利用函数的 单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调性求最值。 (3)基本不等 式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否取得)(4)导数法: 。 当函数比较复杂时,一般采用此法(5)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件 的几何意义,在图上找其变化范围。 题型 1:求分式函数的最值 例 1. (2007 上海)已知函数 f ( x) ?
x 2 ? 2x ? a 1 , x ? [1,??). 当 a ? 时,求函数 f (x) 的最小值。 2 x

题型 2:利用函数的最值求参数的取值范围 例 2. (2008 广东)已知函数 f ( x) ? 实数 a 的取值范围。
x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??). 若对任意 x ?[1, ??), f ( x) ? 0 恒成立,试求 x

函数的奇偶性 (一)知识梳理 1、函数的奇偶性的定义:①对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) 〔或 ,则称 f (x) 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。②对于函数 f (x) 的定义域 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 〕 内任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) 〔或 f (? x) ? f ( x) ? 0 〕 ,则称 f (x) 为偶函数. 偶函数的图象关于

y 轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数, 其定义域关于原点对称 (也就是说, 函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函数的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函数的定义判断 f ( x) ? ? f (? x)

(2)利用定义的等价形式, f ( x) ? f (? x) ? 0 ,

f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) f ( x)

(3)图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称 3.函数奇偶性的性质: (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同;偶函数在关于原点 对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函数 f ( x) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x) 为奇函数的既不充分 也不必要条件。 (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的 f ( x) ? f (? x) 和(或差)。如设 f (x) 是定义域为 R 的任一函数, F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? ” 。 2 2 (4)复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. (5)设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇= 偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇. (二)考点分析 考点 1 判断函数的奇偶性及其应用 题型 1:判断有解析式的函数的奇偶性 例 1. 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=|x+1|-|x-1|; (2)f(x)=(x-1)· 题型 2:证明抽象函数的奇偶性 例 1 .(09 年 山 东 ) 定 义 在 区 间 (?1,1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 : 对 任 意 的 x, y ? (?1,1) , 都 有
1? x ; 1? x

x? y f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) . 求证 f (x)为奇函数; 1 ? xy
[解析]令 x = y = 0,则 f (0) + f (0) = f ( 令 x∈(-1, 1)
0?0 ) ? f (0) ∴ f (0) = 0 1? 0 x?x ∴-x∈(-1, 1)∴ f (x) + f (-x) = f ( ) = f (0) = 0 1 ? x2

∴ f (-x) =-f (x)∴ f (x) 在(-1,1)上为奇函数 例 2. (1)函数 f (x) , x ? R ,若对于任意实数 a, b ,都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ,求证: f (x) 为奇 函数。 (2)设函数 f (x) 定义在 (?l , l ) 上,证明 f ( x) ? f (? x) 是偶函数, f ( x) ? f (? x) 是奇函数。 考点 2 函数奇偶性、单调性的综合应用 例 1.已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 ,求实数 m 的取值范 围。

[解析] ? f (x) 是定义在 (?2,2) 上奇函数? 对任意 x? (?2,2) 有 f ? ? x ? ? ? f ? x ? 由条件 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ? 0 得 f (m ? 1) ? ? f (2m ? 1) = f (1 ? 2m)
? f (x) 是定义在 (?2,2) 上减函数? ?2 ? 1 ? 2m ? m ? 1 ? 2 ,解得 ? ? 实数 m 的取值范围是 ?
1 2 ?m? 2 3 1 2 ?m? 2 3

函数的周期性 (一)知识梳理 1.函数的周期性的定义:对于函数 f (x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满足 f ( x ? T ) ? f ( x) ,那么函数 f (x) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 2.周期性的性质 (1)若 y ? f ( x) 图像有两条对称轴 x ? a, x ? b(a ? b) ,则 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 2 | a ? b |; (2)若 y ? f ( x) 图像有两个对称中心 A(a,0), B(b,0)(a ? b) ,则 y ? f ( x) 是周期函数,且一周期 为T ? 2 | a ? b |; (3)如果函数 y ? f ( x) 的图像有一个对称中心 A(a, 0) 和一条对称轴 x ? b(a ? b) ,则函数 y ? f ( x) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ; (4)①若 f(x+a)=f(x+b) 周期函数; ③若 f ( x ? a) ?
1 1 则 ④若 f ( x ? a) ? ? 则 (a ? 0) 恒成立, T ? 2a ; (a ? 0) 恒成立, T ? 2a . f ( x) f ( x)

