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高2020届高2017级高中数学文科数学第一轮复习状元桥全套课练习第8章 第43讲

课时达标 第 43 讲 一、选择题 1.(2019·宁波中学月考)原点位于圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(a>1)的( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.均有可能 C 解析 把原点坐标代入圆的方程得(a-1)2>0(a>1),所以原点在圆外.故选 C. 2.圆(x-1)2+(y-2)2=1 关于直线 y=x 对称的圆的方程为( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y-2)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x-1)2+(y+2)2=1 A 解析 设对称圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心(1,2)关于直线 y=x 的对称点为 (2,1),故对称圆的方程为(x-2)2+(y-1)2 =1.故选 A. 3.圆心在 y 轴上,半径长为 1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1 A 解析 依题意,设圆心坐标为(0,a),则 ?1-0?2+?2-a?2=1,所以 a=2,故圆的方程为 x2 +(y-2)2=1. 4.已知圆 O:x2+y2=1,若 A,B 是圆 O 上的不同两点,以 AB 为边作等边△ABC,则|OC|的 最大值是( ) 2+ 6 A. 2 B. 3 C.2 D. 3+1 C 解析 如图所示,连 OA,OB 和 OC.因为 OA=OB,AC=BC,OC=OC,所以△OAC≌△ OBC,所以∠ACO=∠BCO=30°,在△OAC 中,由正弦定理得sinO3A0°=sin O∠COAC,所以 OC= 2sin ∠OAC≤2,故|OC|的最大值为 2.故选 C. 5.若实数 x,y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值为( ) A. 5 B.10 C.9 D.5+2 5 B 解析 原方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5,表示以(1,-2)为圆心, 5为半径的圆.设 x- 2y=b,则 x-2y 可看作直线 x-2y=b 在 x 轴上的截距,当直线与圆相切时,b 取得最大值或最 小值,此时|1+4-b|= 5,所以 b=10 或 b=0,所以 x-2y 的最大值是 10. 5 6.设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的离心率 e= 2,右焦点 F(c,0),方程 ax2-bx-c=0 的两个 实数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x2+y2=8 的位置关系为( ) A.点 P 在圆外 B.点 P 在圆上 C.点 P 在圆内 D.不确定 C 解析 因为 e2=1+??ba??2=2,所以??ba??2=1,所以ba=1,所以 a=b,c= 2a,所以方程 ax2- bx-c=0 可化为 x2-x- 2=0.所以 x1+x2=1,x1·x2=- 2.所以 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=1 +2 2<8,所以点 P 在圆内.故选 C. 二、填空题 7.(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________. 解 析 设 圆 的 方 程 为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. 将 已 知 三 点 的 坐 标 代 入 方 程 可 得 ??F=0, ?D+E+F+2=0, ??4+2D+F=0, ??D=-2, 解得?E=0, ??F=0, 所以圆的方程为 x2+y2-2x=0. 答案 x2+y2-2x=0 8.若圆 C 与圆 x2+y2+2x=0 关于直线 x+y-1=0 对称,则圆 C 的方程是________. 解析 设 C(a,b),因为已知圆的圆心为 A(-1,0),由点 A,C 关于 x+y-1=0 对称得 ?a+b 1×?-1?=-1, ??a-2 1+b2-1=0, 解得???a=1, ??b=2. 又因为圆的半径是 1,所以圆 C 的方程是(x-1)2+(y -2)2=1,即 x2+y2-2x-4y+4=0. 答案 x2+y2-2x-4y+4=0 9.若过点 P(a,a)可作圆 x2+y2-2ax+a2+2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a.因为过点 P(a,a)能作圆的两条切线,所以点 P 在圆的外部,即?????3a-2+2aa2>-0,2a2+a2+2a-3>0, 解得 a<-3 或 1<a<32.故 a 的取值范围为(-∞, -3)∪??1,32??. 答案 (-∞,-3)∪??1,32?? 三、解答题 10.已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M 是 BC 的中点. (1)求 AB 边所在直线的方程; (2)求以线段 AM 为直径的圆的方程. 解析 (1)因为 A(-1,5),B(-2,-1),所以由两点式得 AB 的方程为-y-1-55=-x-2-?-?-1?1?,整 理得 6x-y+11=0. (2) 因 为 M 是 BC 的 中 点 , 所 以 M ??-22+4,-12+3?? , 即 M(1,1), 所 以 |AM| = ?-1-1?2+?5-1?2=2 5,所以圆的半径为 5.所以 AM 的中点为??-12+1,5+2 1??,即中点为 (0,3),所以以线段 AM 为直径的圆的方程为 x2+(y-3)2=5. 11.已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB,且 A(-1,0),B(3,0).求: (1)直角顶点 C 的轨迹方程; (2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程. 解析 (1)设 C(x,y),因为 A,B,C 三点不共线,所以 y≠0.因为 AC⊥BC,所以 kAC·kBC=-1,又 kAC=x+y 1,kBC=x-y