则 T=|b-a|;②函数 f ( x) 满足 ? f ?x ? ? f ?a ? x ? ,则 f ( x) 是周期为 2 a 的

二次函数 (一)知识梳理 1.二次函数的解析式的三种形式: (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。 (2)顶点式(配方式) :f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。 (3)两点式(因式分解) :f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 是抛物线与 x 轴两交点的坐标。 2.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线,对称轴 x ? (1) a>0 时, 抛物线开口向上, 函数在 ( ?? ,?
?b b 4ac ? b 2 ) ,顶点坐标 (? , 2a 2a 4a

b b ?b ] 上单调递减, [ ? ,?? ) 上单调递增,x ? 在 时, 2a 2a 2a

f ( x) min ?

4ac ? b 2 ; 4a
b b ?b ] 上单调递增, [ ? ,?? ) 上单调递减,x ? 在 时, 2a 2a 2a

(2) a<0 时, 抛物线开口向下, 函数在 ( ?? ,?
f ( x) max ? 4ac ? b 2 。 4a

3.二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时图象与 x 轴有两个交点 M1(x1,0),M2(x2,0)
M 1 M 2 ? x1 ? x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? ? 。 a

4. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题, 用图象求解, 2 有如下结论:令 f(x)=ax +bx+c (a>0) ,
?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /( 2a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /( 2a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ?? ? ?b /(2a) ? ? ?
(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 5 最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间[α ,?]上的最值一般分为三种情况讨论,即:(1)对 称轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴 在区间右边 要注意系数 a 的符号对抛物线开口的影响 6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴无交点 ? ax2+bx+c=0 无实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的 解集为 ? 或者是 R; ③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0 有两个不等的实根
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2 ? ax +bx+c>0(<0)的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? ( ? , ??)

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(二)考点分析 考点 1.求二次函数的解析式 例 1.已知二次函数 f(x)满足 f(2)= -1,f(-1)= -1 且 f(x)的最大值是 8,试确定此二次函数。 例 2.已知二次函数的对称轴为 x ? ? 2 ,截 x 轴上的弦长为 4 ,且过点 (0, ?1) ,求函数的解析式. 考点 2.二次函数在区间上的最值问题

例 1.已知函数 f(x)= - x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求 a 的值。 思维分析:一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解:f(x)= -(x-a)2+a2-a+1(0≤x≤1),对称轴 x=a 10 a<0 时, f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2?a ? ?1

y

y
1

y

a 0

x

0 a1

x

0

1a

x

20 0≤a≤1 时 f ( x) max ? f (a) ? a 2 ? a ? 1 ? 2得a ? 30 a>1 时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2

1? 5 (舍) 2

综上所述:a= - 1 或 a=2 例 2.已知 y=f(x)=x2-2x+3,当 x∈[t,t+1]时,求函数的最大值和最小值。 答案: t ? 1时, ymax ? t 2 ? 2, ymin ? t 2 ? 2t ? 3
1 ? t ? 1时, y max ? t 2 ? 2, y min ? 2 2 1 0 ? t ? 时, y max ? t 2 ? 2t ? 3, y min ? 2 2

t ? 0时, ymax ? t 2 ? 2t ? 3, ymin ? t 2 ? 2
a 1 ? 的最大值为 2 ,求 a 的值 . 4 2 分析:令 t ? sin x ,问题就转二次函数的区间最值问题.

例 3.已知函数 y ? ? sin 2 x ? a sin x ?

解:令 t ? sin x , t ? [?1,1] ,
a a 1 ∴ y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) ,对称轴为 t ? , 2 2 4 a 1 (1)当 ?1 ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymax ? (a 2 ? a ? 2) ? 2 ,得 a ? ?2 或 a ? 3 (舍去) . 2 4 a a 1 (2)当 ? 1 ,即 a ? 2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 在 [ ?1,1] 单调递增, 2 2 4 10 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? . 3 4 2 a a 1 (3)当 ? ?1 ,即 a ? ?2 时,函数 y ? ?(t ? ) 2 ? ( a 2 ? a ? 2) 在 [ ?1,1] 单调递减, 2 2 4 1 1 由 ymax ? ?1 ? a ? a ? ? 2 ,得 a ? ?2 (舍去) . 4 2

综上可得: a 的值为 a ? ?2 或 a ?

10 . 3

考点 3.一元二次方程根的分布及取值范围 例 1.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围。 (2)若方程两根在区间(0,1)内,求 m 的范围。 b 思维分析: 一般需从三个方面考虑①判别式Δ ②区间端点函数值的正负③对称轴 x ? ? 与区间相对 2a 位置。 解:设 f(x)=x2+2mx+2m+1 y (1) 由 题 意 画 出 示 意 图
-1 0 1 2 x

? f ( 0) ? 2 m ? 1 ? 0 5 1 ? ? ? f (?1) ? 2 ? 0 ? ? ? m ? ? 6 2 ? f (1)6m ? 5 ? 0 ?

y

(2)
0 1 x

? ??0 ? f (0) ? 0 1 ? ?? ? ? ? m ? 1? 2 2 ? f (1) ? 0 ?0 ? ?m ? 1 ?

3 x ? k 在(- 1,1)上有实根,求 k 的取值范围。 2 【反思归纳】根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分布问题,用 图象求解,主要研究开口、判别式、对称轴、区间端点对应函数值的正负,列出不等式(组)求解。

练习:方程 x 2 ?

例 2. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围. 解法一:由题知关于 x 的方程 x2 ? (2a ?1) x ? a2 ? 2 ? 0 至少有一个非负实根,设根为 x1 , x2
?? ? 0 9 ? 则 x1 x2 ? 0 或 ? x1 x2 ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 ?x ? x ? 0 ? 1 2

? f (0) ? 0 ? ?(2a ? 1) 9 ? 解法二:由题知 f (0) ? 0 或 ?? ? 0 ,得 ? 2 ? a ? . 4 2 ? ?? ? 0 ?
指数与指数函数 (一)知识梳理 1.指数运算

a n ? n am ; a

m

?m n

? 1 ; a0 ? 1 ; ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r、s ? Q) m an



(ar )s ? ars (a ? 0, r、s ? Q) ;

(ab)r ? ar bs (a ? 0, r、s ? Q)
2.指数函数: y ? a x ( a ? 0, a ? 1 ) ,定义域 R,值域为( 0,?? ). ⑴①当 a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上为增函数;②当 0 ? a ? 1 ,指数函数: y ? a x 在定义域上 为减函数. ⑵当 a ? 1 时, y ? a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. (二)考点分析 例 1.已知下列不等式,比较 m , n 的大小: (1) 2 m ? 2 n 变式 1:设
1 1 1 ? ( )b ? ( ) a ? 1 ,那么 2 2 2

(2) 0.2m ? 0.2n



) B.a a < b a <a b D.a b <b a <a a

A.a a <a b <b a C.a b <a a <b a

例 2.函数 y ? a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( ) A.
1 2

B.2

C.4

D.

1 4

对数与对数函数 (一)知识梳理 1.对数运算:

loga (M ? N ) ? loga M ? loga N
log a n M ?



log a

M ? log a M ? log a N N



loga M n ? n loga M



1 logb N log a M ; aloga N ? N ; 换底公式: a N ? ; 推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log log n logb a
?N

2.对数函数:如果 a( a ? 0, a ? 1 ) b 次幂等于 N ,就是 a b 的

,数 b 就叫做以 a 为底的 N 的对数,

记作 log a N ? b ( a ? 0, a ? 1 ,负数和零没有对数);其中 a 叫底数, N 叫真数. 当 a ? 1 时, y ? loga x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 ? a ? 1 时,则相反. (二)考点分析

例 1.已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) , g ( x) ? loga (1 ? x)(a ? 0 ,且 a ? 1) (1) 求函数 f ( x) ? g ( x) 定义域 (2) 判断函数 f ( x) ? g ( x) 的奇偶性,并说明理由.

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 例 2.已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ? log a x, x ? 1
A. (0,1) 例 3.若 log a
1 B. (0, ) 3 1 1 C. [ , ) 7 3 1 D. [ ,1) 7

3 ? 1( a ? 0 ,且 a ? 1) ,求实数 a 的取值范围. 4

变式 1:若 log2 a
1 A. ( ,?? ) 2

1? a2 ? 0 ,则 a 的取值范围是 ( 1? a


1 D. ( 0, ) 2

B. (1,??)

1 C. ( ,1) 2

幂函数 (一)知识梳理 1、幂函数的概念 一般地,形如 y ? x? ( x ? R ) 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 2、幂函数的图像及性质
y?x

y ? x2
R 偶

y ? x3
R 奇

y?x

1 2

y ? x ?1

定义域 奇偶性

R 奇

非奇非偶



在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 在第Ⅰ象 限的增减 限单调递 限单调递 限单调递 限单调递 限单调递 性 增 增 增 增 减 幂函数 y ? x? ( x ? R, ?是常数) 的图像在第一象限的分布规律是: ①所有幂函数 y ? x? ( x ? R, ?是常数) 的图像都过点 (1,1) ; ②当 ? ? 0 时函数 y ? x? 的图像都过原点 (0, 0) ; ③当 ? ? 1 时,y ? x? 的的图像在第一象限是第一象限的平分线 (如 ; c2 )

④当 ? ? 2,3 时, y ? x? 的的图像在第一象限是“凹型”曲线(如 c1 ) ⑤当 ? ?
1 时, y ? x? 的的图像在第一象限是“凸型”曲线(如 c3 ) 2

⑥当 ? ? ?1 时, y ? x? 的的图像不过原点 (0, 0) ,且在第一象限是“下滑”曲线(如 c 4 ) 3、重难点问题探析:幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x? 有下列性质: (1)图象都通过点 (0, 0) , (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 1 ? ? ? 0 时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 0 ? ? 时,幂函数 y ? x? 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后, ? 越大,图象下落的速度越快。 无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x? 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。 (二)考点分析 考点 1:利用幂函数的单调性比较大小

?1? 例 1.已知 ? ? 0 ,试比较 ? ? , 0.2? , 2? 的大小; ?2?
? ? 例 2.已知点 ( 2, 在幂函数 f ( x) 的图象上,点 ? ?2, ? ,在幂函数 g ( x) 的图象上. 2) ? 1 4?

?

问当 x 为何值时有: (1) f ( x) ? g ( x) ; (2) f ( x) ? g ( x) ; (3) f ( x) ? g ( x) .

函数图象 (一)知识梳理 1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这 两种方法是本讲座的重点。

作函数图象的步骤: ①确定函数的定义域; ②化简函数的解析式; ③讨论函数的性质即单调性、 奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势) ;④描点连线,画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线 要把表列在关键处,要把 线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这 个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点 用图象变换法作函数图象要确 定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这也是个难点 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ①平移变换:
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Ⅰ、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或向 右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或向 下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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②对称变换: Ⅰ、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ、函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x
原点 x轴

y轴

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称即可得到;
直线 x? a

y=f(x)

? y=f(2a?x)。

③翻折变换: Ⅰ、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,

去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ、 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴左 边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④伸缩变换: Ⅰ、函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;

y=f(x) ? y=af(x) Ⅱ、 函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长 1 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 倍得到。 a

y? a

f(x) y=f(x) ? y=f( ax )
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x? a

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(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面 (二)考点分析 (1). (2009 山东卷理)函数 y ?
e x ? e? x 的图像大致为 e x ? e? x
y y

(

).

y y 1 O 1 x

1 O1 x

1 O 1 x O

1 1 D x

A

B

C

【命题立意】:本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.本题的难点在于 给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. (2)已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x 2 ,则 y ? f (x) 与

y ? log5 x 的图象的交点个数为





A、2 B、3 C、4 D、5 [巩固]设奇函数 f(x)的定义域为 R, 且对任意实数 x 满足 f(x+1)= -f(x), 若当 x∈[0,1]时, f(x)=2x-1, 则 f( log 1 6 )= .
2

(3)函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像可能是(
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x



y

y
x

y
x

y x
C

o

o

o

o
D

x

A
2.10 函数与方程 (一)知识梳理 1.函数零点

B

概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 函数零点的意义: 函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根, 亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f (x) 有零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f (x) 在区间 [a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有

f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也

就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤:
b 对于在区间 [ a , ] 上连续不断, 且满足 f (a ) ·f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) , 通过不断地把函数 f (x)

的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法. (二)考点分析 1.(安徽理 3) 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? ? 时, f ( x) ? ? x ? x ,则 f (?) ? (A) ?? (B) ?? (C)1 (D)3
?

【答案】A 【命题意图】本题考查函数的奇偶性,考查函数值的求法.属容易题. 【解析】 f (1) ? ? f (?1) ? ?[2(?1)2 ? (?1)] ? ?3 .故选 A. 2.(安徽理 10) 函数 f ( x) ? axm g(?? x)n 在 区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m, n 的值可能是 (A) m ? 1, n ? 1
0.5 y

(B) m ? 1, n ? 2 (C) m ? 2, n ? 1 (D) m ? 3, n ? 1
x O 0.5 1

【答案】B【命题意图】本题考查导数在 研究函数单调性中的应用,考查函数图像,考查思维的综合能力.难度大. 【解析】代入验证,当 m ? 1, n ? 2 , f ( x) ? axg(?? x)? ? n( x? ? ?x? ? x) ,则 f ?(x) ? a( ?x ? ??x ?? ) ,由
1 ? 1? ?1 ? f ?(x) ? a( ?x ? ??x ?? )?? 可知, x1 ? , x2 ? 1 ,结合图像可知函数应在 ? 0, ? 递增,在 ? ,1? 递减, 3 ? 3? ?3 ?
1 ? ? ? ? 即在 x ? 取得最大值,由 f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ,知 a 存在.故选 B. 3 ? ? ? ?

3.(安徽文 5)若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是

? ?? ,b) (B) (10a,1 ? b) (C) ( ,b+1) (D)(a2,2b) a a 【答案】D【命题意图】本题考查对数函数的基本运算,考查对数函数的图像与对应点的关系.
(A) ( 【解析】由题意 b ? lg a , ?b ? ? lg a ? lg a? ,即 a 2 , 2b 也在函数 y ? lg x 图像上. 4.( 安 徽
n

?

?



10)




y

f(

?) x

? g a ? x 在区间〔0,1〕上的 ( ? )x

图像如图所示,则 n 可能是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】A【命题意图】本题考查导 数在研究函数单调性中的应用,考查 函数图像, 考查思维的综合能力.难度 大. 【解析】代入验证,当 n ?1 时,

0.5

x O 0.5 1

f ( x) ? a x ( ? x? ? a( ?x ? ? ?x ? , g? ) x则 ) f ?( ) ?( x ?x ? ) x a ? ?? ?


1 ? 1? ?1 ? 由 f ?( x) ? a(?x? ? ? x ??) ? ? 可知, x1 ? , x2 ? 1 ,结合图像可知函数应在 ? 0, ? 递增,在 ? ,1? 递减, 3 ? 3? ?3 ?
1 ? ? ? ? 即在 x ? 取得最大值,由 f ( ) ? a ? g(?? ) ? ? ,知 a 存在.故选 A. 3 ? ? ? ?

? ? ? 5. (北京理 6) 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位: 分钟) f ( x) ? ? 为 ? ? ?

c ,x ? A x c ,x ? A A

(A,c 为常数) 。已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装第 A 件产品时用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别是 A. 75,25 B. 75,16 C. 60,25 D. 60,16 【答案】D 【解析】由条件可知, x ? A 时所用时间为常数,所以组装第 4 件产品用时必然满足第一个分段函 数,即 f (4) ?
c 60 ? 30 ? c ? 60 , f ( A) ? ? 15 ? A ? 16 ,选 D。 4 A

6.(北京文 8)已知点 A? 0,2? , B ? 2,0? ,若点 C 在函数 y ? x2 的图象上,则使得 ?ABC 的面积为 2 的 点 C 的个数为 A. 4 【答案】A B. 3 C. 2 D. 1

1 7.(福建理 5) ? (e x ? 2 x)dx 等于 0
A.1 【答案】C B. e ? 1 C. e D. e ? 1

8.(福建理 9)对于函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? c (其中, a, b ? R, c ? Z ),选取 a, b, c 的一组值计算 f (1) 和 f (?1) ,所得出的正确结果一定不可能是 ...... A.4 和 6 【答案】D . B.3 和 1 C.2 和 4 D.1 和 2

9.(福建理 10)已知函数 f ( x) ? ex ? x ,对于曲线 y ? f ( x) 上横坐标成等差数列的三个点 A,B,C, 给出以下判断: ① ABC 一定是钝角三角形 △ ② ABC 可能是直角三角形 △ ③ ABC 可能是等腰三角形 △ ④ ABC 不可能是等腰三角形 △ 其中,正确的判断是 A.① ③ B.① ④ 【答案】B

C.② ③

D.② ④

10.(福建文 6)若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 A. (-1,1)B. (-2,2)C. (-∞,-2)∪ (2,+∞) D. (-∞,-1)∪ (1,+∞) 【答案】C 11.(福建文 8)已知函数 A.-3 【答案】A 12.(福建文 10)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大 值等于 A.2 【答案】D 13.(广东理 4)设函数 f ( x) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) +|g(x)|是偶函数 C.| f ( x) | +g(x)是偶函数 【答案】A B. f ( x) -|g(x)|是奇函数 D.| f ( x) |- g(x)是奇函数 B.3 C.6 D.9 B.-1
?2x, x>0 ? f(x)=? ? x+1,x≤0 ?

,若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于

C.1

D.3

【解析】因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以|g(x)|是 R 上的偶函数,从而 f ( x) +|g(x)|是偶函数,故选 A. 14.(广东文 4)函数 f ( x) ? A. (??, ?1) 【答案】C 15. 广东文 10) f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数. ( 设 如下定义两个函数 ? f ? g ??x ? 和 ? f ? g ??x ? ; 对任意 x ? R , ? f ? g ??x ? ? f ?g (x)? ; ? f ? g ??x? ? f ?x?g (x) .则下列等式恒成立的是( A. ?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x) B. ?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x) C. ?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x) D. )
1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x



) D. (??, ??)

B. (1, ??)

C. (?1,1) ? (1, ??)

?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??(x)

【答案】B 16.(湖北理 6)已知定义在 R 上的奇函数 f ?x ? 和偶函数 g ?x ? 满足 f ?x? ? g ?x? ? a x ? a ?x ? 2

?a ? 0, 且a ? 1? ,若 g ?2? ? a ,则 f ?2? ?
A.
2

B.

15 4

C.

17 4

D. a 2

【答案】B 【解析】由条件 f ?2? ? g ?2? ? a 2 ? a ?2 ? 2 , f ?? 2? ? g ?? 2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,即

? f ?2? ? g ?2? ? a ?2 ? a 2 ? 2 ,由此解得 g ?2? ? 2 , f ?2? ? a 2 ? a ?2 ,
所以 a ? 2 , f ?2 ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ?
15 ,所以选 B. 4 17.(湖北理 10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这 种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M (单位:太贝克)与时间 t

(单位:年)满足函数关系: M ?t ? ? M 0 2

?

t 30

,其中 M 0 为 t ? 0 时铯 137 的含量,已知 t ? 30 时,铯

137 的含量的变化率是 ? 10 ln 2 (太贝克/年) ,则 M ?60? ? ... A. 5 太贝克 【答案】D
/

B. 75 ln 2 太贝克
t

C. 150 ln 2 太贝克

D. 150 太贝克
30

? ? 1 1 【解析】因为 M ?t ? ? ? ln 2 ? M 0 2 30 ,则 M / ?30? ? ? ln 2 ? M 0 2 30 ? ?10ln 2 ,解得 M 0 ? 600, 30 30

所以 M ?t ? ? 600? 2

?

t 30

,那么 M ?60? ? 600? 2

?

60 30

? 600?

1 ,所以选 D. ? 150(太贝克) 4

18.(湖南文 7)曲线 y ? A. ?
1 2

sin x 1 ? ? 在点 M ( , 0) 处的切线的斜率为( sin x ? cos x 2 4



B.

1 2

C. ?

2 2

D.

2 2

【答案】B 【解析】 y' ?
cos x(sin x ? cos x) ? sin x(cos x ? sin x) 1 ,所以 ? 2 (sin x ? cos x) (sin x ? cos x)2

y'|

x?

?
4

?

1 ? 。 ? ? (sin ? cos )2 2 4 4

1

19.(湖南文 8)已知函数 f ( x) ? ex ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4x ? 3, 若有 f (a) ? g (b), 则 b 的取值范围为 A. [2 ? 2, 2 ? 2] 【答案】B 【 解 析 】 由 题 可 知 f ( x) ? e x ?1 ? ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 4x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 , 若 有 f (a) ? g (b), 则
g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。

B. (2 ? 2, 2 ? 2)

C. [1,3]

D. (1,3)

20.(湖南理 6)由直线 x ? ? A.
1 2

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(



B.1

C.

3 2
?

D. 3

【答案】D 【解析】由定积分知识可得 S ?

?

??
3

3

cos xdx ? sin x | 3? ?
? 3

?

3 3 ? (? ) ? 3 ,故选 D。 2 2

21.(湖南理 8)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则当 | MN | 达到 最小时 t 的值为( A.1 【答案】D 【解析】由题 | MN |? x2 ? ln x, ( x ? 0) 不妨令 h( x) ? x2 ? ln x ,则 h'( x ) ? 2x ?
1 ,令 h'(x ) ? 0解得 x

) C.
5 2

B.

1 2

D.

2 2

x?

2 2 2 2 ,因 x ? (0, 时, | MN | 达到 ) 时, h'( x) ? 0 ,当 x ? ( , ??) 时, h'( x) ? 0 ,所以当 x ? 2 2 2 2 2 。 2

最小。即 t ?

22.(江西文 3)若 f ( x) ?
1 (? , 0) 2

1 ,则 f ( x) 的定义域为( log 1 (2 x ? 1)
2

)

B.


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